💡解答

经过分析，这套题目是全国大学生数学竞赛（非数学类）历年初赛【函数与极限】全套真题汇编，一共29道，覆盖极限全部核心考点：数列极限、函数极限、无穷小等价替换、泰勒展开、积分上限函数极限、间断点、数列收敛证明等，是备考数竞必刷专题。

封神专题！全国大学生数学竞赛29道极限真题完整解析｜泰勒万能解法一网打尽

前言：本文汇集第一届至第十七届全国大学生数学竞赛（非数学类）初赛全部极限经典真题。极限是高数根基，也是数竞第一道大关，泰勒公式是这套题最通用的“万能解法”，当然部分题目还有更简便的：夹逼准则、定积分定义、三角恒等变形、 Stolz定理、导数定义等方法。每道题附带【解答+方法评注】，讲清考点与坑点。

第1题（第一届2009非数学类）

题目：求极限

其中是给定的正整数。

解：属于型极限，先取对数

，求和：

利用：

✅评注：标准套路：取对数，等价无穷小/泰勒展开。不要直接洛必达，求和之后展开更简单。

第2题（第二届2010非数学类）

题目：设，其中，求

解：经典平方差递推，乘以

✅评注：连乘式优先考虑平方差、三角倍角这类递推化简，不要直接硬算乘积。

第3题（第二届2010非数学类）

题目：

解：取对数

泰勒：

✅评注：无穷远处极限，令转化为再泰勒是通用技巧。

第4题（第三届2011非数学类）

题目：

解：

分子：

标准答案：

✅评注：这道是经典难题，核心是指数复合函数泰勒展开，展开阶数一定要足够，少展开一阶直接做错。

第5题（第三届2011非数学类）

题目：设，求

解：正弦二倍角公式：

✅评注：余弦连乘专属套路——反复使用二倍角公式，数竞高频题型。

第6题（第四届2012非数学类）

题目：

解：取对数

分子，

✅评注：阶乘极限，优先取对数转化为求和，再看量级对比。斯特林公式也可验证。

第7题（第五届2013非数学类）

题目：

解：根式有理化

型：

答案：

✅评注：三角函数+根号无穷大，第一步剥离整数倍周期，这是本题最关键的一步，很多考生想不到。

第8题（第六届2014非数学类）

题目：设，则

解：裂项！

望远镜求和：

，极限=

✅评注：级数求和极限，看见阶乘分式，第一反应裂项望远镜求和，秒杀题。

第9题（第六届2014非数学类）

题目：已知，则

解：极限条件翻译：

等价无穷小，

✅评注：由极限等式反求参数，属于高频逆向题型，核心读懂对应的指数极限等于A。

第10题（第七届2015非数学类）

题目：

解：放缩夹逼准则

左右两边极限都是，由夹逼准则答案

✅评注：夹逼准则+定积分定义组合题型！分母不一样，不能直接当成标准定积分，必须先夹逼。

第11题（第八届2016非数学类）

题目：若在点可导，且，则

解：，取对数+导数定义

✅评注：导数定义的极限变形，经典题型，看到立刻联想导数。

第12题（第八届2016非数学类）

题目：若存在，求极限

解：等价无穷小替换：

令，

✅评注：抽象函数极限，一定要使用导数定义，不能随便洛必达，题目只说一阶导数在存在，没有说导数连续！

第13题（第九届2017非数学类）

题目：已知可导函数满足，则

解：积分方程，两边对求导

一阶线性微分方程：

初始条件：代入原式，

解微分方程得到：

✅评注：带变上限积分的等式，求导转化微分方程，先取x=0拿到初值是标准流程。

第14题（第九届2017非数学类）

题目：求极限

解：

平方

✅评注：又是根号+三角函数周期剥离，和第7题思路同源，非常经典套路。

第15题（第十届2018非数学类）

题目：设，则极限

解：提取

等价无穷小：，

答案

✅评注：幂差极限，等价无穷小是必考无穷小。

第16题（第十届2018非数学类）

题目：

解：取指数，

分子

原式=

✅评注：多个cos相乘开方，取对数拆解是最优解法，泰勒展开到项即可。

第17题（第十一届2019非数学类）

题目：

解：，，记

分母

原式

✅评注：复杂复合无穷小，整体等价替换，不要强行洛必达，容易越算越复杂。

第18题（第十二届2020非数学类）

题目：极限

解：等价无穷小

，，，

答案

✅评注：基础无穷小套餐，牢记，数竞高频。

第19题（第十三届2021非数学类）

题目：极限

解：拆分

第一项：

第二项：

原式=

✅评注：，一定要提取化简。

第20题（第十四届2022非数学类）

题目：极限

解：泰勒展开到

分子：

分母：

标准结果

✅评注：分子是1减去两个函数乘积，必须展开足够阶数，注意分母化简可以利用简化计算。

第21题（第十四届2022非数学类）

题目：设则的间断点为

解：复合函数分段

条件：

：；

：

：

是间断点。答案

✅评注：复合分段函数间断点，先写出完整分段表达式，只需要看分段交界处。

第22题（第十五届2023非数学类A类）

题目：极限

解：，0/0型，有理化或者泰勒，令，

代入，分子；分母

核对原题：当：，标准解法洛必达或者等价无穷小，答案

✅评注：根式0/0型极限，注意分子分母根号阶数不一样，不要同时乘以同一个因式。

第23题（第十五届2023非数学类B类）

题目：

解：经典模板

答案

✅评注：属于送分套路，直接指数算系数。

第24题（第十六届2024非数学类B类）

题目：极限

解：泰勒，

原式=

✅评注：基础泰勒送分题，记住对数展开。

第25题（第十七届2025非数学类A类）

题目：设，且满足，则

解：全部泰勒展开到

✅评注：无穷小匹配阶数，极限等于1代表分子最高阶项系数和分母系数相等，这是数竞必考题型。

第26题（第十七届2025非数学类A类）

题目：极限

解：积分上限求导/等价无穷小

，，，积分

分母：，分母

答案

✅评注：积分上限函数求极限，优先等价替换被积函数，比直接洛必达简单很多。

第27题（第三届2011非数学类，证明题）

题目：设为数列，为有限数，求证：

1. 若，则

2. 如果存在正整数，使得，则

解：

(1) 这是柯西第一定理（算术平均收敛定理），用定义证明。

简要思路：拆分前项和后面余项，足够大之后后面每一项离很近，平均之后收敛到。

(2) Stolz定理经典推论。将数列按模p分成p个子列，或者使用Stolz：

✅评注：Stolz定理是数列极限证明大杀器，数竞证明题高频考点，第一小问就是经典的Cesàro平均。

第28题（第十二届2020非数学类）

题目：设数列满足，且. 求极限.

解：递推两边取倒数

令，代入递推可以得到是简单求和，最终算出

✅评注：分式递推数列，取倒数改造递推式是标准技巧。

第29题（第十三届2021非数学类）

题目：设．证明数列收敛，并求.

解：假设极限，两边取极限

解方程：

先证明数列单调有界（压缩映射/单调有界定理），舍去负根，极限=

✅评注：递推数列收敛大题，固定两步法：①先证明单调有界（数列收敛的充分条件）；②对递推式两边直接取极限解方程求出极限值，千万不要跳过证明收敛直接解方程，会扣分！

📚专题整体总结

这套29道真题完整覆盖全国大学生数学竞赛极限全部题型：

1. 函数极限：型、无穷小等价替换、泰勒公式（万能）、变上限积分极限

2. 数列极限：夹逼准则、Stolz定理、单调有界、望远镜裂项、Cesàro算术平均

3. 综合考点：间断点判定、积分方程转化微分方程、抽象函数导数定义极限

⚠️最大踩坑提醒：

①抽象函数只告诉可导，不能洛必达，只能导数定义；

②递推数列求极限，必须先证明收敛，再解方程，证明是得分核心；

③三角函数+无穷大根号，记得剥离周期！

如果你需要，我后续可以单独再出一套泰勒公式专项练习题或者整理这份文档的纯文本无注释版本直接复制保存。

注：少数题目简要计算过程做精简展示，完整考场书写需要补齐、单调有界完整证明步骤。

全国招收学应用统计（0252）专业硕士学位研究生高校目录

• （*****招生单位代码）单位名称

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