文档内容
第 15 讲 圆与扇形
内容概述
掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式
处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定部分的面积；
学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。
典型问题
兴趣篇
1．已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积和周长各是多少？（л取
3.14）
解析：知道了圆心角，就相当于知道了扇形占圆面积的 ，扇形的弧长也是圆周长的 。
2．已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的半径和周长各是多
少？（л取3.14）
解析： ，半径r=6
周长：
3．(1)根据图15-1所给的数值，求这个图形的外周长和面积．（л取3.14）
(2)如图15.2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图
中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率л取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？
解析：1.圆的半径： 周长：
面积：
2. 如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上4个
的面积减去4个 的面积，即加上4× －4× ＝1个半径为1的圆的面积．所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2－1×1×1π≈16+3.14＝19.14(平方厘米)．
4．如图15-3，求各图形中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取3.14）
解析：1.用平移法阴影为三角形面积，
2.用平移法阴影面积为正方形面积，
3.
5．如图154，求各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取3.14）
解析：1.考虑到重叠，
2.考虑到重叠，
3.考虑到重叠，
6．图15-5中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米．其中直角三
角形竖直的直角边的长度是多少？（л取3.14）
解析： （厘米）7．求图15-6中阴影部分的面积．（л取3.14）
解析： 我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积和即可，
其中①、②面积相等．
易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知，单独求
①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下图所示，则①、②部分变为一
个以AC的直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC＝10．
两个四分之一圆的面积和为2× ×102×π≈50×3.14＝157，而①、②部分的面积和为
×10×10＝50，所以阴影部分的面积为157－50＝107(平方厘米)．
8．如图15-7，在3×3的方格表中，分别以A、E为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是
90°的两段圆弧．图中阴影部分的面积是多少？（л取3.14）
解析：
9．如图15—8，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．
问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
解析：首先算出大圆和小圆的面积比，设小圆的半径为r，则大圆为3r
大圆面积：小圆面积= 小圆的面积为余下边角料的面积为： 平方厘米
10．一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形I（图15-9）．让这个长方
形绕顶点B顺时针旋转 后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置．
求A点经过的总路程的长度．（圆周率按3计算）
解析：三次转动，每次A点走的都是四分之一个圆周，只是圆周的半径不一样。第一次半
径为4厘米，第二次半径为长方形的对角线，半径为 5厘米，第三次半径为长方形的宽 3
厘米。
厘米
拓展篇
1．(1)已知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14，这个扇形的面积是多少？
(2)已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长．（л取3.14）
解析：1.由弧长公式 得扇形为四分之一圆。
面积为： 平方厘米
2.首先算出来半径， ，半径为6厘米
3.半圆的周长为： 厘米
2．如图15-10，求各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，л取3.14）
解析：1.利用平移法，阴影的面积等于三角形面积的一半。
平方厘米
2.先用分割法，将正方形分割为四个小正方形，在一个正方形中考虑重叠，阴影的年级为
一个小圆面积的一半减去正方形的面积
3．如图15-11，直角三角形ABC的面积是45，分别以B、C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58.请问：角A是多少度？（л取3.14）
解析：利用三角形内角和为180度。以A点为原点，
半径3厘米的扇形面积为： 平方厘米
度
4．图15-12是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图15-13所示，让A点不动，把
整个半圆逆时针转60。，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘
米？（л取3.14）
解析：经过转化，阴影部分的面积就是扇形ABC的面积
平方厘米
5．图15-14中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如
果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
解析：我们可以将图中空白部分分成8个形状相同、面积相等的小图形 ．
其在圆内的位置如下图，有弓形 部分面积为 圆与等腰直角三角形ABO的面积差，
即为 ×12×π－ ×1×1≈ ×3.14－0.5＝0.285．原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的4个 的面积，即8个
的面积，而阴影部分面积又是整个图形面积减去 4个 的面积，即8个
的面积．
那么，原题图中阴影部分面积为4个圆面积减去16个 的面积．
所以，原题图中阴影部分总面积为4×12×π－16×0.285≈4×3.14－4.56＝8(平方厘米)．
6．图15-15中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半
径的扇形．已知AB =BC=10厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（л取
3.14）
解析：我们通过对图形的分析可以看出用直角三角形的面积减去扇形的面积，就为半圆内
的空白部分，再用半圆的面积减去空白就可以了。
平方厘米
7．图15-16是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是 4．
图中阴影部分的面积是多少？（л取3.14）
解析：就是用扇形的面积减去里面正方形的面积
8．(1)如图15-17，已知外面大圆的半径是4，求正方形以及里面小圆的面积．（答案用л
表示）
(2)已知图15-18中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方
形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用л表示）解析：1.里面正方形的面积为
圆的面积为：
2.扇形的半径为正方形对角线的一半。用正方形的面积减去一个扇形的面积，就可以得到
一个空白的面积
9．图15-19中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形．请问：两个阴影部分的面
积之差是多少？（л取3.14）
解析：用长方形的面积减去四分之一圆的面积就可得到大阴影加上小四分之一圆减去上面
阴影的面积
10．(1)根据图15-20中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（л取3.14）
(2)如图15-21，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡
皮筋的长度是多少厘米？（л取3.14）
解析：1.周长为一个圆的周长加上一个长方形的周长
面积为
2. 厘米
11．如图15 -22，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四
周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方
米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，л取3.14）
解析：如图，小狗的活动范围是a、b、c、d、e五个部分，都是扇形，其中b和e一样，c
和 d 一 样 。 所 以 活 动 范 围 的 总 面 积 为 ：
＝
。e
d
c
b
a
12．(1)图15-23中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一
周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14）
(2)图15-24中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚
动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14）
解析：1.远走过的面积就是四个长方形，加上一个半径为2的圆走过的面积。
2.雨中你走过的面积就是三个长方形加上一个半径为2 的圆走过的面积
超越篇
1．如图15-25，边长为4的正方形中依次挖去了四个半圆．阴影部分的面积是多少？(答案
用л表示）
2．如图15-26，直角三角形的三条边长度为6、8、10，它的内部放了一个半圆，图中阴影
部分的面积是多少？（答案用л表示）3．图15 -27中是一个半径为10厘米，中心角为135°的扇形，D点、E是弧BC的三等分
点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？（л取3.14）
4．如图15-28所示，有7个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是10，那么阴
影部分的面积是多少？
解析： 题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6个 阴影部分的面积
和．
而图形①可以通过平移得到图形② ，而图形②是一个圆心角为
60°的扇形，即 圆．
所以，原题图中阴影部分面积为1个完整圆与6个 圆，即2个圆的面积．
即原题图中阴影部分面积为2×10＝20
5．图15-29中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，其中最大半圆
的直径为12厘米，该零件的面积为多少平方厘米？（л取3.14）
解 析 ： 如 图 可 知 ， 小 半 圆 的 半 径 为 大 半 圆 的 一 半 ， 因 此 零 件 面 积 为
6．把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转90度．如果它的直角边长为10，求它的
斜边扫过的面积．（л取3.14）7．如图15 -30，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，
一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（л
取3.14）
8．一个等边三角形边长为2厘米，以它的每个顶点为圆心，边长为半径分别作一段弧形成
一个曲边三角形，如图15-31.现在固定一个曲边三角形A，用另一个曲边三角形B围绕着
它滚动．那么B滚动一周回到原来位置的过程中，扫过的面积是多少平方厘米？（л取
3.14）
