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专练 12 函数的图象
授课提示：对应学生用书23页
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
A B
C D
答案：D
解析：由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，
令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x.
∵ f(x)＝－f(－x)，∴ f(x)为奇函数．
∴ f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.
令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，
∴ 当k＝1时，x＝，故排除C.
故选D.
2．为了得到函数y＝log 的图象，可将函数y＝log x图象上所有点的( )
2 2
A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
答案：A
解析：把函数y＝log x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函
2
数y＝log x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝log (x－1)的图象，即函数y＝log (x
2 2 2
－1)＝log 的图象．
2
3．函数f(x)＝的图象大致为( )答案：B
解析：∵ y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴ f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴ <，∴ e－>1，排除C选项．
故选B.
4．函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案：D
解析：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A；
∵f(π)＝＝>0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B.故选D.
5．[2024·全国甲卷(理)]函数y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(
)
答案：B
解析：令函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x，x∈[－2.8，2.8]，因为f(－x)＝－x2＋(e－x－
ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，排除选项A，C.
令x＝1，则f(1)＝－1＋(e－)sin 1.
因为1∈(，)，所以sin 1∈(，).
又因为e≈2.7，所以e－>2，所以(e－)sin 1>，所以f(1)＝－1＋(e－)sin 1>0，排除选项
D.故选B.6．对于函数f(x)＝的图象及性质的下列表述，正确的是( )
A．图象上点的纵坐标不可能为1
B．图象关于点(1，1)成中心对称
C．图象与x轴无交点
D．图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点
答案：A
解析：函数f(x)＝＝1＋，∵≠0，∴f(x)≠1.故A正确；显然f(x)的图象关于(－1，1)成中
心对称，故B不正确；∵当x＝－2时，f(x)＝0，故图象与x轴有交点，C不正确；由函数
的概念知D不正确．
7．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
答案：B
解析：图②是由图①y轴左侧图象保留，左右关于y轴对称得，故图②对应的解析式
为y＝f(－|x|).
8．[2022·全国甲卷(理)，5]函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间的图象大致为( )
答案：A
解析：设函数f(x)＝(3x－3－x)cos x，则对任意x∈[－，]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos (－
x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3
－1)cos 1＝cos 1＞0，所以排除C选项．故选A.
9．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象的所有交点的横坐标之和等于(
)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：D
解析：由题意知y＝＝的图象是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y＝2sin πx的
周期为T＝＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，
因此两图象的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，
再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x＋x＋…＋x＝4×2＝8.故选D.
1 2 8
二、填空题
10．若函数y＝f(x)的图象经过点(2，3)，则函数y＝f(－x)＋1的图象必定经过的点的坐
标为________．
答案：(－2，4)
解析：由题意得f(2)＝3，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，∴y＝f(－x)过点
(－2，3)，∴y＝f(－x)＋1的图象过点(－2，4).
11．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等
式<0的解集为________.
答案：∪
解析：当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，
当1<x<时，<0.
又函数y＝为偶函数，
∴在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
12．已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围
是________．
答案：(0，1)∪(1，4)
解析：根据绝对值的意义，
y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示，根据图象可知，当0<k<1或
1<k<4时有两个交点．
[能力提升]
13．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿A－B－C
－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是(
)答案：A
解析：y＝f(x)＝画出分段函数的大致图象，如图所示．故选A.
14．(多选)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数 f(x)
的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．则下列函数是一阶整点函
数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3
C．h(x)＝()x D．φ(x)＝ln x
答案：AD
解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函
数，A正确；对于函数g(x)＝x3，它的图象经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶
整点函数，B错误；对于函数h(x)＝，它的图象经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不
是一阶整点函数，C错误．对于函数φ(x)＝ln x，它的图象只经过一个整点(1，0)，所以它
是一阶整点函数，D正确．故选AD.
15．已知函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[－1，＋∞)时，f(x＋1)是
增函数，则不等式f(x－3)－f(x)>0的解集为________.
答案：
解析：由题意得f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，由f(x－3)－f(x)>0得f(x－
3)>f(x)，∴|x－3|>|x|，得x<.
16．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的
根，则m的取值范围是________.
答案：(3，＋∞)
解析：f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只
需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.
