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专练 55 随机抽样与用样本估计总体
授课提示：对应学生用书115页
[基础强化]
一、选择题
1．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了 9
位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，
年龄在(－s，＋s)内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数，s为标准差，结果精确到
1%)( )
A．14% B．25% C．56% D．67%
答案：C
解析：因为x＝
＝40，
s2＝(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝，即s＝，年龄在(x－s，x＋s)即内的人数为
5，所以所求百分比为≈0.56＝56%，故选C.
2．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分
布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，
[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数是( )
A.56 B．60 C．120 D．140
答案：D
解析：由频率分布直方图知，200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－
(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数为
200×0.7＝140.
3．[2024·九省联考]样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为( )
A．14 B．16 C．18 D．20
答案：B
解析：将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其
中位数为16.故选B.
4．[2024·新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，
得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
[900， [950， [1 000， [1 050， [1 100， [1 150，
亩产量
950) 1 000) 1 050) 1 100) 1 150) 1 200)
频数 6 12 18 30 24 10根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案：C
解析：A选项，因为6＋12＋18＝36<50，36＋30＝66>50，所以100块稻田亩产量的中
位数不小于1 050 kg, A错误；B选项，因为100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田有66
块，所占比例为66%<80%，所以B错误；C选项，100块稻田亩产量的极差的最大值小于
1 200－900＝300，最小值大于1 150－950＝200，所以极差介于200 kg至300 kg之间，C
正确；D选项，同一组中的数据都用左端点值来估计，则这100块稻田亩产量的平均值的
最小值为×(6×900＋12×950＋18×1 000＋30×1 050＋24×1 100＋10×1 150)＝1 042>1
000，所以平均值不介于900 kg至1 000 kg之间，D错误．故选C.
5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地
了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成
比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案：A
解析：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可得下表：
种植收入 第三产业收入 其他收入 养殖收入
建设前
0.6a 0.06a 0.04a 0.3a
经济收入
建设后
0.74a 0.56a 0.1a 0.6a
经济收入
根据上表可知B、C、D均正确，A不正确，故选A.
6．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取
10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居
民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案：B
解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，
70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列
为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中
位数是第5个与第6个数的平均数，为＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知
讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，
95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为
×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正
确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差 s＝×[(90%－89.5%)2＋
(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝，所以标准差s ＝6.5%.讲座前
后
这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋
80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差
为s＝×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝，所以标
准差s ≈11.93%.所以s ＞s ，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为
前 前 后
95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选
B.
7．(多选)有一组样本数据x ，x ，…，x ，由这组数据得到新样本数据 y ，y ，…，
1 2 n 1 2
y，其中y＝x＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
n i i
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
答案：CD
解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为x，则第二组的中位数为y＝x＋c，显然不相同，错误；
i i i
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．
D：由极差的定义知：若第一组的极差为x －x ，则第二组的极差为y －y ＝(x
max min max min max
＋c)－(x ＋c)＝x －x ，故极差相同，正确．
min max min
故选CD.
8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(
)A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
答案：C
解析：甲的平均数是＝6，中位数是6，极差是4，
方差是＝2；
乙的平均数是＝6，中位数是5，极差是4，
方差是＝，比较可得选项C正确．
9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表所示：
广告费用x(万元) 2 3 4 5 6
销售额y(万元) 19 25 34 38 44
根据上表可得经验回归方程为y＝6.3x＋a，下列说法正确的是( )
A．回归直线y＝6.3x＋a必经过样本点(2，19)，(6，44)
B．这组数据的样本点中心(x，y)未必在回归直线y＝6.3x＋a上
C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元
答案：D
解析：由表格中的数据可得x＝＝4，
y＝＝32，
将点(x，y)的坐标代入经验回归方程得6.3×4＋a＝32，
解得a＝6.8，
所以回归方程为y＝6.3x＋6.8.
对于A选项，当x＝2时，y＝6.3×2＋6.8＝19.4，A选项错误；
对于B选项，这组数据的样本点中心(x，y)必在回归直线y＝6.3x＋a上，B选项错误；
对于C选项，回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，
C选项错误；
对于D选项，当x＝7时，y＝6.3×7＋6.8＝50.9，
所以据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元，D选项正确．故选D.
二、填空题
10．已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________．
答案：2
解析：由平均数公式可得＝4，解得a＝2.
11．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费
金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
答案：(1)3 (2)6 000
解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a＝3.
(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所
以所求购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
12．在一容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两
个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1■，■，那么这组数据的
方差s2可能的最大值是________．
答案：32.8
解析：设这组数据的最后两个数据为10＋x，y(x∈N，x≤9)
∵9＋10＋11＋10＋x＋y＝10×5＝50，
∴x＋y＝10，∴y＝10－x.
∴s2＝[1＋0＋1＋x2＋(y－10)2]＝(2＋2x2).
∵x≤9，∴当x＝9时，s2取得最大值32.8.
[能力提升]
13．[2024·重庆南开中学月考]今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁．如图统计了
上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：摄氏度)，
以下判断错误的是( )
A．今年每天气温都比去年同期的气温高
B．今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低
C．去年8～11号气温持续上升
D．今年8号气温最低
答案：A
解析：由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年同期的气温，故选项A
不正确；除6，7号，今年气温略高于去年同期的气温外，其他日子，今年气温都低于去年
同期的气温，所以今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低，选项 B正确；今年
8～11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C正确；
由图可知，今年8号气温最低，选项D正确．故选A.14．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]有一组样本数据x ，x ，…，x ，其中x 是最小值，x 是
1 2 6 1 6
最大值，则( )
A．x，x，x，x 的平均数等于x，x，…，x 的平均数
2 3 4 5 1 2 6
B．x，x，x，x 的中位数等于x，x，…，x 的中位数
2 3 4 5 1 2 6
C．x，x，x，x 的标准差不小于x，x，…，x 的标准差
2 3 4 5 1 2 6
D．x，x，x，x 的极差不大于x，x，…，x 的极差
2 3 4 5 1 2 6
答案：BD
解析：取x ＝1，x ＝x ＝x ＝x ＝2，x ＝9，则x ，x ，x ，x 的平均数等于2，标准差
1 2 3 4 5 6 2 3 4 5
为0，x，x，…，x 的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，
1 2 6
将x，x，…，x 按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于 x
1 2 6 1
是最小值，x 是最大值，故x ，x ，x ，x 的中位数是将x ，x ，x ，x 按从小到大的顺序排
6 2 3 4 5 2 3 4 5
列后中间两个数的算术平均数，与x ，x ，…，x 的中位数相等，故B正确；根据极差的
1 2 6
定义，知x，x，x，x 的极差不大于x，x，…，x 的极差，故D正确．综上，选BD.
2 3 4 5 1 2 6
15．已知一组正数x，x，x 的方差s2＝(x＋x＋x－12)，则数据x＋1，x＋1，x＋1的
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平均数为________．
答案：3
解析：∵s2＝[(x－x)2＋(x－x)2＋(x－x)2]
1 2 3
＝
＝，
又s2＝(x＋x＋x－12)，
∴3x2＝12，∴x＝2.
∴x＋1，x＋1，x＋1的平均数为＝3.
1 2 3
16．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有 n个小矩形，若中间一
个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．
答案：50
解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为P，则中间一个小矩形面积
为P，P＋P＝1，P＝，则中间一个小矩形的面积等于P＝，200×＝50，即该组的频数为
50.
