第五届(第1期)雅礼新苗数学思维挑战试题

萌芽级 · 适合六年级学生

第一题

一个 8×8 的国际象棋棋盘，按黑白相间染色（相邻两格颜色不同）。用 1×2 的多米诺骨牌铺棋盘，每张骨牌恰好盖住两个有公共边的相邻格子。

现在从棋盘上挖去左下角和右上角两个格子（这两个角颜色相同）。问：剩下的 62 个格子，能否用 31 张多米诺骨牌恰好铺满？请说明理由。

第二题

    已知非零实数 a、b、c 满足 a + b + c ≠ 0，且

1/a + 1/b + 1/c = 1/(a + b + c)

求证：

(a + b)(b + c)(c + a) = 0

新苗级 · 适合七年级学生

在 10×10 的方格表中，有若干格子初始被病毒感染。每 1 秒进行一轮感染，感染规则：若一个格子至少有 2 个与之有公共边的格子已经被感染，则下一秒这个格子会被感染。

思考：

（1）求最少的初始感染格子数量，使得经过若干秒后，整个方格表全部被感染。

（2）构造一组初始感染格子，使得最终能感染全部格子，并且全部感染所需要的时间尽可能大。

（方格图示示例：● 代表初始被病毒感染的格子，空白为未感染格子）

青苗级 · 适合八年级学生

1. 求满足

lcm(a, b) + gcd(a, b) = 2026

的正整数有序对 (a, b) 的数量。lcm 与 gcd 分别表示最小公倍数和最大公约数。

2. 计算当 n 取遍所有大于 3 的正整数时，表达式

gcd( C(n,3) − 1 ,  C(n,4) − 1 )

可能的最大值。其中 C(n,3)、C(n,4) 为组合数。

金苗级 · 适合九年级学生

一、数论题

    设正整数 n 满足 n² + 3n + 9 能整除 n⁴ + 9n² + 27n。求所有这样的正整数 n 的和。

二、组合题

    从集合 {1, 2, ⋯, 12} 中选出 5 个不同的数。若所选的任意两个数之差都不等于 2，问共有多少种不同的选法？

01  答案上传

02  答题要求

（1） 一个题目一张纸，建议用 A4 白纸，抄题或者打印题。

（2） 几何题用铅笔直尺画图，图位于答题区域右上侧，写好作辅助线的过程，声明字母，辅助线画虚线，用黑色签字笔写答题过程。

（3） 证明过程可以先写关键点，例如要证明结论，需要证明小结论 1、小结论 2、小结论 3，下证小结论 1，然后详细阐述，接下来证小结论 2……