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3 年级第 12 讲 枚举法二
◇ 兴趣篇 ◇ ◇
1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？
【分析】共有：114；123；132；141；213；222；231；312；321；411共计10个；
2. 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有8颗蛀
牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？
【分析】
所以情况共有21种。
3. 老师让小明写出了3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一
种写法，例如 、 还有 都算是同一种写法。请问：小明一共有多
少种不同的写法？
【分析】 共计7种；
4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这
12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？
【分析】分堆是无序分拆：
所以这3堆蚂蚁的情况共有7
种。
5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，
一共有多少个满足条件的三位数？
【分析】根据乘法原理，知： ，所以有8个满足条件的三位数。
6. 如图，一只蚂蚁要从一个正四面体的顶点 出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个
顶点再回到顶点 。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？【分析】
画树状图有6种：
C A
B
D A
B A
A C
D A
B A
D
C A
7. 5块六边形的地毯拼成了图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1号地
毯上，他想要走到5号地毯上。如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边
形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如 就是一种可能
的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？
【分析】标数法，如下图：
1 3
1 2 5
8. 在图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？【分析】如上图， 的有9个； 的有8个；
的有6个； 的还有4个； 的有2个；
所以，一共可以找出29个长方形。
9. 如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多少种
不同的付款办法？（不考虑找钱的情况）
【分析】设1元、2元、5元的分别为x张、y张、z张，则有：
。
当 时，有： ，有以下组解：
；
当 时，有： ，有以下组解：
当 时，有： ，有以下组解：
所以共有： （种）。
10. 有一类小于1000的自然数，每个数都由若干个1和若干个2组成，并且在每个数中，1
的个数比2的个数多，这样的数一共有多少个？
【分析】根据题意，这类数只能有２个１，１个２组成，这样的数只有３个。如下：
112、121、211．
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人
可能分别找到了几件宝物？【分析】
所以共有21种情况。
2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的
薯条都比5根多。请问：每个人可能吃了几根薯条？
【分析】
所以共有6种情况。
3. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。如果两个同学写出的3
个自然数相同，只能顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种
不同的写法？
【分析】根据题意，共有如下10种情况：
4. 刘老师准备去打羽毛球，他拿了3个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球。
他数了一下，发现3个球桶里面一共有16个羽毛球。请问：3个球桶里面可能分别有几
个羽毛球？
【分析】由于球桶一样，则在计算时不计顺序，所以有：
共10种情况。
5. 商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，…，11，12元。小悦准备买3
支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？
【分析】根据题意，有：
共计12种。
6. 刘老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这
个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字。
试问：刘老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？
【分析】设这个密码为： ，且有： ，从百位开始枚举有：
541、542、543；531、532；521；431、432；421；321共10次。
7. 常昊和古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？
【分析】令常昊为a，古力为b，则进行分类枚举有：
如果第一场常昊胜，共有6种：
a
a
a
a
b
b
a b
a
a
a
b
b
b
a
a
b b
b
如果第一场古力胜，有4种：
a
a
a
b
b
a
a
a
b
b b
b a
a
a
b
b
b
b
所以共有10种。
8. 从图中的左下角的 点走向右上角的 点。如果要求只能向上或者向右走，一共有多少
种不同的走法？如果要求只能不走重复的路线就可以，那么从 点走到 点一共有多
少种不同的走法？
【分析】（1） 如果是只能向上或者向右走 ，使用标数法,可知有：
1 2 B
5
1
2
A 1
（2） 不走重复路线共有9种方法；
E F B
C
G
A D
F B
E
G H B
C F B
G
H B
A C E F B
G
D F B
H B
9. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止。如果天数不限，可能的吃法一共有多
少种？
【分析】共有：
所以共有8种。
10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字1、2、3。小悦可以用这些木板拼成多少个不同
的数？
【分析】按照位数进行分类，有：
则共有：15个。
11. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个。冬
冬想要挑3个水果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？【分析】根据题意，3个水果来自：
（1） 一种水果：3种；
（2） 两种水果： 种；
（3） 三种水果：1种。
所以冬冬一共有10种。
12.（1）如图（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬
行，方格纸上每一段的长度都是1厘米。试问：小蚂蚁爬了2厘米之后，可能在哪些
位置？把可能的位置在图上标出来。
（2）如图（b），方格纸上每一小段的长度也是1厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，
如果它爬了3厘米之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同
的可能？
【分析】（1）有8个可能的位置，分别是：
（2）观察一边，共有10种；
2种； 1种； 2种；2种； 1种； 2种；
◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇
1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多。请问：两
种福娃的个数可能有多少种不同的情况？
【分析】有序分拆有：
所以共有32种。
2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边数是8厘米，这样的三角形共有多少种？
【分析】令另外两条边的边长为a与b，且 ，
则有：根据不等式有：
所以共有20个解。
3. 有19本书，分成5份。如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种
分法？
【分析】在 的基础上进行调整，则有：
共5种解。
4. 在 总决赛中，由洛杉矶湖人队对底特律活塞队。比赛采用7场4胜制，每胜一场会
获得1分的积分。最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4:2，并且在整个比赛过程中，
湖人队的积分从来没有落后过。问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？
【分析】如下图，横线段表示湖人队得分，树线段表示活塞队得分，由于一开始是湖人队
先得分，而且湖人队的得分时钟要不低于活塞队，而且湖人队不能领先4活塞队4分，
则标数法，如下图所示：
2 5 5 2分
1 2 3 1分
1 1 1
0分 1分 2分 3分 4分
5. 甲、乙、丙三个人传球。第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过4次传球后，
球正好回到甲手中。那么一共有多少种不同的传球方式？
【分析】
树状图法，共有6种：
乙 甲
甲 丙 甲
甲
乙
丙 甲
乙
甲 乙 甲
甲 丙 甲
丙
甲
乙
丙 甲
6. 如图，现在要从图中的 点走到 点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少
种不同的走法？【分析】从A出发，第一条路线有3种选择；
若从A第一步去往C地 ；则有6种；
D G B
E G B
F B
A C
B
F
G B
E
D G B
同理，若从A第一步去往D地；则有6种；
若从A第一步去往E地；则有4种；
所以共有16种方法。
7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。一段时间后，他们觉
得每天做同样的位置太无聊，每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种
换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且
每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
【分析】（1）将五人分别编号为1、2、3、4、5；则有：
（4，5，1，2，3）；（5，4，1，2，3）；（3，4，5，1，2）；（3，4，5，2，1）所以
共有4种；
（2）每人都要换座位，而且要换到与原来位置不相邻的情况，则也给甲、乙、丙、丁、戊、
己六人编号为1、2、3、4、5、6，他们共能组成以下8种方法：5 6 1 5 4 1 3 6 5 3 4 5
2 3 4 6 3 2 2 1 4 6 1 2
6 4 5 5 6 4 5 6 4 6 4 5
3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1
8. 如图所示，一只蚂蚁从 点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，
一共有多少种不同的走法？
【分析】第一站到如果是到B有10种（如下图）；到D、到E、到F类似，所以共有40种；
E D F
C
F D E
D F
C
F D
A B E
C F
D
F C
E C
D
F C E
C D E
E D
