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2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（六年级）
一．填空题（每小题8分，共32分）
1．（8分）算式： 的计算结果是 ．
2．（8分）某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待2013年的到来，因为，2、0、1、
3是四个不同的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可
以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第 2个‘幸运
年’了．”那么，哥哥是 年出生的．
3．（8分）如图示，分别以正八边形的四个顶点A、B、C、D为圆心，以正八边形边长为半径画
圆．圆弧的交点分别为E、F、G、H．如果正八边形边长为100厘米，那么，阴影部分的周长
是 厘米． （ 取3.14）
π
4．（8分）由2、0、1、3四个数字组成（可重复使用）的比2013小的四位数有 个．
二．填空题（每小题10分，共40分）
5．（10分）小于200且与200互质的所有自然数的和是 ．
6．（10分）在33的九宫格内填入数字1至9（每个数字都恰好使用﹣次），满足圆圈内的数恰
好为它周围四个方格的数字之和．例如 A+B+D+E＝28，那么 组成的五位数是
．
三．填空题（每小题12分，共48分）
第1页（共8页）7．（12分）四个不同的自然数和为2013，那么这四个自然数的最小公倍数最小是 ．
8．（12分）甲、乙二车分别从A、B两地同时出发，相向匀速而行，当甲行驶过AB中点12千米
时，两车相遇．若甲比乙晚出发10分钟，则两车恰好相遇在AB中点，且甲到B地时，乙距
离A地还有20千米．AB两地间的路程是 千米．
9．（12分）老师从写有1～13的13张卡片中，抽出9张，分别贴在9位同学的额头上，大家能
看到其他8人的数但看不到自己的数．（9位同学都诚实而且聪明，且卡片6、9不能颠倒）
老师问：“现在知道自己的数的约数个数的同学请举手．”有两人举手，手放下之后，有
三个人有如下的对话．
甲：“我知道我是多少了．”
乙：“虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了．”
丙：“我的数比乙的小2，比甲的大1．”
那么，没有被抽出的四张牌上数的和是 ．
第2页（共8页）2013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（六年级）
参考答案与试题解析
一．填空题（每小题8分，共32分）
1．（8分）算式： 的计算结果是 12 6 ．
【解答】解：分子＝5.7×4.2+4.2×4.3
＝4.2×（5.7+4.3）
＝4.2×10
＝42
分母＝ ×15+ ×3×59+656
＝ ×14+ ×59+656
＝ ×（14+59）+656
＝ ×73+656
＝15+656
＝617
＝2013×
＝3×42
＝126
故答案为：126．
2．（8分）某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待2013年的到来，因为，2、0、1、
3是四个不同的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可
以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第 2个‘幸运
第3页（共8页）年’了．”那么，哥哥是 198 7 年出生的．
【解答】解：从2013年往前推算，年份依次是：
2012，有2个2；
2011，有2个1；
2010有2个0；
2009～2000，都至少有2个0；
1999～1989，都至少有2个9；
1988，有2个8；
1987四个数字都不相同；
所以哥哥是 1987年出生的．
故答案为：1987．
3．（8分）如图示，分别以正八边形的四个顶点A、B、C、D为圆心，以正八边形边长为半径画
圆．圆弧的交点分别为E、F、G、H．如果正八边形边长为100厘米，那么，阴影部分的周长
是 31 4 厘米． （ 取3.14）
π
【解答】解：180°×（8﹣2）÷8
＝180°×6÷8
＝135°
×3.14×100× ×4
＝ ×3.14×100×4
＝314（厘米）
答：阴影部分的周长是314厘米．
故答案为：314．
4．（8分）由2、0、1、3四个数字组成（可重复使用）的比2013小的四位数有 7 1 个．
【解答】解：根据分析可得，
第4页（共8页）首位为1时，共有：4×4×4＝64（个）；
①首位为2时，共有：4+3＝7（个）；
②所以，共有：64+7＝71（个）．
答：由2、0、1、3四个数字组成（可重复使用）的比2013小的四位数有 71个．
故答案为：71．
二．填空题（每小题10分，共40分）
5．（10分）小于200且与200互质的所有自然数的和是 800 0 ．
【解答】解：200＝52×23，
那么与200互质必须符合：既不是2的倍数，也不是5的倍数，
1～199中奇数的和是：
＝100×100
＝10000，
其中又是5的倍数（奇数倍）的和是：
其中最大的5的倍数是5×39，
5×
＝5×400
＝2000，
10000﹣2000＝8000；
答：小于200且与200互质的所有自然数的和是8000．
故答案为：8000．
6．（10分）在33的九宫格内填入数字1至9（每个数字都恰好使用﹣次），满足圆圈内的数恰
好为它周围四个方格的数字之和．例如 A+B+D+E＝28，那么 组成的五位数是
71925 ．
【解答】解：因为A+B+D+E＝28，而9+8+7+6＝30，所以ABCDE中必有8和9，可以是
9+8+7+4和9+8+6+5两种．
第5页（共8页）若A+B+D+E＝9+8+7+4，再考虑D+E+G+H＝25，以及右下角的23，令E＝9，D＝8，A＝
①7，B＝4，则G+H＝7+4﹣3＝8，C+F＝7+8﹣11＝4，所以C＝1，F＝3，那么G＝2，H＝6，I
＝5，所以ACEGI＝71925，其余皆矛盾；
若A+B+D+E＝9+8+6+5，尝试知矛盾．所以ACEGI＝71925．
②答： 组成的五位数是71925
故答案为：71925．
三．填空题（每小题12分，共48分）
7．（12分）四个不同的自然数和为2013，那么这四个自然数的最小公倍数最小是 99 0 ．
【解答】解：设最小公倍数为x，四个数分别为 ， ， 和 ．
那么 ．
要使x尽量小，那么 尽量大．
即a，b，c，d尽量小，那么考虑 ．
那么 ，x不是整数，舍去．
再考虑 ，
，得x＝990．满足条件．
综上所述最小公倍数是990．
故答案为：990．
8．（12分）甲、乙二车分别从A、B两地同时出发，相向匀速而行，当甲行驶过AB中点12千米
时，两车相遇．若甲比乙晚出发10分钟，则两车恰好相遇在AB中点，且甲到B地时，乙距
离A地还有20千米．AB两地间的路程是 12 0 千米．
【解答】解：设全长为s
（s+24）：（s﹣24）＝s：（s﹣40）
（s+24）×（s﹣40）＝（s﹣24）×s
第6页（共8页）s2﹣16s﹣960＝s2﹣24s
24s﹣16s＝960
8s＝960
s＝120
答：AB两地间的路程是120千米．
故答案为：120．
9．（12分）老师从写有1～13的13张卡片中，抽出9张，分别贴在9位同学的额头上，大家能
看到其他8人的数但看不到自己的数．（9位同学都诚实而且聪明，且卡片6、9不能颠倒）
老师问：“现在知道自己的数的约数个数的同学请举手．”有两人举手，手放下之后，有
三个人有如下的对话．
甲：“我知道我是多少了．”
乙：“虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了．”
丙：“我的数比乙的小2，比甲的大1．”
那么，没有被抽出的四张牌上数的和是 2 8 ．
【解答】解：约数个数为1的有1；
约数个数为2的有2、3、5、7、11、13；
约数个数为3的有4、9；
约数个数为4的有6、8、10；约数个数为6的有12
每个人只能看到另外8位同学额头上的数，而要看到8个数就能确定自己约数的个数，只
能是约数个数为1、3、4、6的都看到了，所以没有抽出的四张牌必定约数个数为2个，是质
数．约数个数不是2的数有7个，所以7个人没有举手，所以举手的两个人额头上的数都
是质数．手放下之后，甲说：“我知道我是多少了．”所以甲额头上的数不是质数．乙说：
“虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了．”乙现在还不确定自己的
数是多少，那么只可能他是约数个数2个的，也就是他额头上的数是质数，他有知道奇偶
性，所以他看到其他人额头上有2，所以乙的数除了2之外的质数，必定是奇数，而丙比乙
小2，所以丙也是奇数，又丙知道自己的数，所以丙的数不是质数，那么丙的数只能是1或
者9，又要比甲大1，所以丙是9，甲是8，乙是11．
那么，质数当中出现了2和11
所以没有被抽出的四张牌是3、5、7、13，和为3+5+7+13＝28
故答案为：28．
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第7页（共8页）日期：2019/5/5 18:08:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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