文档内容
精讲精练-数量 3
（讲义+笔记）
主讲教师：田鹏
授课时间：2025.03.13
粉笔公考·官方微信精讲精练-数量 3（讲义）
学习任务：
1.课程内容：几何问题、等差数列问题
2.对应讲义：第 390～395页
3.重点内容：
（1）掌握几何问题基本公式及其运用
（2）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
（3）掌握相似三角形的判定和定理的计算方式等
（4）掌握等差数列的通项公式以及各种求和公式
第四节 几何问题
【例 1】（2024 广东事业单位）将边长为 80厘米的正方形硬纸板裁剪成一个
最大的圆形硬纸板，则被裁剪掉的硬纸板面积为多少平方厘米？
A.80+40π B.800+400π
C.640-160π D.6400-1600π
【例 2】（2023 国考）一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙
两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零
件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
【例 3】（2024 广东）甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到
乙位于它的北偏西 30°方向，甲、乙相距 6 千米；甲观测到丙位于它的正西方
1向，甲、丙相距 6千米，则乙与丙之间的距离为多少千米？
A.3 B.4
C.5 D.6
【例 4】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方
500米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5倍。
兔子先向正东方跑了一会儿后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，
结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600 B.1200
C.2400 D.3000
【例 5】（2025 天津）某工业园区内一区域如下图所示，三角形 ABC 与 ACD
为两个面积相等的直角三角形，AB长度是 BC的2倍。现在区域内划出如图两个
圆形区域摆放花坛，两个圆形均与图中两条边相切。已知 B点到大圆、D点到小
圆上任一点的最短距离分别为AD长度的1/2、1/5，问大圆面积是小圆的多少倍？
A.3 倍以下 B.3～3.5倍之间
C.3.5～4倍之间 D.4倍以上
【例 6】（2025 国考）某厂区如图所示，其中 ABCD 为矩形，ABEF 为直角梯
形，AB与DE相交于 G点，其中阴影区域 ADGF为涉密区域。已知 AD、AF、AB长
度分别为240米、150米、100米，问涉密区域的面积为多少万平方米？
2A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
【例 7】（2023 国考）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交
于 O 点，O 到四个顶点 A、B、C、D 的距离之比正好为 1：2：3：4，一名工人花
费1天正好完成 AOB区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的
工人一起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？
A.8 B.10
C.11 D.12
【例 8】（2023 国考）一个三角形公园 ABC 内的道路如下图中实线所示。已
知AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少
倍？
3A.9 B.12
C.16 D.18
【例 9】（2024 联考）有一个高为 h 的圆锥形容器，若容器内装有 10 升水，
水面高度恰好为容器高度的一半。问该容器最多能装多少升水？
A.80 B.60
C.40 D.20
4
更多资料公众号：考公学社第五节 等差数列问题
【例 1】（2022 联考）某市对下辖 9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进
行统计分析，发现 9个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前 5个团体的
新创节目总数是 60，前 7 个团体的新创节目总数是 70。那么这 9 个文艺表演团
体去年新创节目的总数是：
A.72 B.76
C.78 D.80
【例 2】（2024 陕西事业单位）小明做值日的时候发现教室的挂历上显示的
5
更多资料公众号：考公学社是一周前的日期，于是小明将挂历的日期翻到今天，恰好所翻页的日期加起来是
175。问今天是几号？
A.24 B.25
C.28 D.29
【例 3】（2023 国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产 7天，
从第二天开始每一天都比前一天多生产 200件。已知工厂第三周的产量是第一周
的2倍，问第几天其日产量第一次达到 1万件？
A.37 B.38
C.39 D.40
【例 4】（2024 黑龙江公安）某工厂生产一批零件，已知第 1 天每名工人只
能生产10个，往后每天都比前一天多生产 1个。若安排100名工人生产，25天
正好完成这项生产任务。问若要在 15 天内完成这项生产任务，至少需要安排多
少名工人？
A.256 B.243
C.225 D.216
6
更多资料公众号：考公学社精讲精练-数量 3（笔记）
学习任务：
1.课程内容：几何问题、等差数列问题
2.对应讲义：第 390～395页
3.重点内容：
（1）掌握几何问题基本公式及其运用
（2）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
（3）掌握相似三角形的判定和定理的计算方式等
（4）掌握等差数列的通项公式以及各种求和公式
目录
01 几何问题
02 等差数列
【注意】几何问题每年考好几个，一般至少 2～3 个，等差数列是这几年的
热门小考点，国考、省考每年考一个等差数列。
第四节 几何问题
【注意】几何问题有些题有图，有些题需要自己画图，但都是和图有关的。
两极分化比较严重，简单题最多，中等题较少，剩下的是难题，简单题+中等题
占70%，难题占 30%。难题有时间做也不做，做一题难题的时间不如做三题言语。
核心策略是把简单题和中等题抓住即可，接下来的问题是如何识别简单题。
几何问题的学习要点
公式类→结论类
【注意】一看就知道用什么公式→公式类，一定要做。知道结论就可以做的
→结论类。
一、基础公式
7
更多资料公众号：考公学社1.规则图形——直接用公式
2.不规则图形——割补转化成规则图形
【注意】基础公式：
1.规则图形——直接用公式，比如长方形周长面积、正方形周长面积、圆周
长面积。
2.不规则图形——割补转化成规则图形。直角三角形内接一个圆，求阴影部
分的面积，阴影部分不是规则的，S =S -S 。
阴影 三角形 圆
【注意】长度相关公式：
1.正方形周长：C =4a。
正方形
2.长方形周长：C =2（a+b）。
长方形
3.圆形周长：C =2πr=πd。
圆
4.扇形弧长公式：2πr*n°/360°。扇形是圆的一个部分，C =2πr，看扇
圆
形在圆中所占的比例→n°/360°。
8
更多资料公众号：考公学社【注意】
1.S =a²；S =对角线乘积/2，菱形是特殊的平行四边形，四边相等，连
正方形 菱形
接对角线是对称的，对角线与对角线是垂直的。连接对角线分成 4个全等的直角
三角形，两条对角线分别为 a、b，1/2*（1/2）*a*（1/2）*b*4=ab/2；S =ab。
长方形
2.S =ah；S =ah/2。
平行四边形 三角形
3.S =（a+b）/2*h；S =πr²；S =n°/360°*πr²，n°/360°是占比，
梯形 圆形 扇形
πr²是圆面积。
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更多资料公众号：考公学社【注意】表面积相关公式：S =6a²，6个面都是正方形；S =2ab+2bc+2ac，
正方体 长方体
有三组相对面；S ：4πr²；S ：2πr²+2πr*h，圆柱侧面展开是一个长方
球体 圆柱体
形，上下底面是圆→πr²*2，长方形的长是圆的周长→2πr，长方形面积为 2π
r*h。
10
更多资料公众号：考公学社【注意】体积相关公式：V =a³；V =abc；V =Sh，圆柱的底面是π
正方体 长方体 柱体
11
更多资料公众号：考公学社r²，所有的柱体都是底面积*高；V =1/3*Sh，所有的椎体都是底面积*高*（1/3）；
椎体
V =4/3*πr³。
球体
【知识点】几何公式：
1.周长：
（1）正方形：4a；长方形：2（a+b）。
（2）圆形：2πr；弧长：2πr*n°/360°。
2.面积：
（1）正方形：a²；长方形：ab。
（2）三角形：ah/2；圆形：πr²；扇形：πr²*n°/360°。
（3）梯形：（a+b）/2*h；菱形：对角线乘积/2。
3.表面积：
（1）正方体：6a²；长方体：2（ab+bc+ac）。
（2）圆柱体：2πr²+2πr*h；球体：4πr²。
4.体积：
（1）正方体：a³；长方体：abc。
（2）柱体：Sh；椎体：1/3*Sh；球体：4/3*πr³。
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更多资料公众号：考公学社【例 1】（2024 广东事业单位）将边长为 80厘米的正方形硬纸板裁剪成一个
最大的圆形硬纸板，则被裁剪掉的硬纸板面积为多少平方厘米？
A.80+40π B.800+400π
C.640-160π D.6400-1600π
【解析】1.正方形边长为 80，则圆的直径为 80，半径为 40，所求=S -S
正 圆
=80²-π40²=6400-1600π，对应D项。【选 D】
【注意】
1.前面是 6400，只有D项符合，选择 D项。
2.所求=a²-一个数，前面是平方数，排除A、B项，640不是平方数，排除 C
项，选择D项。
【例 2】（2023 国考）一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙
两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零
件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
【解析】2.出现圆锥体、圆柱体，知道公式→公式类。密度是初中物理中学
的，密度=质量/体积，（m/V）：（m/V），质量相同，则所求=V /V ，质量一定，
A A A B B A
密度和体积成反比。半径、高都没有给，给的是倍数，求的也是倍数，赋值。对
于A，r=1，h=1；对于 B，r=2，h=1。V=S*h=πr²*h=π*1²*1=π，V=1/3*S*h=1/3*
A B
πr*h=1/3*π*4*1=4π/3，所求=V /V =（4π/3）÷π=4/3，对应 A 项。【选 A】
B A
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更多资料公众号：考公学社【例 3】（2024 广东）甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到
乙位于它的北偏西 30°方向，甲、乙相距 6 千米；甲观测到丙位于它的正西方
向，甲、丙相距 6千米，则乙与丙之间的距离为多少千米？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】3.画坐标系，甲观测到→甲在原点，乙在甲北偏西 30°，甲乙相
距为6，丙在甲正西方向，甲丙相距 6，甲乙丙构成一个三角形，两条边都是6，
有一个30°，有直角，则∠乙甲丙=60°，这个三角形为等边三角形，对应 D项。
【选D】
【注意】经验：一般题目涉及方向，需画坐标系作图，上北下南左西右东。
二、结论类——三角形相关：
1.勾股定理：a²+b²=c²
常考勾股数：（3、4、5）n、（6、8、10）、（5、12、13）n
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更多资料公众号：考公学社【注意】结论类——三角形相关：常考的是直角三角形→RT△。
1.勾股定理：a²+b²=c²。
2.常考勾股数：（3、4、5）n、（6、8、10）本质是（3、4、5）的倍数、（5、
12、13）n。考试爱考勾股数，记住做题会快。
（1）确定形状：已知一个三角形的三边长度为 6、8、10，满足勾股数，可
以证明这个三角形是直角三角形。
（2）已知两条边，求第三条边：已知有一个直角三角形，a=1000，b=2400，
求c，套公式需要用√1000²+2400²，1000=5*200，2400=12*200，直角三角形
中有两条边符合勾股数的比例，第三边一定符合，c=13*200=2600。
【例 4】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方
500米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5倍。
兔子先向正东方跑了一会儿后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，
结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600 B.1200
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更多资料公众号：考公学社C.2400 D.3000
【解析】4.画坐标系，起点为 A，终点为 B。兔子先向正东方跑了一会儿后
发现自己跑错了方向，马上直奔终点，兔子从 A 点出发，假设到 C 点发现错了，
再直奔到B点；没有说乌龟怎么跑，兔子是跑错了，乌龟是从A到B。已知AB=500m，
兔子跑的是 AC+BC，兔子和乌龟同时出发同时到达，时间相同，速度是 5倍，路
程也是 5 倍，AC+BC=2500m。问的是兔子发现跑错方向时已经跑了多少米，即求
AC，AC=2500-x，勾股定理，500²+x²=（2500-x）²，解方程比较麻烦，选项就是
x，可以代入选项，这是一个直角三角形，优先代入勾股数，短直角边为 500，
能想到的勾股数是 5、12、13，x=1200，2500-x=1300，就是正确答案，对应 B
项。【选 B】
【注意】
1.经验：一般题目涉及方向，需画坐标系作图。
2.当题目出现直角三角形且所给数据均为整数时，优先猜勾股数 3/4/5 或
5/12/13。
二、结论类——三角形相关：
2.特殊三角形三边关系
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更多资料公众号：考公学社【注意】特殊三角形三边关系：
1.30°角直角三角形：三边之比为 30°所对直角边：60°所对直角边：斜
边=1：√3：2。已知 30°角直角三角形的短直角边为 75，没记住就需要用斜边
为 2 倍的短直角边→150，长直角边为√1502 −75²，记住比例，则斜边为 150，
长直角边为 150√3。已知直角边：斜边=1：2，前提是直角三角形，1 对应的角
为30°。两条直角边之比为 1：√3，则两个角为 30°、60°。
2.45°角直角三角形：三边之比为 1：1：√2。直角边为45，则斜边为 45√2。
【例 5】（2025 天津）某工业园区内一区域如下图所示，三角形 ABC 与 ACD
为两个面积相等的直角三角形，AB长度是 BC的2倍。现在区域内划出如图两个
圆形区域摆放花坛，两个圆形均与图中两条边相切。已知 B点到大圆、D点到小
圆上任一点的最短距离分别为AD长度的1/2、1/5，问大圆面积是小圆的多少倍？
A.3 倍以下 B.3～3.5倍之间
C.3.5～4倍之间 D.4倍以上
【解析】5.三角形 ABC与ACD为两个面积相等的直角三角形，有一个公共的
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更多资料公众号：考公学社直角边，S=1/2*a*b，S、1/2、a 相同，则 b 相同，根据角边角，则这两个三角
形全等。大的图形为平行四边形，两个直角为内错角，说明两条线平行；两个三
角形全等，对应角相等→内错角，说明两条线平行，因此 ABCD 为平行四边形。
AB 长度是 BC 的 2 倍，赋值 BC=1，AB=2，已知是直角三角形，直角边：斜边=1：
2，1对应的角∠BAC为30°，∠B=60°，两个三角形全等，∠D=60°，∠ACD=30°。
涉及相切的概念，说明直线和圆只有一个交点，切点连接圆心和切线是垂直的。
红色的两个三角形全等（斜边相同，短直角边都是半径，有一个直角），∠B 平
分成两个角，研究一个三角形，一个角是 30°，只需要分析一个 30°的直角三
角形，30°角对应的是半径 R，斜边为 2R，黑色线为 R，蓝色线为 R，已知 B 点
到大圆、D 点到小圆上任一点的最短距离分别为 AD 长度的 1/2、1/5，B 点到大
圆的最短距离就是 R，D 点到小圆的最短距离就是 r，则 R=1/2*AD，r=1/5*AD，
所求=πR²/（πr²）=（1/2）²÷（1/5）²=25/4=6+，对应D项。【选D】
二、结论类——三角形相关：
3.拉窗帘模型（2025新热点）
已知 l∥l，无论 A点如何移动，△ABC面积不变
1 2
18
更多资料公众号：考公学社【注意】拉窗帘模型（2025 新热点）：已知 l ∥l，三角形的顶点在一条线
1 2
上，三角形顶点对应的边在另一条线上，无论 A 点如何移动，△ABC 面积不变。
l∥l，h=h，底一样，面积是一样的。
1 2 1 2
【例 6】（2025 国考）某厂区如图所示，其中 ABCD 为矩形，ABEF 为直角梯
形，AB 与DE相交于 G点，其中阴影区域 ADGF为涉密区域。已知 AD、AF、AB长
度分别为240米、150米、100米，问涉密区域的面积为多少万平方米？
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
【解析】6.已知 AD=240，AF=150，AB=100，底边和高都没有，用函数表示
会慢。△FAG 符合拉窗帘模型，F 点在一条平行线上，AG 在另一条平行线上，F
点可以在FE上拉动，移动到E点，阴影变成红色的部分，延长AD作高，高=AB=100，
所求=1/2*2400*100=12000，对应A项。【选A】
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更多资料公众号：考公学社【拓展】（2025 天津）某矩形农场ABCD 如图所示，矩形区域 ADEF为生产区，
矩形区域BCEF为休闲区。现连接 BD将两区域打通，与 EF相交于 O点。已知 AF
和 FE 的长度分别为 600 米和 400 米，问 COD 围成的三角形阴影区域面积为多少
万平方米？
A.12 B.15
C.16 D.18
【解析】拓展.AF=600，EF=400，则 AD=400，OE、EC未知，出现平行，从左
往右看，一个点在平行线上，一条底边在平行线上，D 点往 A 点拉，△DOE、△
AOE同底等高，△DOE、△AOE面积是相同的，不好算；看右边，一个点在平行线
上，一条底边在平行线上，C 点移到 B 点，△OEC 和△OEB 同底等高，求阴影区
域面积变成求△DEB 的面积，底边是 DE，过 B 点作垂线，高为 BC，所求
=1/2*600*400=120000，对应A项。【选 A】
二、结论类——三角形相关：
4.面积性质（多个三角形，有公共边）
20①两三角形底相同，面积之比等于高之比
②两三角形高相同，面积之比等于底之比
【注意】面积性质（多个三角形，有公共边）：
1.两三角形底相同，面积之比等于高之比，S=1/2*d*h ，S=1/2*d*h ，
1 1 2 2
S/S=h /h。出现典型图，就会考查。
1 2 1 2
2.两三角形高相同，面积之比等于底之比。过顶点作垂线，高相同，
S=1/2*d *h，S=1/2*d *h，S/S=d/d。出现典型图（无论怎么转都要认识），就
1 1 2 2 1 2 1 2
会考查。
21【例 7】（2023 国考）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交
于 O 点，O 到四个顶点 A、B、C、D 的距离之比正好为 1：2：3：4，一名工人花
费1天正好完成 AOB区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的
工人一起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？
A.8 B.10
C.11 D.12
【解析】7.方法一：高相同，面积比=底之比，可以横着看，也可以侧着看。
O到四个顶点A、B、C、D的距离之比正好为 1：2：3：4，则OA=1，OB=2，OC=3，
OD=4，已知一名工人花费 1 天正好完成 AOB 区域的修剪，S =1，则△AOB 和△
△AOB
BOC 高相同，底之比为 1：3，面积比为 1：3，则 S =3；同理，△AOB 和△AOD
△BOC
底之比为 2：4=1：2，面积比为 1：2，S =2；△AOD 和△COD 底之比为 1：3，
△AOD
面积比为1：3，S =6，剩余总面积为2+3+6=11，需要11个人，原来有 1个人，
△COD
22需要额外增加10 人，对应B项。
方法二：只要满足 O到四个顶点A、B、C、D的距离之比正好为 1：2：3：4，
什么形状无所谓，图形形状不确定，就想最好算的形状，垂直，S =1/2*1*2=1，
△AOB
则S =1/2*2*4=2，S =1/2*2*3=3，S =1/2*4*3=6，剩余总面积为 2+3+6=11，
△AOD △BOC △COD
需要11 个人，额外增加 10人，对应B 项。【选B】
【注意】
1.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
2.考场思维：图形形状不确定，就想最好算的形状。
结论类——三角形相关：
相似三角形（角、角）
23相似比=对应边之比=对应高之比=对应周长之比=对应线段之比
面积比=相似比²
体积比=相似比³
【注意】结论类——三角形相关：
1.相似三角形（角、角）：证明：区分全等的证明，公务员考试中不需要证
明，你觉得相似就相似，好像就是相似，公务员考试不考证明，长得像就是相似，
如果真要证明，记住“角、角”（两个角相等）即可。
2.结论：
（1）相似比=对应边之比=对应高之比=对应周长之比=对应线段之比，如下
图，高之比为 1：2，周长比也是1：2，对应的线段（蓝线）之比也是 1：2。
（2）面积比=相似比²；中学的证明：S =（1/2）*底*高，两个三角形都有
△
“1/2”，高之比和底之比都是“1：2”，面积之比为（1：2）²=1：4。
（3）体积比=相似比³；如下图的圆锥，上下两个大、小圆锥长得一模一样
（只是大小有区别）→肯定相似，如果半径比为 1：3，下面两个圆的面积比为
（1/3）²，整个的体积比为“（1/3）³”→因为体积公式=（1/3）*底面积*高，
底面积之比为（1/3）²，再乘以高（的比），即（1/3）³。
24【拓】（2020 联考）某演播大厅的地面形状是边长为 100米的正三角形，现
要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问：需要用多少块砖？
A.2763 B.2500
C.2340 D.2300
【解析】拓展.课上正确率为 94%；本题不用算三角形的面积，都是正三角
形，不用证明相似，一定相似（形状一样、大小不同），求面积比，相似比为
1/50，面积比为 1/2500，对应B项。【选 B】
【注意】
1.再看例5：如下图，两个球长得一模一样→相似，距离两个顶点的距离分
别为AD/5、AD/2，相似比为5/2，面积比为（5/2）²=25/4=6+，对应 D项。
252.考场思维：相似不仅仅局限于三角形，只要形状相同（如正方形、圆形），
就相似。
【例 9】（2024 联考）有一个高为h 的圆锥形容器，若容器内装有 10升水，
水面高度恰好为容器高度的一半。问该容器最多能装多少升水？
A.80 B.60
C.40 D.20
【解析】9.结合图形，相似比为 h/2÷h=1/2，体积比为（1/2）³=1/8，“1”
表示“10”，“8 份”表示“80”，对应 A项。【选A】
梯形：蝴蝶定理
在一个梯形中，若上底：下底=a：b；
则四个三角形面积之比为上：下：左：右=a²：b²：ab：ab
26【注意】梯形：蝴蝶定理——在一个梯形中（强调一下→必须是梯形），若
上底：下底=a：b，连接对角线，如下图，四个三角形面积之比为上：下：左：
右=a²：b²：ab：ab。
1.如果已知上底和下底之比为 1：2，则四个三角形面积之比为 1：2²：2：2。
2.非等腰梯形也可以，所有梯形都可以适用。
3.原理：a²（三角形）和 b²（三角形）相似（对顶角、内错角都相等）→
边之比为a/b，面积之比为（a/b）²→a²/b²；再看左右，（左边的）△ABO和△
ACO，高相同（记为 x），底之比为 a：b，满足：a²/x=a/b→x=ab，右边也是如
此。
【例 8】（2023 国考）一个三角形公园 ABC内的道路如下图中实线所示。已
知AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少
倍？
27A.9 B.12
C.16 D.18
【解析】8.△ACF中，E、D均为中点，两者的连线记作“中位线”→两个性
质：一定和底边平行、存在 1：2 的关系，DE 平行于 CF，ED=1/2*FC，使用蝴蝶
定理，梯形 CDEF 中，黑色小三角形面积记为 1，其他三角形为 2、2、4，已知
AE=EF=FB，三等分点，底相等，高相同，中间紫色阴影（面积）为6，则（上下）
两边的三角形也为 6，所求=（6+6+6）：1=18：1，对应D项。【选 D】
【注意】
1.考场思维：如果不会算，黑色面积如果为 1，红色部分面积应该为 2（高
相同，底之比差不多为 2倍），△CDE为 2+1=3，蓝色面积（△ADE）也为 3，则
△ACE面积为3+2+1=6，其余两个三角形（△CEF、△BCF）面积也为6，所求=（6+6+6）：
1=18：1。
282.再看例 5：直接看，两个圆的半径差不多是 2+（也可以用身份证、直尺、
准考证比一下），面积是 2+²=4+，对应 D项。
【拓展】（2024 国考）设计师将-一个正方形的大厅分给如下图所示的几个
区域，已知所有的三角形都是等腰直角三角形，梯形都是等腰梯形，且所有三角
形和梯形面积均相等。在三角形的区域铺设地砖，在中间的正方形区域铺设木地
板。问地砖和木地板的面积比是多少？
A.2：3 B.4：3
C.8：9 D.16：9
29【解析】拓展.根据题意，问“地砖和木地板的面积比”，肯定要知道边长，
大概看一下，猜一下，在正方形的边上画“1”，地砖的边差不多是 2，地砖→
（1/2）*2*2*4=8，木地板→3²=9，对应 C项。【选C】
【注意】再看例 6，看不出可以量一下，AD=240，老师屏幕上对应 4cm，所
以1cm对应 60，AG为1.2cm→72；过F 点作高，量一下（到AB 延长线的）距离
→大概 1.5cm，1.5*60=90，（1/2）*72*（240+90）→（1/2）*72*330，考虑百
化分，330看成“1/3”，（1/2）*72*（1/3）→（有效数字）12，猜A项。
30什么是等差数列：任意相邻两项的差值相等
例：1、3、5、7、9……
公差：d=
第 6项：a=
6
第 n项：a=
n
【注意】什么是等差数列：任意相邻两项的差值相等；好识别，要么会告诉，
要么是有条件暗指（递增、每周/天多……个）。
1.例：1、3、5、7、9……。
2.公差（相邻两项的差值），如上的数列，公差为 2。
3.第 6项→a 、第10项→a 、第20 项→a 。
6 10 20
4.第 n项：第 6项需要在a1的基础上加 5个公差→1+5*2=11；a=a+（n-1）
n 1
*d。
5.公式：
31（1）通项公式：a=a+（n-1）*d。
n 1
（2）求和公式：S=na+[n*（n-1）]/2*d=（a+a）/2*n=平均数/中位数*n。
n 1 1 n
①na +[n*（n-1）]/2*d：适用于告诉第一项和项数。
1
②（a+a）/2*n：适用于告诉第一项和最后一项。
1 n
③平均数/中位数*n：
a.中位数（本质就是平均数）：等差数列中最中间的数字，如 1、3、5、7、
9的中位数为“5”。
b.如果是偶数项，此时最中间没有数，为最中间两个数字的平均数，即加和
/2。
【例 1】（2022 联考）某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进
行统计分析，发现 9个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前 5个团体的
新创节目总数是 60，前 7 个团体的新创节目总数是 70。那么这 9 个文艺表演团
体去年新创节目的总数是：
A.72 B.76
C.78 D.80
【解析】1.方法一：直接告诉了是等差数列，涉及等差数列的和，a 未知、
1
a 也未知，只能考虑公式“平均数/中位数*n”，已知前五项的总数为 60，中位
n
数a=60/5=12，已知前七项的总数为 70，中位数a4=70/7=10，从 a 到a 公差为
3 3 4
-2；求 S，前9项的中位数为 a，a=10→a=10-2=8，所求=8*9=72，对应 A 项。
9 5 4 5
方法二：S=a *9，形如“A=B*C”，团体个数一定是整数，所求为 9的倍数，
9 5
观察选项，只有 A项满足，对应A项。【选 A】
【注意】等差数列同时给出总数和项数，往往都要用到中位数（总数/项数）。
【例 2】（2024 陕西事业单位）小明做值日的时候发现教室的挂历上显示的
是一周前的日期，于是小明将挂历的日期翻到今天，恰好所翻页的日期加起来是
175。问今天是几号？
A.24 B.25
32C.28 D.29
【解析】2.根据题意，显示一周前的日期，一共 7天，连续的数字，相当于
一共 7 项，总和 S=75，考虑中位数，7 项的第 4 项为中位数，a=175/7=25，翻
7 4
了7页，依次往后数，直到翻了 28号→显示 29，对应D项。【选 D】
【例 3】（2023 国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产 7
天，从第二天开始每一天都比前一天多生产 200件。已知工厂第三周的产量是第
一周的 2倍，问第几天其日产量第一次达到 1万件？
A.37 B.38
C.39 D.40
【解析】3.根据题意，给出一个等差数列，公差=200，已知第三周的产量是
第一周的2倍，本质是等差数列的求和，第一周依次表示→a、a +d、……a+6d，
1 1 1
第二周依次表示→a+7d、……，第三周依次表示→a+14d；使用公式“平均数/
1 1
中位数*n”，因为未知数少；第三周的产量→a *7=2*7*a ，项数都是 7，可
四3 四1
以约掉，总产值是 2 倍关系，所以中位数是 2 倍关系，两个等差数列项数相同，
总和的倍数关系即为中位数的倍数关系，假设第一天是 a，第四天是 a+3d，后
1 1
面每隔 7 天→a+3d、a+10d、a+17d，a +17d=2*（a+3d）→a =11d，d 为 200，
1 1 1 1 1 1
a=11*200=2200，问“第几天的产量达到 1万件”，求a，a=a +（n-1）d=10000
1 n n 1
→2200+（n-1）*200=10000→n-1=78/2=39，n=39+1=40，对应 D项。【选D】
33【注意】思维点拨：两个等差数列项数相同，总和的倍数关系即为中位数的
倍数关系。
【例 4】（2024 黑龙江公安）某工厂生产一批零件，已知第 1天每名工人只
能生产10个，往后每天都比前一天多生产 1个。若安排100名工人生产，25天
正好完成这项生产任务。问若要在 15 天内完成这项生产任务，至少需要安排多
少名工人？
A.256 B.243
C.225 D.216
【解析】4.根据题意，a=10，d=1，100个人25天正好完成，可以先算一个
1
工人25 天生产量，再乘以 100；S=na+[n*（n-1）]/2*d，S =25*10+[（25*24）
n 1 25
÷2]*1=250+300=550；总数为550*100=55000，问“15天完成这项任务至少需要
多少工人”，15项求和，首项还是 10，S15=10*15*[（15*14）/2]*1=150+105=255
个，每个工人在该周期可以生产 255个，55000/255=11000/51→（前两位有效数
字）21+，对应D 项。【选D】
【注意】重点梳理
1.几个常考但不熟悉的公式：梯形面积公式：（a+b）/2*h；圆柱体积公式：
πr²*h；圆锥体积公式：（1/3）*πr²*h。
2.勾股定理：a²+b²=c²；常见的三组特殊勾股数：（3、4、5）；（6、8、
10）；（5、12、13）；特殊三角形的比例关系：30°、60°、90°三边比例=1：
√3：2；45°、45°、90°三边比例=1：1：√2。
343.底（高）相同的三角形，面积比等于（底）高之比。
4.相似三角形，对应边之比等于相似比，面积之比等于相似比²，体积之比
为相似比³。
5.等差数列通项公式：a=a+（n-1）*d；等差数列求和公式：S =na+[n*
n 1 n 1
（n-1）]/2*d=（a+a）/2*n=平均数/中位数*n。
1 n
【课后练习 1】（2024 国考）某公园内的道路如下图所示，其中 AB、BC 分
别为正南北向和正东西向道路，AB、AC 分别长100米和200米，且△BCD为正三
角形，如要用直线道路连接 AD，则该道路的长度为多少米？
A.150√3 B.50（√3+1）
C.100√7 D.200√2
【解析】练习 1.2024年国考题，很新；根据题意，∠ABC为直角，AC=200、
AB=100，所以∠ACB=30°，所以 BC=100√3，因为△BCD 为正三角形，所以∠
BCD=60 ° ， ∠ ACD=90 ° ， 勾 股 定 理 ， 所 求
=√[200²+（100√3）²]=√（40000+30000）=100√7，对应 C项。【选C】
【课后练习 2】（2022 江苏）某金融机构向 9 家"专精特新”企业共发放了
4500 万元贷款，若这 9 家企业获得的贷款额从少到多排列，恰好为一个等差数
列，且排第3的企业获得 420万元贷款，排第8的企业获得的贷款额为：
35A.620 万元 B.660万元
C.720 万元 D.760万元
【解析】练习2.根据题意，9家发放4500万，可以得出中位数a 为4500/9=500；
5
a=420，2d=500-420=80→d=40，所求=a +3d=500+3*40=620，对应 A项。【选A】
3 5
【答案汇总】
几何问题 1-5：DADBD；6-9：ABDA
等差数列 1-4：ADDD
36遇见不一样的自己
Be your better self
37
