文档内容
C H A O G E J I A O Y U
2026数量拿分稳稳班
第12节课（ ）
第十二章 概率问题
主讲老师： 高 照第十二章 概率问题
1.给情况求概率
2.给概率求概率 高照温馨提示：
3.分类思想：正反向思维
概率问题要比排列组合简单，猜题思维会更多。
4.几何概率
5.跟屁虫问题
6.比赛类概率
7.抓阄密码类
8.骰子问题给情况求概率给情况求概率
可做可猜
满足情况数
正向思想：概率=
总情况数 （1）分母
（2）可能性大小
（3）选项设计（正反思维）：选项相加=1
反向思想：概率=1-不满足情况的概率【例1】（2025四川）教师从某班级学号为01～07的7名学生中随机抽出3名做值日，
则这3名学生学号恰好为三个相邻自然数的概率为：
1
A.
7
1
B.
6
1
C.
5
1
D.
4【例2】（2025联考）某公司甲部门男性员工比女性多2人，乙部门女性员工比男性多3人。已知甲、乙
两部门女性员工共6人，问从甲、乙两部门中随机选出4人，恰好选到2名男员工和2名女员工的概率是：
4
A.
11
5
B.
11
2
C.
33
5
D.
66【例3】（2025国考）小王计划在7天假期自学甲、乙两门在线课程，每门课程需要连学2整天。如在
所有可能的安排中随机选择1种，不用学习的3天均不相邻的概率为：
1
A.
7
1
B.
8
1
C.
9
1
D.
10【例4】（2025浙江）某班级只有两个宿舍的男生，每宿舍4人。每周从这8人中随机抽取一人担任周管
理员，同一人不连续两周担任管理员。问开学前三周的管理员都来自同一宿舍的概率在以下哪个范围？
A.0%-10%
B.10%-20%
C.20%-30%
D.30%-40%给概率求概率
分类用加法：P=p1+p2+p3+……pn
分步用乘法： P=p1×p2 × p3 × ……pn
注：残次品概率：赋值总量，求每个等级数量，再求每个等级残次品数量。【例5】（2025联考）某种农作物一年一熟，每次种植均有0.2的概率歉收，有0.3的概率丰产。问该
农作物连续3年丰产的概率是连续3年歉收概率的多少倍？
A.2.5以下
B.2.5~3之间
C.3~4.5之间
D.4.5以上【例6】（2025联考）小王、小李参加某项知识竞赛答题，小王每题答对的概率相等，且均为小李的
1.5倍。已知小王连续答对2题的概率比小李高0.2，问小王前2题全对且小李前2题全错的概率在以下
哪个范围内？
A.不到0.05
B.0.05~0.08
C.0.08~0.11
D.0.11以上1
【例7】（2025上海）小李在游乐园娃娃机上抓玩偶玩，目前抓到玩偶的频率是 ，接下来小李又抓
16
1
了两次，运气特别好都抓到了，这时小李抓到玩偶的频率提升到了 ，则小李一共抓了多少次？
10
A.30
B.40
C.50
D.60分类思想：正反向思维【例8】（2025联考）某企业到A大学招聘，小张、小李和小王3位毕业生前去应聘。若小张、小李2
3 1
人中至少有1人签约的概率是 ，小王签约的概率是 ，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是多少？
4 3
1
A.
4
1
B.
2
2
C.
3
5
D.
64、几何概率
长度概率
几何知识求概率：
面积概率【例9】（2025联考）一只蜘蛛爬到一块正方形瓷砖上，该瓷砖的花纹由8个全等的菱形和12个全等
的等腰直角三角形构成（如下图所示），假设蜘蛛的停留位置是随机的，那么蜘蛛恰好停在白色区域
的概率最接近下列哪个值？
A.25%
B.30%
C.35%
D.40%【例10】（2024联考）一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外
的水管长7米。若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在以下哪个范围内？
（忽略水管直径）
A.小于0.35
B.在0.35~0.42之间
C.在0.42~0.50之间
D.大于0.50【例11】（2025浙江此题真是高中考法）某商店门口排了一列100米长的直线队伍，小明随机站在队伍
的某处。小明的妈妈在队伍里随机找个位置喊小明的名字，如果小明距离她不超过25米，就能听到。问
小明听到他妈妈呼喊的概率是多少？
1
A.
4
3
B.
8
7
C.
16
1
D.
2跟屁虫问题
(不)跟屁虫问题：
当考查只是两个人在一起（一排）求概率时：先放一个，再放另一个【例12】（2021联考）两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个大人不相
邻的概率为：
2
A.
5
3
B.
5
1
C.
3
2
D.
3【例13】 （2018国考）某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，
则他们坐在同一排的概率：
A.不高于15%
B.高于15%但低于20%
C.正好为20%
D.高于20%
求两个主体在同一排/列/同一辆车的概率：先放一个，再放另一个。【例14】（2021江苏）某市举办足球邀请赛，共有9个球队报名参加，其中包含上届比赛的前3名球
队。现将这9个球队通过抽签的方式平均分成3组进行单循环比赛，则上届比赛的前3名球队被分在同
一组的概率是：
1
A.
21
1
B.
28
1
C.
63
1
D.
846、比赛类概率
（1）胜利即止：
识别：胜负概率
常考题型：
三局两胜（两胜即停）
五局三胜（三胜即停）
七局五胜（四胜即停）
（2）限定场次，枚举做题【例15】（2025联考）三名射击运动员甲、乙、丙依次独立射击，一轮三枪，每人一枪，直至目标
被射中，比赛结束。已知甲、乙、丙射中目标的概率分别为0.3、0.5、0.8，则在一轮内，乙结束比赛
概率是丙结束比赛概率的：
A.1倍
B.1.25倍
C.1.5倍
D.2倍抓阄密码类
等可能性概率问题
方法：每次概率相同
猜题思维：分母很规整，很少乱七八糟的数。【例16】（2020山东）在ATM机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了银
行卡密码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞
卡前猜中正确密码的概率是：
3
A.
20
1
B.
5
1
C.
9
2
D.
9【例17】（2021浙江）小李有一张银行卡，他忘记了密码的后3位，只记得这3个数全是奇数且有2个
相同。问他尝试不超过两次就输入正确密码的概率为多少？
1
A.
30
1
B.
50
2
C.
59
2
D.
578、骰子问题
两骰子概率，6×6枚举记心间
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6【例18】（2023联考）抛掷两颗质地均匀的骰子，记录向上的面出现的数字，那么
这两个数字之和等于8的概率是：
5
A.
36
1
B.
6
1
C.
12
5
D.
24梳理：专项拔高练习十二
听不懂，见的题少，或者一听就会一做就废，找不到这样点对点的练习。我们归还学习本来的样
子：“讲练结合”，所以这一次讲义我们知识点配着专项拔高练习，题量大了，老师可能会拖堂，我们
只是为了上岸，特别希望你能坚持下来，要是累了坚持不住了，你可以听回放，让老师讲完，你一定
会用到的。
（1）专项拔高练习既可以全面回顾知识点，又可以增加训练量。
（2）学习不在于灌输，而在于引导和启发，老师引导你。
（3）加油，祝你又有新的收获，闯关成功。
老师想说：你特别棒，你定上岸。【练习1】（2025天津）某超市规定，消费达标可参加抽奖，分一等奖200元、二等奖100元和未中
奖三种情形。已知小王消费共抽奖3次，若每次抽中一等奖和二等奖的概率分别为10%和20%，问小
王共中奖恰好300元的概率在以下哪个范围内？
A.5%以下
B.5%~8%之间
C.8%~11%之间
D.11%以上【练习2】（2024联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45名老人提供居家养老服务。已
知老人的年龄构成如下（设老人的年龄为x）：60≤x＜70有17人，70≤x＜80有12人，80≤x＜90有
11人，90岁及以上有5人。现从该社区中随机抽取两名老人了解居家养老服务情况，那么这两名老人
恰好都在80岁以上（含80岁）的概率是：
4
A.
33
11
B.
45
16
C.
45
1
D.
3【练习3】（2024联考）中秋节前夕，小赵买了6个外观相同的月饼，其中有3个是蛋黄馅的。回到
家后，小赵从中任取3个月饼，里面恰好有1个是蛋黄馅的概率是：
9
A.
20
1
B.
2
3
C.
5
11
D.
20【练习4】（2024江苏）小张所在单位共有4个科室，现以科室为单位组织文艺演出，每个科室出2
个节目。演出结束后，因8个节目都非常精彩，决定从中随机选3个节目参加上级组织的汇演。则小
张所在科室出的节目至少有一个被选送参加汇演的概率是：
9
A.
20
5
B.
14
11
C.
20
9
D.
14【练习5】（2024山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、
锡雕、鲁班枕8个展厅。因时间原因，一名参观者决定从8个展厅中随机选取3个进行参观。问叶雕和
皮影展厅至少一个被选中的概率是多少？
5
A.
14
5
B.
28
9
C.
14
19
D.
28【练习6】（2024天津事业单位）小王同时参加了A、B、C、D四个不相关的公司的面试，其中通过
A公司面试的概率为40%，通过C公司面试的概率为60%，通过B和D公司面试的概率都为50%，那么
小王至少通过一家公司面试并且没有通过B公司面试的概率为（ ）。
A.6%
B.44%
C.56%
D.94%【练习7】（2023联考）如果3个学生一起报名，且3个学生都通过科目一考试，那么就可以减免1个
1 1 1
学生的报名费。他们3人不能通过科目一考试的概率分别为 、 、 ，则减免1个学生报名费资格的概
2 3 4
率为：
3
A.
4
2
B.
3
1
C.
3
1
D.
4【练习8】（2021四川）甲、乙、丙、丁四个车间生产相同的产品，生产效率之比为4：3：2：1，
产品不合格率分别为2%、3%、4%、5%。质检人员从这4个车间某小时内生产的所有产品中随机抽
取1件，发现该产品不合格，该产品是乙车间生产的概率为：
A.30%
B.40%
C.50%
D.60%【练习9】（2020重庆选调）乒乓球比赛的规则是五局三胜制，甲、乙两球员的胜率分别为60%和
40%，在一次比赛中，若甲先连胜了前面两局，则甲最后获胜的概率是：
A.60%
B.在81%~85%之间
C.在86%~90%之间
D.在91%以上【练习10】（2023联考）某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三个车间的产量分
别占总产量的5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率依次为4%、3%、2%。任取一件
产品，取到次品为乙车间制造的概率是：
A.15%
B.45%
C.75%
D.85%作业：今天所讲的题进行3+2作业
数量要精做、精刷
3：三遍（先问题、再题干）概率学会重点题型的识别，常考：8类小题型，每类
的特征，如何判定，如何做，如何猜题。
2：计算2遍：概率计算：做猜结合。
预习：第十三章，年龄问题把上岸的概率做到1
我去问过很多考公上岸的人，你们真的觉得自己当初在考之前，就一定能考上吗？
他们给我的答案，大多都是：不知道！但他们说：老师，我知道，我知道我真的很想考上，
我特别想去看一下，我没见过的岸上的风景是什么样的，我想领着父母出去逛逛。这几乎是所
有考公成功的人，他们身上共同的特点。如果已经选择人生中的某条路，那就坚信自己的选择
是正确的，并且敢于去全力以赴，所谓真正自信的人，是在不知道结果是什么样子的前提下，
依然敢于，敢于不顾一切的去付出，敢于不顾一切的去投入。
我们拼劲全力，才过上这平凡的一生。你见过几十万人，追求梦想的样子吗？我见过！到
了今年公务员考试，会有更多的人。专业的限制，人数的多与少，其实和你自己对认定这条路
是没有太大的关系的，你需要相信你的选择是正确的，只有你去相信了，你才敢于去付出，你
才敢于去投入。
命不由天，由我。这份豪迈才会真正伴你左右。
乾坤未定，你我皆黑马；乾坤已定，你我扭转乾坤。从0到1。
