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高考真题精讲系列 002 | 网上说明年该考天津风格的导数了？

在今年26年高考后一段时间，网上不少网友因为全国一卷的导数压轴竟然出其不意地带有明显的上海高考抽象函数风格，便半开玩笑地猜测：下一年高考数学压轴是不是该轮到“天津风格”的导数了？小派我觉得，这种话当个段子听听就好，不必当真，哈哈哈哈哈。

首先天津卷导数几乎每年都带有明显的高数背景，可以参见《26高考真题 12 | 天津高考压轴传统异能！stolz定理，伯努利不等式、泰勒展开》。但高考不只是选拔，它还会对下一届乃至更长远的学生学习产生导向作用。如果高考真的考这种高数色彩浓厚的题，无异于向学生释放一个信号：想拿压轴分，就得提前学高等数学。这显然不是理想的导向。

更重要的是，这类题还会冲击教育公平。一方面，提前了解过高数的同学，在知识技巧和考场心态上都更占优势；另一方面，教育发达地区获取这类知识资源的渠道，本来就比山区、农村地区容易得多。一旦高考压轴频繁向高数背景靠拢，这种差距只会被进一步放大。

所以，网友猜测“下一年轮到天津风格导数”，当作调侃可以，但不必当真。高考压轴考什么，不能只看题目风格是否“轮转”，还要看它对教学的导向和对公平的底线。

今天该系列第二道题目素材就来自 2017 天津卷第 20 题。该题小派我在之前的推文天津卷导数系列或是信息差系列都有讲过，今天这期真题系列再精讲一次。

• 一、天津17年高考导数精讲
• 1、多种方法解析
• 2、该题简要评析
• 二、什么是刘维尔定理？
• 三、模考中的刘维尔“套壳”新定义

一、天津17年高考导数精讲

【2017天津高考T20】（关注：Hi数学派）设 ，已知定义在  上的函数  在区间  内有一个零点 ， 为  的导函数。（1） 求  的单调区间；（2） 设 ，函数 ，求证：；（3） 求证：存在大于  的常数 ，使得对于任意的正整数 ，，且 ，满足

1、多种方法解析

解析：

（1） 由题意，

令 ，

• 当  时， 单调递增；

• 当  时， 单调递减

故  的单调递增区间为  和 ；单调递减区间为 

（2）（关注：Hi数学派）由 （1） 知，当  时， （即 ）在  上单调递增。又知 

证法一，构造辅助函数法： 构造

求导得

• ，，；

• ，，

所以 ，。即 

构造

（关注：Hi数学派）求导得

因为  在  上 ，

• ，；

• ，。

所以 ，。即 

综合上述， 且 ，则 

证法二，拉格朗日中值定理法：

由于 ，（关注：Hi数学派）提取  得

由拉格朗日中值定理， 介于  与  之间，使得

• 若 

   且 

• 若 

   且 

综上所述 

（3）（关注：Hi数学派）令

考察有理数处的函数值

因为 ，， 且 

所以分子为非零整数，必有

证法一，零点定理法： 由 （2） 知 ，根据零点定理， 介于 ， 之间（故 ），使得 

因为 ，

所以 ，故

取 ，原命题得证。

证法二，中值定理直接放缩法：（关注：Hi数学派）由拉格朗日中值定理， 介于  与  之间，使得

因为 ，，且  （即 ）， 则 

所以

取 ，原命题得证。

小派之前版本的解析：（步骤写的更细一些）

（1） 的单调递增区间是 ，，单调递减区间是 

（2）证明：（关注：Hi数学派）由 ，得

令函数 ，则 .

由 （1） 知，当  时，，故当  时，， 单调递减；

当  时，， 单调递增.

因此，当  时，，可得 ，即 .

令函数 ，则 

由 （1） 知  在  上单调递增，故当  时， ， 单调递增；

当  时，， 单调递减.

因此，当  时，，可得 ，即 .

所以，.

（3）证明： （关注：Hi数学派）对于任意的正整数 ，，且 ，令 ，函数 

由 （2） 知，当  时， 在区间  内有零点；

当  时， 在区间  内有零点.

所以  在  内至少有一个零点，不妨设为 ，则 

由 （1） 知  在  上单调递增，故 ，于是

因为当  时，，故  在  上单调递增，所以  在区间  上除  外没有其他的零点，而 ，故 .

又因为 ，， 均为整数，

所以  是正整数，

从而 

（关注：Hi数学派）所以

所以，只要取 ，就有

注：  此题第 （3） 问以刘维尔定理为命题背景，在刘维尔定理的证明中，我们可以看出拉格朗日中值定理是构造不等式的关键。此题如果没有第 （2） 问，难度会更大！但是命题人为降低难度，命制了第二问以降低难度，第二问实质就是拉格朗日中值定理，将由拉格朗日中值定理构造的不等式在第二问给出。

2、该题简要评析

这道2017年天津卷导数压轴题是一道非常经典的“高观点、低落点”佳作，诠释天津高考命题“源于高数、归于高中”的艺术。从命制方式来看，命题人以高等数学中的“刘维尔定理”（证明代数数不能被有理数无限逼近）为背景，进行了巧妙的“降维”处理与阶梯式搭桥。第一问常规铺垫；第二问则是全题的“台阶”，实质上是在暗中引导学生利用拉格朗日中值定理（或构造辅助函数）的内核；有了第二问的铺垫，第三问的高数定理证明就水到渠成了。从考查知识点来看，（关注：Hi数学派）除了常规的多项式求导、单调性分析、零点存在性定理之外，该题最惊艳之处在于跨界融合了初等数论中最朴素的常识——“非零整数的绝对值大于等于 ”。这种将微积分与代数整数性质结合的考法，极大地丰富了考查的维度。从解题思想与技巧来看，核心在于“转化与放缩”。第三问通过将抽象的自变量  赋值为有理数 ，并利用第二问的结论（或者直接使用拉格朗日中值定理），巧妙地将函数值的差转化为了自变量的差（即距离 ）与导数值的乘积，最后借助整系数多项式算出的分子必定是“非零整数”这一技巧完成绝对值放缩。总结来说，这道题虽然披着“大学数学”的外衣，但破题的“手术刀”全是高中最常规的构造函数、零点定理、导数放缩等兵器。它启示师生：面对新定义或高数背景题不必胆怯，透过现象看本质，扎实的函数与代数变形基本功才是打破“信息差”的最强武器。

二、什么是刘维尔定理？

【刘维尔定理】（关注：Hi数学派）设实数  满足：， 都 ，，且 ， 互质，使得 ，那么  是一个超越数.

注： 这是一个用来判断一个数是否是超越数的一个定理. 这个定理的一个比较直观的解释，如果一个无理数可以被有理数很好的逼近（其误差可以用该有理数的分母的任意给定的幂次来估计），那么这个无理数是个超越数。换言之，无理数集当中，代数是不能被有理数很好的逼近的。那么，自然会想到，代数数被有理数逼近的程度大致如何？从下面定理的证明当中就能看到背后的具体内容。

刘维尔定理的证明借助拉格朗日定理可实现，下面给出证明.

证明：

假设  是某个整系数多项式  的零点，考虑  的某个邻域，不妨取为  ，对于这一邻域内任意的有理数（记为 ，其中为  正整数）.

考虑式子

（由拉格朗日中值定理可得，其中  是  与  之间的一个数）。

由多项式函数的连续性可知： 在  上有界，记为 ，即 .

（关注：Hi数学派）那么上式可以转化为

由于 ，，

所以  为正整数，

则 ，代入上式可得：

从中可以看出，此时  显然不能满足：，，都 ， 且  （即 ， 互质），使得 ，于是假设矛盾，故  是一个超越数.

注1：（关注：Hi数学派）一般来讲，强行构造出一个具体的超越数是比较困难的，例如 ， 的超越性直到 19 世纪后期才被证明出来。不过刘维尔还是利用这个定理构造出一个超越数，这个数表示为：，后人把这个数称为“刘维尔数”。

注2： 从定理的证明过程可以看到：

1. 拉格朗日中值定理是构造毕竟不等式的关键。
2. 多项式导数在闭区间上的的有界性。

在上面的 2017 年天津卷的解答过程中，可以看到命题人是如何设计题目，即将这两个关键步骤逐次展开，完成题目命制.

三、模考中的刘维尔“套壳”新定义

【河南许昌24届高三三模T19】（关注：Hi数学派）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville）最早证明的，一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：（，，，，） . 数学家证明了自然对数的底数  与圆周率  是超越数. 回答下列问题已知函数 （ ）只有一个正零点.（1） 求数列  的通项公式；（2）（i） 构造整系数方程 ，证明：若 ，则  为有理数当且仅当  .（ii） 数列  中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由.

解析：

（1）（关注：Hi数学派）若  只有一个正零点，可得 ，

令 

令 ，

令 ， ,

故  在  上单调递增，在  上单调递减

可得  在  处取得最大值，且最大值为 

而当  时，，当  时，

由题意得，当  最大时，符合题意

故 ，即 

（2）（i）（关注：Hi数学派）若 ，则  为有理数

若  正整数，假设  为有理数，则 ，，，

则方程  的根中有有理数

又在方程  中，发现  是它的根

而已知  是超越数，故  不是方程的根，与  矛盾，即  不为有理数

综上所述，， 为有理数当且仅当 

（ii）（关注：Hi数学派）若数列  中存在不同的三项构成等比数列，则

可得

由方程右边是有理数知左边是有理数,

由上问知当且仅当  时成立，故 

则

设 ，则 ，

则

将  代入进行化简可得

故

故

构造函数 

 在其定义域内单调递减

又 ，故若 

则有 ，即  成立

（关注：Hi数学派）当且仅当  时成立.

即数列  中不存在不同的三项构成等比数列