清华丘成桐数学领军计划｜一试真题逐题精讲 + 预科清退20%警示

一、今日三条重要动态

动态1：2027年招生窗口已经打开，简章随时可能发布

清华新领军近三年的简章发布节奏高度稳定：2025年简章于2024年10月底发布，2026年简章于2025年9月22日发布。今天是9月下旬，正处于2027年简章发布的高概率窗口期。

对考生而言，这意味着：

• 报名时间大概率落在9月下旬至10月上旬，窗口通常只有15—20天
• 简章一发布，留给材料准备的时间极短，中学盖章的成绩单、个人陈述、获奖证书扫描件现在就要备齐
• 2026年简章明确要求：申请表需打印后经所在中学核实加盖公章再扫描上传，走流程本身就要几天

行动建议：本周内把"申请表—成绩单—个人陈述—获奖证书—身份证明"五件套准备成电子档，简章一出不慌。

动态2：预科淘汰率约20%，CMO金银牌也在清退名单里

这是今年最值得所有备考家庭警惕的一条。2026年7月，清华求真书院预科班约20%的学生未通过考核面临清退，被清退者中不乏CMO金牌、银牌得主。

求真书院今年的预科考核新增了两项：论文汇报与作业题现场讲解，核心目的是核查作业是否独立完成、有无AI代写。补考环节直接使用了北京高考数学卷，结果补考平均分仅110分，远低于清华统招理科生数学140+的常规水平。

信号非常明确：入围 ≠ 上岸。书院要筛掉的是"把数学当名校跳板"的人。抽掉大学数学的"套路壳"之后，基础底子会立刻现形。

动态3：求真书院严禁任何形式的领军计划培训

2025年8月29日，求真书院发布声明：书院从未授权任何单位和个人针对领军计划选拔考试开展培训，也未与任何机构合作，严禁全体师生参与任何形式的培训班授课。

但现实中，暑期培训讲义的内容已经涉及傅里叶变换、Haar测度、代数编码、二次型等，部分题型已超出简章明确列出的考查范围。家长需要清醒认识：这条路上不存在"保过班"。

二、2026年考情数据全表（最新口径）

三个读得出来的结论：

• 强省强校垄断格局稳定
  。浙江、重庆两省拿走近一半名额，成都七中、深圳中学连续两年领跑。
• 低龄化不可逆
  。初三、高一学生占比接近一半，说明书院在赌"可塑期"，越早进入体系越占便宜。
• 女生通道依然存在
  。丘成桐女子数学竞赛（现纳入丘成桐中学科学奖·诺特数学奖）仍是女生的重要入围通道，铜奖、优胜奖也能显著提高入围概率。

三、数学基础测试（"零试"）解密

2026年新增的数学基础测试，本质上是往年"数学水平考试（零试）"的正式化、前置化。

机考的残酷之处

机考没有过程分。结果错了就是零分，计算能力是重中之重。2026年数学基础测试难度"出奇地难"，不少考生当场懵掉，数论与竞赛题都有涉及，知识点覆盖极广。

参考案例：广东实验中学高一学生蓝天，2025年10月参加2026年数学基础测试，以140分/150分通过，最终顺利入围。他的准备量是一年啃下一百多本数学教材与练习册，从《微分几何》《高等代数》到《数论：概念和问题》，再到全国大学生竞赛解析教材，执行三轮计划：第一轮通读5本核心教材2—3遍打基础，第二轮分板块刷题2—3遍，第三轮用大学生数学竞赛练习册拔高。

一句实话：零试看的是排名不是绝对分。往年经验是排名前90%左右基本能进一试，但2026年难度上调后，实际门槛以官方划线为准。

四、一试真题逐题精讲（2025年真题，6题全解析）

2026年官方口径中，一试为8道解答题、时长4小时，构成大致为：中学数学1题、数学分析3—4题、线性代数2—3题、群与群作用1题。下面精讲2025年全套6题——没有一道是纯高中数学。

第1题｜数学分析：极限与积分

题目：证明 lim(n→∞) ∫₀¹ n·xⁿ·eˣ dx 存在并求值。

精讲：这是"核函数逼近（approximate identity）"的经典题型，一通百通。

记 K_n(x) = n·xⁿ，它在 [0,1] 上的积分 ∫₀¹ n·xⁿ dx = n/(n+1) → 1，且质量全部集中在 x = 1 附近。因此对于任意在 x=1 连续的函数 f，都有：

lim(n→∞) ∫₀¹ n·xⁿ·f(x) dx = f(1)

严格做法（换元）：令 x = e^(-u/n)，则 xⁿ = e^(-u)，dx = -(1/n)·e^(-u/n) du，积分化为

∫₀^∞ e^(-u(1+1/n)) · e^(e^(-u/n)) du

对固定的 u，n → ∞ 时被积函数逐点收敛到 e^(-u) · e¹，由控制收敛定理得极限为 e·∫₀^∞ e^(-u) du = e。

答案：e。

备考要点：这类题的通用模板是"找到集中点 → 换元标准化 → 控制收敛/夹逼"。高斯积分、Wallis公式、Laplace方法都要熟。

第2题｜高等代数：线性映射空间维数

题目：定义线性映射 L: M(m×n) → M(k×n)。记 W = {L | L(AB) = L(A)·B, ∀A ∈ M(m,n), B ∈ M_n}，求 dim W。

精讲：条件是说 L 是一个右 M_n-模同态。

把 M(m×n) 按行拆开：每一行是一个 n 维行向量，右乘 B 作用在行向量上。于是作为右 M_n-模，

M(m×n) ≅ (Fⁿ)^m（m 份单模的直和），同理 M(k×n) ≅ (Fⁿ)^k。

由 Schur 引理，Hom_{M_n}(Fⁿ, Fⁿ) ≅ F（只有数乘），因此

W ≅ M(k×m)，即 dim W = k·m。

答案：km。

备考要点：看到"保乘法性质 + 求维数"，第一反应应该是模论语言 + Schur 引理，而不是硬凑矩阵元素。这是高代与近世代数的交界区，近年高频。

第3题｜数分×高代综合：函数空间上的线性变换双射性

题目：记 V = {光滑函数 f | f(x+1) = 2f(x)}。定义 L: V → V, L(f) = f' + kf。求所有实数 k，使得 L 为双射。

精讲：先把空间 V "标准化"。令 λ = ln 2，写 f(x) = e^(λx)·g(x)，则 f(x+1) = 2f(x) 等价于 g 是1周期光滑函数，即 g ∈ C^∞(S¹)。

代入算子：L(f) = f' + kf = e^(λx)·[g' + (λ + k)·g]

于是问题转化为：算子 D + μ（μ = λ + k）在 C^∞(S¹) 上何时双射？

周期光滑函数的特征基是 e^(2πi·n·x)，n ∈ Z，对应 D 的特征值 2πi·n。故 D + μ 的特征值为 μ + 2πi·n。

• 单射
  ：核非平凡 ⟺ 存在 n 使 μ + 2πi·n = 0。因 μ 为实数，只有 μ = 0, n = 0。
• 满射
  ：解 g' + μg = h，通解 g(x) = e^(-μx)(∫₀ˣ e^(μt)h(t)dt + C)，周期性条件 g(1) = g(0) 给出 C(e^μ - 1) = ∫₀¹ e^(μt)h(t)dt。当 e^μ ≠ 1（即 μ ≠ 0）时 C 唯一存在；μ = 0 时右端须恒为0，不总成立。

答案：k ≠ -ln 2。

备考要点："函数方程 → 周期化 → Fourier 分解"是处理函数空间算子的标准三步。这道题把数分、常微分方程、Fourier 全部串在一起，典型的领军风格。

第4题｜高等代数：正交变换的分解

题目：证明任意正交变换 σ 可分解为 σ = τ₁τ₂…τ_k，其中每个 τᵢ 是正交变换且 dim{v | τᵢ(v) = v} = n - 1。

精讲：固定超平面（维数 n-1）的正交变换就是超平面反射（镜像）。本题即著名的 Cartan–Dieudonné 定理：O(n) 中任一元素至多可写成 n 个反射的乘积。

归纳思路：若 σ = id 则 k = 0。否则取 v 使 σ(v) ≠ v，取垂直于 v - σ(v) 的超平面反射 τ，可验证 τσ 的不动空间维数比 σ 至少大1，递归即可。

备考要点：这是几何代数里的"必背定理"。考场上不必重证全部细节，但要能说出定理名称、准确表述、并给出归纳框架。

第5题｜近世代数：对称群的Abel子群

题目：A 为 S_n 的 Abel 子群，且对任意 1 ≤ k ≤ n，存在 σ ∈ A 使 σ(1) = k。 (1) 求 A 的阶；(2) 求所有的 n，使得 A 在同构意义下唯一。

精讲：

(1) 条件"对所有 k 存在 σ ∈ A 把1送到 k"，正是说 A 在 {1,…,n} 上的作用是传递的。

关键引理：传递的 Abel 置换群必为正则（regular）。证明要点：若 A 传递且 Abel，则任一点稳定化子 A_1 固定所有点（因为 A_1 与 A 交换，而 A 传递，故 A_1 固定在1的整个轨道即全部点上），从而 A_1 = {e}。于是 |A| = |A_1| · n = n。

(1) 答案：|A| = n。

(2) 由 Cayley 定理，任意 n 阶群都可通过左正则表示嵌入 S_n 成为正则子群。因此 A 可以是任意一个 n 阶 Abel 群。

n = ∏ p_i^(e_i) 时，n 阶 Abel 群的同构类个数为 ∏ p(e_i)（p 为整数分拆函数）。同构唯一 ⟺ 所有 p(e_i) = 1 ⟺ 所有 e_i = 1。

(2) 答案：n 为无平方因子数（square-free），即 n = p₁p₂…p_r（各素因子互异）。此时 A ≅ Z_n 唯一。

备考要点： Abel 群结构定理 + Cayley 正则表示 + 群作用传递性，三个知识点在一道题里合流。这类题在2024年一试中也有出现（阿贝尔群相关）。

第6题｜偏微分方程：最大值原理

题目：S = {(x,y) | x²+y² = 1}，Ω = {(x,y) | x²+y² ≤ 1}。f: R² → R 光滑，在 S 上恒为0，且满足 f_xx + f_xy + f_yy = f³。证明 f 在 Ω 上恒为0。

精讲：这是二阶椭圆方程的最大值原理的标准运用，几乎不依赖具体系数。

第一步：证 f ≤ 0。 若 f 在 Ω 内某点取正最大值 M > 0（边界上 f = 0，故正最大值必在内点）。在极大值点，Hessian H = [[f_xx, f_xy/2],[f_xy/2, f_yy]] 半负定，取向量 (1,1) 得

f_xx + f_xy + f_yy ≤ 0

但方程给出 f_xx + f_xy + f_yy = f³ = M³ > 0，矛盾。

第二步：证 f ≥ 0。 若 f 在内点取负最小值 m < 0，则 Hessian 半正定，f_xx + f_xy + f_yy ≥ 0，而 f³ = m³ < 0，同样矛盾。

第三步：0 ≤ f ≤ 0，故 f ≡ 0 于 Ω 内部，再由边界值与连续性，f ≡ 0 于整个 Ω。

备考要点：注意算子 ∂_xx + ∂_xy + ∂_yy 的系数矩阵 [[1, 1/2],[1/2, 1]] 特征值 1/2, 3/2 > 0，是椭圆算子，这是最大值原理成立的前提。判别式 B² - 4AC < 0 要先验。

拓展精讲：2023年一试第3题（矩阵交换子）

题目：给定正整数 n，设 A, B 为 n 阶复方阵，满足 AB + A = BA + B，求证 (A - B)^n = 0。

精讲：令 C = A - B，则 A = C + B，代入：

AB - BA = (C+B)B - B(C+B) = CB - BC = [C, B]

而原条件 AB + A = BA + B 等价于 AB - BA = B - A = -C，故

[C, B] = -C，即 ad_B(C) = -C

于是 ad_B(C^k) = -k·C^k（由 Leibniz 法则对交换子归纳）。取迹：tr(ad_B(X)) = 0 对任意 X 成立，故

0 = tr(ad_B(C^k)) = -k·tr(C^k) ⟹ tr(C^k) = 0，k = 1, 2, …, n

由 Newton 恒等式，C 的所有初等对称函数为0，特征多项式为 λⁿ，再由 Cayley–Hamilton 定理得 C^n = 0。

备考要点："[X,Y] = λX ⟹ X^n = 0"是矩阵论里的经典结论，证明靠"取迹 + Newton恒等式 + C-H"三板斧，值得背下来。

五、一试命题风格三年演变（重要！）

核心判断：领军一试从不按固定套路出题。押某一个板块的收益极低，全面覆盖 + 深度理解才是唯一策略。

六、二试"现学现考"完全解密

二试是整个领军选拔中最能区分天赋与培训的环节，官方表述为"非固定形式的开放性内容"，实际形式是：

数学科目（约4小时）  ├─ 观看视频 + 讲义，学习一个完全陌生的专题  ├─ 自行整理消化 1 个多小时  └─ 正式考试 2 小时物理科目（约4小时）  └─ 同样的流程，内容为大学物理

已出现过的二试专题：量子力学、统计力学、随机过程、格拉斯曼流形（Grassmannian）。

为什么这样考？

• 培训机构无法提前押题——每年专题都不同
• 高中生不可能预先学过格拉斯曼流形
• 唯一能准备的是"看一遍陌生材料就能提取结构并做题"的能力

备考方向：刻意练习"陌生材料快速吸收"。具体做法：每周挑一个完全没接触过的数学/物理概念（如勒贝格积分、张量积、Legendre变换、母函数、Fourier变换），只看讲义不做任何辅导，2小时内完成配套习题，训练"从零到会"的速度。

七、面试真题与三维准备法

面试形式

• 一对一或一对多
• 综合考察：对数学的兴趣和学术志向、数学/物理类知识的广度与深度
• 与心理测试、体测集中在同一时段（2026年为11月1日—4日）

面试真题（回忆版）

三个准备维度

• 维度一：定义要能"背+证"并存
  。不是背课本原文，而是能自己把定义讲清楚、能给出证明骨架、能举出反例说明条件不可去。
• 维度二：物理常识要过关
  。领军计划虽然叫"数学"领军，面试和二试都考大学物理。四大力学（理论力学、电动力学、量子力学、统计力学）至少要建立概念框架。
• 维度三：动机的真实性会被反复追问
  。抱着"不用高考"心态进去的人，在面试环节大概率被筛出来。能说出"做不出题比考不上清华更难受"的学生，才是书院想要的。

八、选拔全流程与2027届时间表（预测）

9月下旬—10月上旬   网上报名（窗口约15—20天）       ↓10月上旬           公布初审结果       ↓10月中旬           数学基础测试（机考，全国设考点）       ↓11月上旬           学科能力测试（一试8题4小时 + 二试现学现考）       ↓11月上旬           面试 + 心理测试 + 体育测试       ↓11月中上旬         公布入围认定结果 + 候补名单       ↓次年1月前          候补人选考核并公布结果       ↓次年2月—6月        入校预科培养（约20%淘汰风险）       ↓预科合格           无需高考，直接提档录取

体测红线：身高、体重、肺活量、台阶运动试验、坐位体前屈、立定跳远。无故不参加者直接取消认定资格——这条每年都有人踩。

九、备考书单与四阶段路线

书单（按优先级）

四阶段路线

低龄考生特别提示：初三、高一学生占比已接近一半。低龄的最大优势是时间容错——一次不过可以再来一年，同时大学数学的学习本身就是积累。但要注意，低龄学生往往卡在"数学分析的严格性"上，建议先用一个月专门练 ε-δ 语言与不等式放缩。

十、清华三大少年班项目横向对比

选择建议：

• 目标是彻底绕开高考、走学术路线 → 领军计划是唯一选项，但要接受8年本博锁定与预科淘汰风险
• 高二高三、竞赛省一水平、想降分进清华 → 英才班或攀登计划更务实
• 三个项目可以同时报名（考核时间不冲突时），但领军计划录取后不得再参加其他招生项目

十一、写在最后：三个问题先问自己

在决定是否投入这条赛道之前，请先诚实回答三个问题：

1. 你学数学，是为了"不高考进清华"，还是因为做不出题比考不上清华更难受？
2. 没人教、没套路、没人给答案，你能否自己啃完一本数学分析？
3. 如果投入两年最终被预科清退，回归高考能不能兜得住底？

三个问题里有一个犹豫，这条路就不适合你。

这不是吓唬人——2026年7月那20%的清退率，和补考平均110分的北京高考数学卷，已经把答案写得很清楚了。

清华大学丘成桐数学英才班，考察数学一试二试+面试，2026年增加零试

笔试面试备考方案：

✳️备考题资料

1：清华大学丘成桐数学英才班近三年院校题集+解析汇总

2：自主选拔升学题集

3：清华大学丘成桐数学英才班面试题集

4：2026面试时事热点

5：清华大学丘成桐数学英才班面试备考技巧

✳️笔试面试8小时一对一培训

授课内容（可以灵活分配）：

4小时清华大学丘成桐数学英才班笔试题要点讲解，

2小时面试题练习

2小时模拟练习点评

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时间按照学生进度灵活安排，可以拆分2次或3次授课

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