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2024-2025 学年广东省广州九十七中九年级上学期期中
数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的）
1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了中心对称图形，在平面内，把一个图形绕某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原
来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：选项B、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全
重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图
形．
故选：A．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是
2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可．
【详解】解：A．当 时， 不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B． ，整理得 ，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C． ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D． 该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 一元二次方程 的根是（ ）
A. B.
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．方程左边是两个式子相乘
且右边为0的形式，所以让每个式子分别为0，直接解答．
【详解】解：由题知 或
所以 ， ．
故选：C．
4. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题主要考查了二次函数 的图像和性质，根据抛物线为 ，可知顶点为
．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：∵抛物线为 ，
∴其的顶点为 ．
故选：B．
5. 把抛物线 向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查函数图象的平移，熟练掌握平移法则是解题的关键．根据函数图象平移的法则解答
即可．
【解答】解：抛物线 向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到的抛物线是
，即 ．
故选：D．
6. 如图， 绕点 旋转一定角度后得到 ，若 ，则下列说法正确的是（
）
A. B. C. 是旋转角 D. 是旋转角
【答案】D
【解析】
【分析】因为△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，所以△ABC与△ADE全等，全等三角形对应边相等，
可判断A和B选项错误，而旋转角是指旋转前后对应边的夹角，根据定义即可得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵ △ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，
∴△ABC △ADE
≅
∴ ，
，
∴A和B选项错误．
∴ 是旋转角，
C选项错误，D选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，掌握旋转的性质并能运用在具体图形中是做出本题的关键．
7. 关于x的方程 的两根为1和 ，则a，c的值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系构建方程求解．
【详解】解：∵关于x的方程 的两根为1和 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
经检验均符合题意 ，
故选：B．
8. 已知二次函数 的图象经过点 和 ，这个二次函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，由给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出这个二
次函数的表达式．
【详解】解：将 和 代入 得： ，
解得： ，
∴这个二次函数的表达式为 ．
故选：C．
9. 有一块长32 cm，宽24 cm的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，
已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是( )
A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm
【答案】C
【解析】
【详解】设盒子的高为xcm，
则其底面长为（32-2x）cm，宽为（24-2x）cm，
底面面积为（32-2x）（24-2x）cm2，
则（32-2x）（24-2x）= ×32×24，
整理，得x2-28x+96=0
解之，得x=4，x=24，
1 2
当x=24时不合题意，应舍去，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据草图分析出盒子的高与底面的关系，求出的解应判断是否
符合题意，进而确定取舍．
10. 如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到
△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ( , ) B. (2,2) C. ( ,2) D. (2, )
【答案】C
【解析】
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得
P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
【详解】∵Rt△OAB的顶点A（−2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4＝4a，解得a＝1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（−2，4），
∴B（−2，0），
∴OB＝2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
令y=2，得2=x2，
解得：x=±
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（ ，2）
故答案为：C．
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 方程 的解是_____．
【答案】x=±5
【解析】
【分析】移项得x2=25，然后采用直接开平方法即可得到方程的解．
【详解】解：∵x2-25=0，
移项，得 x2=25，
∴x=±5．
故答案为：x=±5．
【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：
x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：
要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12. 在平面直角坐标系内，若点 和点 关于原点O对称，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解．
【详解】解：∵点 和点 关于原点O对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的两点，横纵坐标均互为相反数，是
解题的关键．
13. 抛物线 的对称轴为直线_______．
【答案】
【解析】
【详解】此题考查了二次函数的对称轴，把二次函数配方成顶点式，
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学科网（北京）股份有限公司依据题意，由抛物线为 ，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为 ，
∴对称轴是直线 ．
故答案为： ．
14. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且
∠AOC=105°，则∠C=____°．
【答案】45
【解析】
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质得到 的度数，再由∠AOC=105°，计算得到 的度
数，最后由三角形外角和得到 的度数，即可知道 的度数．
【详解】解：∵ 是由 绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴
∴
又∵
∴
又∵
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
故答案为：45
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，学会数形结合处理相关的数据是
解题的重点．
15. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管 ，水从喷头 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，
若最高点距水面 ， 距抛物线对称轴 ，则为使水不落到池外，水池半径最小为________．
【答案】 米
【解析】
的
【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数 解析式，然后令y=0，即可求解．
【详解】解：如图建立坐标系．
抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4=3，
解得：a=-1．
则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4．
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得：x=3，x=-1（舍去）．
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学科网（北京）股份有限公司则水池的最小半径是3米．
故答案为3米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．
16. 如图是抛物线 的部分图象，图象过点 ，对称轴为直线 ，有下列四个结论：
① ；② ；③y的最大值为3；④方程 有实数根．其中正确的为
________（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②④
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣ =1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由 得 ，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴ 有实数根，故④正确，
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学科网（北京）股份有限公司综上，正确的为②④，
为
故答案 ：②④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问
题是解答的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法－因式分解法．根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤解
答即可．
【详解】解： ，
因式分解得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
18. 在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别
的
（1）画出 关于原点O成中心对称 ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）直接写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握关于原点对称的点坐标特征，是解题的关键，关于原点对称
的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到 的坐标，然后描点连线得
到 ；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点 的坐标．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴A、B、C关于原点对称的点为： ，
顺次连接 ，得到 ，
即为所求作，如图；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：由（1）知， ．
19. 已知二次函数 ．
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标．
（2）当x_____时，y随x增大而减小．
【答案】（1）开口方向向下，对称轴是直线 ，顶点为 ；
（2） ．
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，把一般式转化成顶点式，
（1）依据题意，由二次函数为 ，从而可得开口方向向下，对称轴是直
线 ，顶点为 ，进而得解；
（2）依据题意，由（1） ，从而当 时，y随x增大而减小，进而得解．
【小问1详解】
解：由题意，∵二次函数 为 ，
∴开口方向向下，对称轴是直线 ，顶点为 ；
【小问2详解】
解：由题意，由（1） ，
∴当 时，yy随x增大而减小．
故答案为： ．
20. 已知关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）k ；
（2）k=3
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2） 0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程 有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2） 0，
∆
解得k
【小问2详解】
∵方程的两个实数根分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程
有关知识是解题的关键．
21. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于
墙的一边 的长为 米．
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学科网（北京）股份有限公司（1）设苗圃园的面积为 ，求 与 的函数关系式，写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
【答案】（1）
（2）当 时，苗圃的面积最大，最大值为 平方米
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二次函数在面积问题中的应用；
（1）根据实际意义列出不等式组，求出 的取值范围，再由矩形的面积列出函数关系式，即可求解；
（2）将二次函数化成顶点式，在 的取值范围内求出最值即可；
能根据实际意义求出 的取值范围，化成顶点式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
，
解得： ，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得：
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学科网（北京）股份有限公司，且 ，
当 时， ；
故当 时，苗圃的面积最大，最大值为 平方米．
22. 如图，在 中， ，将 绕着点A顺时针旋转得到 ，点 在 上．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等：
（1）由旋转得 ，则 ，所以 ，即可得出
平分 ；
（2）由 ， ，得 ，则 ，求得
，所以 ．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵将 绕着点A顺时针旋转得到 ，
∴ ，
又∵点 在 上，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数是 ．
23. 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点M的坐标为 ．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）若点P在抛物线上， 的面积是6，求点P的坐标．
【答案】（1） ， ， ；
（2）点P的坐标为 或 或 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据坐标轴上点的特征分别令 ，即可求得A，B，C三点的坐标；
（2）设 根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解： 抛物线顶点M的坐标为 ，
抛物线解析式为 ，
在 中，令 ，得 ，解得： ，
，
令 ，得
；
【小问2详解】
解：设
，
，即 ，
当 时，
解得： ， ，
当 时，
解得： ， ，
点P的坐标为 或 或 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司24. 如图，等边 中，点 是 边上一点，连接 ，过点 作 于 ．
（1）如图1，连接 并延长 交 于点 ，若 ， ．
① ；
②求 的长；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接
，交 于 ，连接 ，求证： ．
【答案】（1）① ；②
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①由 可得 ，结合 ，可得 ；
②由 得到 ，结合 ，得到 是 的垂直平分线，由
可求 ， 的长，即可求 的长；
（2）过点 作 ，通过将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，可得 ，
， 证 明 ， 可 得 ， ， ， 由
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学科网（北京）股份有限公司， 可 证 ， 即 ， 可 证 ， 然 后 可 证
，进而得证．
【小问1详解】
解：① 为等边三角形，
， ，
，
，
，
，
故答案为：45；
②由（1）知 ，
，
，
垂直平分 即 ， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
；
【小问2详解】
证明：过点 作 ，如图2所示：
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学科网（北京）股份有限公司将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
， ，
为等边三角形，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定，解题的
关键是通过角度相等结合三角形全等的判定与性质得到 ．
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学科网（北京）股份有限公司
