量大24-25学年第二学期

《高等数学A2》课程考试试卷(A)

一、填空题（能化简的须化简）

1. 若向量平行，则 .

解析：

1. 将  坐标面上的抛物线  绕  轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程是 .

2. 设 ，则

解析：

1. 函数的极大值为 .

法一(求偏导) ：第一步：求驻点；由

得驻点：第二步：二阶偏导数判别极值点；由于

所以在点处 , 故此四点不是极值点；在点 处故  为唯一的极大值点，相应的极大值为 .

法二(初等方法) ： 配方得

容易看出：在处，取得极大 值 .

问题 ：如何排除别的极大值点？也就是，如何判别没有别的极大值点呢？

1. 设  是由直线  和  所围成的区域，则积分与的大小是：.

解析：注意到在  内 ，所以

1. 设  为椭圆 ，其周长为 ，则

法一（参数化） ； 的参数方程为

所以

法二（奇偶对称） ；令 ，则

所以 ，

1. 设 ，则曲面积分

2. 级数  是.（绝对收敛、条件收敛、发散）

解析：第一步，易证符合莱布尼兹定理的条件，所以收敛；

第二步，分析的收敛性.   注意到此为  级数，且 ，故而发散；

综上，该级数为条件收敛.

1. 级数 .

解析：令 ，则

所以

故 .

二、计算题

1. 一平面通过平面  和  的交线且与平面  垂直，求该平面方程.

法一（点法式方程）：交线的方向向量为

故 ，即所求平面为

法二（平面束方程）：过交线的平面束方程为

即所求平面在平面束

得 ，所以得 .

1. 设 ，且  具有二阶连续偏导数，求 .

解析：

1. 求曲面  在点  处的切平面方程.

解析：设

在点  处的法向量为

1. 计算 ，其中 D是圆域：.

法一（极坐标）：在极坐标系下，积分域表示为: ，，所以

法二（奇偶对称）：令，则，所以

1. 计算三重积分  其中  是由抛物面  及平面  所围成的闭区域.

解析： 在  面上的投影是

故

法一（极坐标）:

法二（轮换对称）:

1. 计算  其中  为平面  所围成的立体的表面的外侧.

解析：由高斯公式

1. 求幂级数  的和函数.

解析：第一步，分析收敛域.  因

所以当  时级数  收敛；另外，当时，级数化为调和级数，所以幂级数 的收敛域为 .

第二步，求和函数.   记