文档文本内容
专练 9 幂函数
授课提示：对应学生用书17页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数既是偶函数又是幂函数的是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝|x|
答案：B
2．若f(x)是幂函数，且满足＝4，则f等于( )
A．4 B．－4
C． D．－
答案：C
解析：设f(x)＝xα，则＝＝4，
∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f＝＝.
3．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f()，b＝f(π)，c＝f()，则a，
b，c的大小关系为( )
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．b<a<c
答案：A
解析：由题意知，点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，所以m－1＝1，
8＝(m－1)·mn，则m＝2，n＝3.
即f(x)＝x3，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又<<1<π，
所以f()<f()<f(π)，即a<c<b.
4．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(21－log 3)为( )
2
A． B．
C． D．－1
答案：C
解析：∵幂函数y＝f(x)的图象过点，
∴可设f(x)＝xα，
∴5α＝，解得α＝－1，
∴f(x)＝x－1.
∴f(21－log 3)＝f(2log )＝f＝＝，故选C.
2 2
5．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
答案：D
解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴f(x)＝
x.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.
6．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠
答案：A
解析：因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2.
7．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
答案：A
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，
又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.
8．(多选)已知实数a，b满足a＝b，则下列关系式中可能成立的是( )
A．0<b<a<1 B．0<a<b<1
C．1<a<b D．1<b<a
答案：AC
解析：由题可知a，b∈[0，＋∞)，设a＝b＝m，则m≥0，画出y＝x与y＝x在[0，＋
∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当0<m<1时，0<b<a<1；当m>1
时，1<a<b.故选AC.
9．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x ，x∈(0，＋∞)，
1 2
且x≠x，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有( )
1 2
A.a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能
答案：BC
解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，
f(x)＝；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R
上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝
f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.
当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<
－a)，故BC都有可能成立．
二、填空题
10．已知a∈{－2，－1，－，，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋
∞)上递减，则a＝________.
答案：－1
11．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2 (k∈N*)满足f(2)<f(3)，则f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2 (k∈N*)满足f(2)<f(3)，故－k2＋k＋2>0，∴－1<k<2，又
k∈N*，∴k＝1，f(x)＝x2.
12．若幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2-6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则 m 的值为
________．
答案：1
解析：由已知得m2－4m＋4＝1，
即m2－4m＋3＝0，
解得m＝1或3.
当m＝1时，f(x)＝x3，符合题意；
当m＝3时，f(x)＝x－1，不符合题意．
故m＝1.
[能力提升]13．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲
线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝
xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则a－＝( )
A．0 B．1 C． D．2
答案：A
解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M(，)，N(，)，分别代入y＝
xa，y＝xb，得a＝log b＝log
， ，
∴a－＝log ＝0.
－
14．(多选)[2024·重庆开州区质量检测]已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列
说法正确的有( )
A．函数f(x)为增函数
B．函数f(x)为偶函数
C．若x＞1，则f(x)＞1
D．若0＜x＜x，则＜f
1 2
答案：ACD
解析：将点(4，2)的坐标代入函数f(x)＝xα中得2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x.
显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确．
f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确．
当x＞1时，＞1，即f(x)＞1，所以C正确．
f(x)＝x≥0，若0＜x＜x，
1 2
则－
＝()2－( )2
＝－
＝＝－＜0，
即＜f成立，所以D正确．故选ACD.
15．右图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相
应曲线C ，C ，C ，C 的n值依次为( )
1 2 3 4
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
答案：B
解析：当x＝2，n取2，－2，，－四个值时，依次对应的函数值为4，，，，因此有
C ，C ，C ，C 对应的n值分别为2，，－，－2.
1 2 3 4
16．若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪
解析：不等式(a＋1) - eq ¿(1,3) <(3－2a) - eq ¿(1,3) 等价于
a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a
解得：<a<或a<－1.
