雅礼中学2025届高三第1次月考数学试卷_A1502026各地模拟卷（超值！）_9月_240907湖南省长沙市雅礼中学2025届高三月考试卷（一）

雅礼中学 2025 届高三月考试卷 (一)
数 学
命题人：汤灏、伊波、赵志会 审题人：李云皇、汤灏、伊波、赵志会
一、选择题:本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合A=x∣log x>1
2
 ,B={x∣0<x<4}, 则A∩B=( )
A. {x∣2<x<4} B. {x∣2≤x<4} C. {x∣0<x≤2} D. {x∣x≤2}
2.已知复数z满足(1-i)z=2i, 且z+ai(a∈R)为实数, 则a=( )
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
1 1
3.设向量a=(1,0),b= ,
2 2
 , 则下列结论正确的是( )
2
A. |a|=|b| B. a⋅b= C. a-b与b垂直 D, a⎳b
2
4.已知a是函数 f(x)=2x-log 1 x的零点, 若0<x 0 <a, 则 fx 0
2
 的值满足( )
A. fx 0  =0 B. fx 0  <0
C. fx 0  >0 D. fx 0  的符号不确定
1
5. 若sinx+cosx= ,x∈(0,π), 则sinx-cosx的值为( )
3
17 17 1 17
A⋅± B. - C. p.
3 3 3 3
6. 用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. 8 B. 24 C. 48 D. 120
7．函数y=fx  的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能
为( )
1
A．y=f1- x
2

1
B．y=-f1- x
2

C．y=f4-2x  D．y=-f4-2x 
·1·8．刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，
展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是
全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角
14
形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为
5
( )
A．102m B．112m C．117m D．125m
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知变量x,y之间的经验回归方程为y=-0.7x+10.3, 且变量x,y之间的一组相关数据
如下表所示,则下列说法正确的是( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量x,y之间成负相关关系
B. m=4
C. 可以预测，当x=11时，y约为2.6
D. 由表格数据知,该经验回归直线必过点(9,4)
10．一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对S,l  的有( )
A．1,4  B．6,8  C．7,12 
1
D．3,
2

x2 y2
11. 直线y=kx与双曲线 - =1交于P,Q两点, 点P位于第一象限,过点P作x轴的
4 3
垂线, 垂足为N, 点F 为双曲线的左焦点, 则( )
A. 若|PQ|=2 7, 则PF⊥QF
B. 若PF⊥QF, 则△PQF 的面积为4
|PF|
C. >2
|PN|
D. |PF|-|PN|的最小值为4
·2·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是
.
13．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离
是AF  -2，则p= .
14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空
间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下
一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中
各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取
一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为
X ，恰有1个黑球的概率为p ，则p 的值是 ；X 的数学期望EX
n n 1 n n
 是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，AB=AC=AA =2，∠BAC=90°，E，F
1 1 1 1
依次为C C，BC的中点．
1
(1)求证：A B⊥B C；
1 1
(2)求A B与平面AEF所成角的正弦值．
1
·3·16. (本小题满分15分)
ex(2x-1)
已知画数 f(x)= .
x-1
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)当x<1时, 不等式2xex-ax-ex+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
17．已知等比数列a
n
 的前n项和为S ，且a =2S +2n∈N*
n n+1 n
 .
(1)求数列a
n
 的通项公式.
(2)在a 与a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列，在数列
n n+1 n
d
n
 中是否存在3项d ，d ，d ，(其中m，k，p成等差数列)成等比数列?若存在，求出这样
m k p
的3项，若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分17分)
y2 x2 3
椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 , 短轴长为2 , 点P为椭圆的右顶点. ⊙Q:x2
a2 b2 2
+(y+1)2=t2(0<t<1), 过点P作⊙Q的两条切线分别与椭圆交于A,B两点(不同于点P
).
(1)求椭圆C 的方程;
(2)当t变化时, 直线PA,PB的斜率乘积是否为定值, 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明
理由;
(3)给定一个t, 椭圆上的点到直线AB的距离的最大值为d, 当t变化时, 求d的最大值, 并
求出此时t的值.
·4·19. (本小题满分 17 分)如图, 点 Z(a,b), 复数 z=a+bi(a,b∈R) 可用点 Z(a,b) 表示, 这
个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴. 显然,实
轴上的点都表示实数; 除了原点外, 虚轴上的点都表示纯豦数.按照这种表示方法，每一个复
数，有复平面内唯一的一个点和它对应, 反过来,复平面内的每一个点, 有唯一的一个复数和
它对应. 一般地,任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r(cosθ+isinθ) 的形式,即
a=rcosθ, 

 其中 r 为复数z 模, θ 叫做复数z的辐角(以 x 非负半轴为始边, OZ 所在射
b=rsinθ,
线为终边的角), 我们规定 0≤θ<2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值, 记作 argz.
r(cosθ+isinθ) 叫做复数z=a+bi的三角形式。
复数三角形式的乘法公式: r 1cosθ 1 +isinθ 1  ⋅r 2cosθ 2 +isinθ 2  =
r 1 r 2 cosθ 1 +θ 2  +isinθ 1 +θ 2    .
棣莫佛提出了公式: [r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),其中 r> 0,n∈N∗ 。
1 3 2 2
(1) 已知 z= + i,w= + i, 求 zw+zw3 的三角形式;
2 2 2 2
(2) 已知 θ 为定值，0≤θ ≤π ，将复数 1+cosθ +isinθ 化为三角形式；
0 0 0 0
(3) 设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为 z,z ,⋯,z , 求复数
1 2 20
z2024,z2024,⋯,z2024 所对应不同点的个数.
1 2 20
·5·