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一道抽象代数习题勘误及解答
一道抽象代数习题勘误及解答勘 误 · 第 62 页 习题 2.4.11 教材：代数学 2 近世代数（欧阳毅、叶郁、陈洪佳著） 原 题 习题 2.4.11. 证明: 若 的阶为 , 其中 , 且 , 则 一定有真正规子群. 一、两处问题 这道题的表述有所不当. 首先, 真正规子群应该改为非平凡的真正规子群（或非平凡正规子群）, 否则只需取单位元群即可得到. 其次, 即使这样, 题目仍有不妥. 如果代入边界条件 , , 则 的阶是 , 它的子群要么是单位元群, 要么是 本身, 这样一来也不存在非平凡正规子群. 二、订正后的命题 订正后的命题 设 , 其中 , , 且 , 即排除 . 则 有非平凡的真正规子群. 三、证明 证明 设 是 的一个 Sylow -子群. 则 , . 而 则 . 这说明 是正规子群. 若 , 则 , 故 是真子群. 另一方面, , 则 非平凡. 故 是一个真正规子群. 若 , 则 , , 不再是真子群; 此时 迫使 . 让 共轭作用在自身上: 共轭类大小为 这是 的因数, 所以任一轨道的大小要么是 , 要么被 整除. 即 , 或 . 而于是 其中求和跑遍非中心共轭类的一个代表系. 故 , 于是 . 若 , 则得到一个真正规子群. 若 ,则是 Abel 群. 任取非单位元.由于,又整除,故,.令,则,且,于是找到一个阶元. 记,为阶子群. 又为 Abel 群, 则,.而.因此, 是一个真正规子群. GRAYstd · 抽象代数笔记
