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8.1 成对数据的相关关系（精讲）
思维导图常见考法
考法一 相关关系
【例1】（1）（2020·全国高二单元测试）对于变量x与y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，
x，y之间的这种非确定性关系叫做（ ）
A．函数关系 B．线性关系
C．相关关系 D．回归关系
（2）（2020·全国高二单元测试）对变量x，y有观测数据(x，y)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图1；
i i
对变量u，v有观测数据(u，v)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定（ ）
i i
A．x与y正相关，u与v正相关
B．x与y正相关，u与v负相关
C．x与y负相关，u与v正相关
D．x与y负相关，u与v负相关
【答案】（1）C（2）C
【解析】（1）对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种
非确定性关系叫相关关系.故选：C.
（2）由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关；
由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关．故选：C．
【一隅三反】1．（2020·武威第八中学）下列两变量具有相关关系的是（ ）
A．正方体的体积与边长 B．人的身高与体重
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D．球的半径与体积
【答案】B
【解析】对选项A，设正方体的体积 ，边长 ，则 ，它们之间的关系是函数关系，故A不正确；
对选项B，人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故B正确．
对选项C，匀速行驶车辆的行驶距离 与时间 的关系为 ，其中 为匀速速度，它们之间的关系是函
数关系，故C不正确；
对选项D，设球的半径为 ，则球的体积为 ，它们之间的关系是函数关系，故D不正确；
故选：B．
2．（2020·银川市·宁夏大学附属中学）给出下列关系：其中具有相关关系的是（ ）
①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙；
③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积.
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】C
【解析】考试号只是确定考生考试的位置与考试成绩无关，则①错误；
勤能补拙具有相关关系，水稻产量与气候具有相关关系，则②③正确；
正方形的边长与正方形的面积是函数关系，则④错误；故选：C
3．（2021·广东深圳）下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】A.两个变量之间是函数关系，不是相关关系，故错误；
B.样本点成直线形带状分布，呈下降趋势是负相关，故错误；
C.样本点不成直线形带状分布，故错误；
D.样本点成直线形带状分布，呈上升趋势是正相关，故正确；
故选：D.
考点二 样本的相关系数
【例2-1】（2020·吴起高级中学）甲、乙、丙、丁四位同学各自对 两变量的线性相关性做试验，并
用回归分析方法分别求得相关系数 如下表：
甲 乙 丙 丁
-0.78
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】 ，且相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，
能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是丁.故选：D
【例2-2】（2020·重庆九龙坡区·渝西中学）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的
轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的
特效药品 的研发费用 （百万元）和销量 （万盒）的统计数据如下：
研发费用 （百万
2 3 6 10 13 15 18 21
元）销量 （万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
（1）求 与 的相关系数 （精确到 ，并判断 与 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规
定： 时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品 的三类不同的剂型 ， ， ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，
才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型 ， ， 合格的概率分别为 ， ， ，第二次检测
时，三类剂型 ， ， 合格的概率分别为 ， ， ．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后
， ， 三类剂型合格的种类数为 ，求 的数学期望．
附：（1）相关系数
（2） ， ， ， ．
【答案】（1）0.98，可用线性回归模型拟合；（2） .
【解析】（1）由题意可知 ，
，
由公式 ，
， 与 的关系可用线性回归模型拟合．（2）药品 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为：
，
，
，
由题意， ，
．
【一隅三反】
1．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）两个具有线性相关关系的变量的一组数据 ，
，… ，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数 越接近1，变量 相关性越强
B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C．相关指数 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若 表示女大学生的身高， 表示体重则 表示女大学生的身高解释了 的体重变化
【答案】B
【解析】对于A. 根据相关系数 越接近1，变量相关性越强，故正确；
对于B. 回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数 或相关系数 判定，故不正确；
对于C. 相关指数 越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；
对于D. 根据 的实际意义可得， 表示女大学生的身高解释了 的体重变化，故正确；故选：B
2．（2020·广西钦州市）在线性回归模型中，分别选择了甲，乙，丙，丁四个不同的模型，它们的相关
指数 分别为0.46，0.85，0.72，0.93，其中回归效果最好的模型是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】因为两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数越接近于1，这个模型的拟合效果越好，
而丁的相关指数0.93最大，所以回归效果最好的模型是丁，故选：D
3．（2020·黑山县黑山中学）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转
变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策
扶持下选择加盟某专营店自主
创业，该专营店统计了近五年来创收利润数 （单位：万元）与时间 （单位：年）的数据，列表如下：
1 2 3 4 5
2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
（Ⅰ）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明
（计算结果精确到0.01）．（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）：
（Ⅱ）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为 ，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每
次抽奖的结果相互独立．
①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率．
②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参
加三次抽奖？说明理由
附：相关系数公式参考数据： ．
【答案】（Ⅰ） ，可用线性线性回归模型拟合；（Ⅱ）① ；②希望顾客参加抽奖，理
由见解析．
【解析】（Ⅰ）由题可知：
则
故 与 的线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合．
（Ⅱ）顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A．
设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则 ,
所以 ,
由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为
,
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元，所以专营店老板希望顾客参加抽
奖.
4．（2020·湖南高二期中）湖南省从2021年开始将全面推行“ ”的新高考模式，新高考对化学、
生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规
则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某
校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：等级 A B C D E
比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
政治学科各等级对应的原始分区间
生物学科各等级对应的原始分区间
现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：
（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分
转换公式，分别求出这两位同学的转化分；
（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据 ，请计算生物原始
分 与生物转换分 之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分
法”的看法.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级 A B C D E
原始分从高到低排序的等级人数占
约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
比
转换分T的赋分区间
附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式： .（其中： ， ，分别表示原始分Y对应
等级的原始分区间下限和上限； ， 分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算
结果按四舍五入取整数）
附3： ， ，.
【答案】（1）政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73；（2）甲、乙两位同学的转换分都为87分；
（3） ；答案见解析.
【解析】（1）由茎叶图知：政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73.
（2）甲同学选考政治学科的等级为A，
由转换赋分公式： ，得 .
乙同学选考生物学科的等级A，
由换赋分公式： ，得 .
故甲、乙两位同学的转换分都为87分.
（3）因为 ， ，
所以 .
