文档内容
方法精讲-资料 3
（笔记）
主讲教师：牟立志
授课时间：2024.03.01
粉笔公考·官方微信方法精讲-资料 3（笔记）
学习任务：
1.课程内容：比重、平均数
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 171～182页
4.重点内容：
（1）现期比重的计算公式及拓展
（2）两期比重的升降判断及数值计算
（3）不同条件下的现期平均数计算及基期平均数、两期平均数问题
【注意】
1.本节课讲解比例部分的内容，上节课讲解的是增长，增长和比例各占资料
分析的半边天，要么考查增长，要么考查比例。
2.以上的思维导图为本节课的大概内容，本节课会涉及到很多公式，公式是
1本节课的重难点，如果讲一遍，未必能记住公式，因此老师增加一个初相识环节，
在这个环节中老师会帮助推导、记忆公式，推导过程比较晦涩，记忆不够完善，
后续也会进行公式的讲解，对公式反复的进行强化，加深记忆。
3.比重和平均数从知识点框架上看，两者大致相同，均分为现期、基期、两
期，两期均分为比较和计算类。
比例公式初相识
【注意】比例公式初相识：两个数做除法就是比例，无论比重、平均数、倍
数，本质均是比例。
1.现期比例：现期A/现期B。
2.基期比例（过去的比例）：A/B*[（1+b）/（1+a）]。
3.两期比例：
（1）两期比例比较：
①a＞b→现期比例＞基期比例。
②a＜b→现期比例＜基期比例。
③a=b→现期比例=基期比例。
（2）两期比例计算：
①比例的增长量=A/B*[（a-b）/（1+a）]。
②比例的增长率=（a-b）/（1+b）。
基期比例公式
分子为A，其增长率为a，分母为B，其增长率为b，A/B的基期：
2A 的基期/B 的基期=[A/（1+a）]÷[B/（1+b）]=[A/（1+a）]*[（1+b）
/B]=A/B*[（1+b）/（1+a）]
记忆方式：在现期比例后，写个小尾巴，1+、1+，增长率交叉对应
【注意】基期比例公式：
1.推导：基期比例公式分子为 A，其增长率为 a，分母为 B，其增长率为 b，
A/B的基期=A的基期/B的基期=[A/（1+a）]÷[B/（1+b）]，除以一个分数相当
于乘这个分数的倒数，原式=[A/（1+a）]*[（1+b）/B]，乘法存在交换律，将两
个分母调换位置，原式=A/B*[（1+b）/（1+a）]。对于推导过程，能看懂更好，
看不懂也没关系，重点是记住公式。
2.记忆方式：在现期比例后，乘上一个小尾巴，小尾巴属于“1+、1+”的形
式，且增长率交叉对应。
两期比例比较
分子为 A，其增长率为 a，分母为 B，其增长率为 b，A/B 与 A/B*[（1+b）/
（1+a）]比大小
记忆方式：两期比例比较，看a和b大小
a＞b→现期比例＞基期比例→今年比例同比上升
a＜b→现期比例＜基期比例→今年比例同比下降
a=b→现期比例=基期比例→今年比例同比不变
【注意】两期比例比较：
1.分子为 A，其增长率为 a，分母为 B，其增长率为 b，A/B 与 A/B*[（1+b）
/（1+a）]比大小：两个式子都有 A/B，如徐某认为自己比志哥强，但徐某和志
哥都会讲课，因此志哥不认为徐某比志哥强，但存在一个能力属于徐某会，但志
哥不会，因此志哥认为徐某比自己强。两者之间比较，要比较差异的部分，基期
比例与现期比例之间的差异在于“（1+b）/（1+a）”。
2.推导（推导过程不重要，直接记结论）：a＞b，a 大、b 小，则（1+b）/
（1+a）＜1，则 A/B＞A/B*[（1+b）/（1+a）]，即今年比例上升；同理，若 a
＜b，a 小、b 大，则（1+b）/（1+a）＞1，则 A/B＜A/B*[（1+b）/（1+a）]，
则今年比例下降。
33.记忆方式：两期比例比较，看 a和b 大小（a→分子的增长率、b→分母的
增长率）。
（1）a＞b→现期比例＞基期比例→今年比例同比上升。
（2）a＜b→现期比例＜基期比例→今年比例同比下降。
（3）a=b→现期比例=基期比例→今年比例同比不变。
两期比例的增长量
分子为A，其增长率为a，分母为B，其增长率为b，现期比例- 基期比例：
A/B-A/B*[（1+b）/（1+a）]=A/B[1-（1+b）/（1+a）]=A/B*[（1+a）/（1+a）
-（1+b）/（1+a）]=A/B*[（a-b）/（1+a）]。
记忆方式：与基期比例很细哪个，区别在小尾巴的分子，增长量是作差，作
差（a-b）
【注意】两期比例的增长量：
1.推导：分子为A，其增长率为a，分母为B，其增长率为b，现期比例- 基
期比例=A/B-A/B*[（1+b）/（1+a）]，提取公因子，原式=A/B*[1-（1+b）/（1+a）]，
将“1”通分，原式=A/B*[（1+a）/（1+a）-（1+b）/（1+a）]=A/B*[（a-b）/
（1+a）]。
2.记忆方式（推导过程了结即可，重点是通过联想的方式记住公式）：与基
期比例很像，区别在小尾巴的分子，增长量是作差得到的，因此分子为（a-b）。
两期比例的增长率
分子为 A，其增长率为 a，分母为 B，其增长率为 b，比例的增长率=现期比
例/基期比例-1：
A/B÷{A/B*[（1+b）/（1+a）]}-1=1÷[（1+b）/（1+a）]-1=（1+a）/（1+b）
-1=(1+a)/（1+b）-（1+b）/（1+b）=（a-b）/（1+b）
记忆方式：并不所有公式都有联想，单独记忆。
【注意】两期比例的增长率：r=现期/基期-1。
1.推导：分子为 A，其增长率为 a，分母为 B，其增长率为 b，比例的增长率
=现期比例/基期比例-1=A/B÷{A/B*[（1+b）/（1+a）]}-1，化简，能约分的先
4约分，原式=1÷[（1+b）/（1+a）]-1，除以一个数相当于乘这个数的倒数，原
式=（1+a）/（1+b）-1，将“1”通分，原式=（1+a）/（1+b）-（1+b）/（1+b）
=（a-b）/（1+b）。
2.记忆方式：并不是所有公式都有联想，单独记忆。
【注意】比例：
1.现期比例：A/B。
2.基期比例：A/B*[（1+b）/（1+a）]。
3.两期比例比较：
（1）a＞b→现期比例＞基期比例。
（2）a＜b→现期比例＜基期比例。
（3）a=b→现期比例=基期比例。
4.两期比例计算：
（1）比例的增长量：A/B*[（a-b）/（1+a）]。
（2）比例的增长率：（a-b）/（1+b）。
第五节 比重
基础术语：
比重：
比重指部分在整体中所占的比率，贡献率、利润率等也可以看成比重。
增长贡献率
增长贡献率指部分增量在整体增量中所占的比例。
利润率
5资料分析中的利润率特指利润在收入中的占比。
比重的识别
关键词（占）：A占B的比重；B中A的占比，利润率、增长贡献率也是比重。
例：以下饼图中，最能准确反映 2020 年信息技术服务实现收入中，电子商
务平台技术服务收入（黑色云服务、大数据服务收入（竖线）和其他收入（白色）
占比关系的是：
例：2020 年前三季度，G 省智能机器人产业的总体利润率（利润率=利润总
额/营业收入）约为：
例：2019年江苏省“三新”经济增加值占全省地区生产总值的比重是：
【注意】比重的识别：出现“占”字，99%会考查比重问题。
1.关键词（占）：A占B的比重；B中A 的占比，利润率、增长贡献率也是比
重。
2.定义：部分占总体的比例（部分/总体）。
3.识别题型：
（1）例：以下饼图中，最能准确反映 2020年信息技术服务实现收入中，电
子商务平台技术服务收入（黑色云服务、大数据服务收入（竖线）和其他收入（白
色）占比关系的是：出现“占比”→比重问题。
（2）例：2020 年前三季度，G 省智能机器人产业的总体利润率（利润率=
利润总额/营业收入）约为：出现“利润率”→比重问题。
（3）例：2019 年江苏省“三新”经济增加值占全省地区生产总值的比重是：
出现“占”→比重问题。
比重的公式
现期比重=A（部分）/B（总体）
利润率=利润/收入
增长贡献率=部分的增长量/总体的增长量
基期比重=A/B/[（1+b）/（1+a）]。a→部分的增长率、b→总体的增长率。
两期比重差（增长量）=A/B*[（a-b）/（1+a）]
6【注意】比重的公式：
1.现期比重=A（部分）/B（总体）。
2.利润率=利润/收入。在数量关系中，利润率=利润/成本，要注意区分，数
量关系中描述的对象都比较小，如小商贩、小卖铺等，很好统计成本，但资料分
析的数据都比较宏观，如某一产业的收入，会包括很多成本，如人工、物料、运
输、管理成本等，很难统计成本，只能按照总体的收入计算利润。利润属于收入
中的一部分（收入包括成本和利润），本质是比重。
3.增长贡献率=部分的增长量/总体的增长量，是增量之间的比重（在总体增
量中，部分增量的占比）。
4.基期比重=A/B/[（1+b）/（1+a）]，a→部分的增长率、b→总体的增长率。
5.两期比重差（比例的增长量）=A/B*[（a-b）/（1+a）]，可以根据刚刚推
导的部分直接过渡。
现期比重：求比重
情况一：给部分、总体，直接除
例：2024年志哥家庭总收入为100元，其中，志哥收入为20元
2024 年志哥收入占家庭总收入_____%
情况二：给部分、不给总体，用类比（总体相同，部分几倍，比重几倍）
例：2024年志哥媳妇收入10元，占家庭总收入10%，志哥收入为20元
2024 年志哥收入占家庭总收入_____%
【注意】现期比重：求比重。
1.情况一：给部分、总体，直接除（部分/总体）。
例：2024年志哥家庭总收入为 100元，其中，志哥收入为 20元，2024年志
哥收入占家庭总收入_____%。
答：读题三步走，看时间，题干中只有一个时间，要么考查现期，要么考查
基期，给2024年、问 2024年→考查现期；关键字破题，题干中出现“占”字→
比重问题，本题为现期比重问题，所求=“占”前/“占”后=部分/总体=20/100=20%。
2.情况二：给部分、不给总体，用类比。
例：2024年志哥媳妇收入 10元，占家庭总收入 10%，志哥收入为 20元，2024
7年志哥收入占家庭总收入_____%。
答：没有给出家庭总收入，可以求，通过志哥媳妇的占比求出家庭总收入，
10/10%=100，所求=20/100=20%，这样做是可以的，但比较慢，可以不算总体，
采用类比的思维，已知 10元占家庭总收入的占比为10%，问20占家庭总收入的
比重是多少，志哥与志哥媳妇属于一个家庭，说明总体相同，部分之间是2倍的
关系，比例与部分成正比（钱越多，占比越多），则占比之间也应该是 2 倍的关
系，所求=10%*2=20%。
【例 1】（2023 上海）2020 年，江浙沪地区年人均教育文化娱乐支出在年人
均消费支出中的占比约为：
A.5% B.7%
C.9% D.15%
【解析】1.读题看时间，时间为2020年，一个时间，题干给出 2020年，现
期时间，关键字破题，出现“占”字→比重问题，结合时间，现期比重问题。找
主体，找分割词，部分在总体中的占比，比重=人均教育文化娱乐支出/人均消费
支出，人均教育文化娱乐支出是菱形折线图，人均消费支出是方块折线图，部分
＜总体，用小数/大数即可，所求=3380/37303，直接用眼睛“瞪”，不要截位直
除，首位商不到1 但很接近1，首位商9，对应C项。【选C】
2020 年前三季度，G 省智能机器人产业实现营业收入 326.62 亿元，同比增
8长超40%，四大行业营业收入均实现正增长，经济效益好于全部规模以上工业企
业。
【例 4】（2021 广东）2020 年前三季度，G 省智能机器人产业的总体利润率
（利润率=利润总额/营业收入）约为：
A.-0.6% B.4.6%
C.9.6% D.14.6%
【解析】4.读题看时间，时间为 2020 年，一个时间，现期问题，关键字破
题，出现利润率→比重问题，本题为现期比重问题。找主体，已知利润率=利润
总额/营业收入，定位材料找数据，营业收入为326.62亿元，这样的做题习惯极
其不好，只知道列式，不知道看选项，一步除法，看选项，选项差距大，可以直
接写两位数（直接写保留两位的形式，在平时做题的过程中优化习惯），分母直
接写成 33；利润总额对应表格最后一列，机器人分为四大行业，需要加和，选
项差距大，不需要精算，利润总额≈40-8=32，列式：32/33，观察选项，首位商
不到1但接近 1，结果为 9开头，对应C项。【选C】
【注意】
1.老师调整了讲义的顺序，先讲例 4。
2.由选项决定计算程度。
2018 年，B市高技术产业实现增加值6976.8 亿元，比上年增长 9.4%，占地
区生产总值的比重为23.0%，比上年提高 0.2 个百分点。战略性新兴产业实现增
加值4893.4 亿元，增长9.2%，占地区生产总值的比重为16.1%，比上年提高 0.1
个百分点。信息产业实现增加值 4940.7 亿元，增长 14.3%，占地区生产总值的
比重为（X）%，比上年提高 0.9个百分点。
9【拓展 1】（2020 国考）（X）处应填入的数值最可能是：
A.15.0 B.13.7
C.17.6 D.16.3
【解析】拓展.定位材料，所求为现期比重，给出部分、没给出总体，通过
类比的思维解题，找相同总体的另外一个部分，定位材料找数据，“B 市高技术
产业实现增加值 6976.8 亿元……占地区生产总值的比重为 23.0%”、“战略性新
兴产业实现增加值 4893.4亿元……占地区生产总值的比重为 16.1%”，两组数据
都能得到答案，找好算的数据，4940.7与4893.4之间很接近，则比重之间也应
该很接近，4893.4 的占比为 16.1%，4940.7 比 4893.4 大一丢丢，则 4940.7 的
占比也应比16.3%大一丢丢，对应 D项。【选 D】
【注意】若在 C、D 项中，想选择 C 项，说明数字敏感度不高，需要仔细计
算，但这种方法是不可取的。
现期比重：求总体
认知过程：时间→一个→现期→无关键词→给总体、比重→部分=总体*比重
例：2024年志哥收入为20元，占家庭总收入20%。
2024年志哥家庭总收入为_____元
【注意】现期比重：求总体。
1.认知过程：时间→一个→现期→无关键词→给总体、比重→部分=总体*
比重。
2.例：2024年志哥收入为 20元，占家庭总收入 20%。2024年志哥家庭总收
入为_____元？
答：读题看时间，给 2024年、问 2024 年（1个时间）→现期时间，关键字
破题，出现“总”字，考查总体量，为现期总体量，给部分、比重，求总体，比
重=部分/总体=20%/20=100。
2021 年，中国跨境电商交易规模达14.2 万亿元，占我国货物进出口总额的
比例为 36.3%。其中出口跨境电商交易规模 11万亿元，同比增速13.4%；进口跨
10境电商交易规模3.2 万亿元，同比增速14.3%。2017～2022年第一季度，中国跨
境电商领域共发生 262次投资，投资总金额 654.91亿元。
【例 2】（2023 山东）2021年，我国全年的货物进出口总额约为多少万亿元？
A.36 B.39
C.42 D.45
【解析】2.读题看时间，时间为2021年，现期时间，关键字破题，出现“总
额”，有可能考查给部分和比重，求总体，定位材料找数据，“2021 年，中国跨
境电商交易规模达 14.2万亿元，占我国货物进出口总额的比例为 36.3%”，所求
=14.2/36.3%，列式是正确的，但不能这么写。列式过后还需要计算，观察选项
差距，如果能直接“瞪”出结果，14.2/33.3=4-，对应B项，可以这样列式。若
看不出来，需要计算，不要写成分式的形式，直接写成“厂”除形式，首位商不
到4，但很接近 4，对应B项。【选B】
【注意】只要“瞪”不出来，列式的过程中直接写成厂除的形式，节省时间。
现期比重：求部分
认知过程：时间→一个→现期→无关键词→给总体、比重→部分=总体*比重
例：2024年志哥家庭总收入为100元，其中，志哥收入占家庭总收入20%
2024年志哥收入为______元
【注意】现期比重：求部分。
1.认知过程：时间→一个→现期→无关键词→给总体、比重→部分=总体*
比重。
2.例：2024年志哥家庭总收入为 100元，其中，志哥收入占家庭总收入 20%，
2024年志哥收入为______元？
答：所求=100*20%=20元。
11【例 3】（2023 联考）2021年，我国消费最多的母婴商品金额约为：
A.9638 亿元 B.8994 亿元
C.7852 亿元 D.4186 亿元
【解析】3.读题看时间，时间为 2021 年，材料给出 2021 年，为现期时间，
没有关键字，单纯现期问题。材料中对母婴分成不同的类型，要消费最多的，找
占比最大的，占比最大的是服装鞋帽（26%），给出 2021 年的总体为 34591，占
比为 26%，所求为 34591*26%，考虑数字百化分，26%与 25%很接近，25%=1/4，
乘以 1/4 相当于除以 4，34591/4，首位商 8，或 4*9=36，分子为 34 开头的数，
因此首位商不到9，但很接近 9，结果的有效数字为 8+，对应B项。【选B】
【注意】利用昨天夜话环节的特殊数字应用，百化分不仅用于增量的计算，
还可以用到一些乘法计算中。
12现期比重：饼形图
认知过程：选项为饼形图→感恩送分→看清主体（现期、基期、增长量）
饼状图：一般以 12点钟方向，顺时针，根据表格顺序，依次排列
方法：
看大小：部分之间的大小关系
看比例：部分与总体的比例、部分与部分的比例
【注意】现期比重：饼形图，代表各个部分的占比。
1.认知过程：选项为饼形图（考查占比）→感恩送分（简单）→看清主体（现
期、基期、增长量）。
2.饼形图构图原则：一般以 12 点钟方向，根据表格顺序，顺时针，依次排
列，如图蓝色为一季度、橘色为 2季度、灰色为 3季度、黄色为4 季度。
3.方法：
（1）看大小：部分之间的大小关系，结合选项分析。
（2）看比例：
①部分与总体的比例：如蓝色部分大约的占比是1/4，可以看出占总体的比
例，一般来说“1/2（一半）、1/3（类似奔驰车标）、1/4（类似宝马车标）”都属
于比较好看的数据。
②部分与部分的比例：如观察蓝色部分与橘色部分的比例关系，这种比例关
系不太好看，大约能看出来橘色部分是蓝色部分的一半不到，只能看大概的比例
关系，优先看部分与总体之间的比例，看不出来再看部分与部分之间的关系（往
往是大小关系）。
13分领域看，2020 年，软件产品实现收入 22758亿元，同比增长10.1%；其中，
工业软件产品实现收入 1974 亿元，增长 11.2%。信息技术服务实现收入 49868
亿元，比上年同期增加 6579亿元；其中，电子商务平台技术服务收入 9095亿元，
同比增长 10.5%；云服务、大数据服务共实现收入 4116 亿元，同比增长 11.1%。
信息安全产品和服务实现收入1540亿元，同比增长10.0%，增速较上年回落 2.4
个百分点。嵌入式系统软件实现收入 7492 亿元，比上年同期增加 803 亿元，增
速较上年提高 4.2 个百分点。
【例 5】（2023 四川）以下饼图中，最能准确反映 2020年信息技术服务实现
收入中，电子商务平台技术服务收入（黑色），云服务、大数据服务收入（竖线）
和其他收入（白色）占比关系的是：
A. B.
C. D.
【解析】5.选项为饼形图，看主体，给 2020年、问2020年→现期比重，找
总体，总体是信息技术服务实现的收入，定位材料找数据，电子商务平台是黑色
部分（9095），云服务、大数据服务收入是竖线部分（4116 亿元），其他收入是
白色部分，已知电子商务平台和云服务、大数据服务的收入。先观察数据大小，
9095＞4116→黑色＞竖线，排除A、B项；看 C、D项的差异，C项：两者加和的
占比＜1/4，D项：两者加和＞1/4，9095+4116=13000+，49868*（1/4）=12000+，
13000+＞12000+→两者加和＞1/4*总体，对应 D项。【选D】
【注意】“黑色部分是竖线部分的 3倍”这个条件并没有“1/4”更直观。
14基期比重：
认知过程：时间→一个→基期→关键词→占→基期比重
公式：基期比重=A/B*[（1+b）/（1+a）]
方法：
给现期比重，结合选项分析
不给现期比重，选项差距大，2位约分
选项差距小，3位化1
【注意】基期比重：
1.认知过程：时间→一个→基期→关键词→占→基期比重。
2.公式：基期比重=A/B*[（1+b）/（1+a）]。在现期比重的基础上乘上一个
小尾巴，小尾巴以“1+、1+”的形式，增长率交叉对应。A→部分、a→部分的增
长率、B→总体、b→总体的增长率。
3.方法：
（1）给现期比重，重点考查分析，看（1+b）/（1+a）与1的大小关系，如
20%*[（1+5%）/（1+2%）]，分子大、分母小，（1+5%）/（1+2%）＞1→20%*[（1+5%）
/（1+2%）]＞20%；反之，20%*[（1+2%）/（1+5%）]=20%*1-＜20%，要有基本的
分析能力。
（2）不给现期比重，侧重于计算，观察选项差距。
①选项差距大，2位约分（多步除法）。
②选项差距小，等比例修正，3位化1。
2020 年江苏省实现以新产业、新业态、新模式为主要内容的“三新”经济
增加值 25177 亿元，比上年增长 5.6%，比全省地区生产总值的增速快 1.5 个百
分点，占全省地区生产总值的比重为24.5%。全省战略性新兴产业产值增长11.0%，
快于规模以上工业 5.5个百分点。其中新能源汽车、数字创意、新能源和高端装
备制造业的产值增速分别为 21.0%、19.8%、15.6%和 15.5%。高技术制造业增加
值增长 10.3%，占规模以上工业的比重为 23.5%，提高 1.7 个百分点。高技术服
务业营业收入增长 14.1%，占规模以上服务业的比重为 37.9%，提高 2.4 个百分
15点。全省碳纤维增强复合材料、新能源汽车、城市轨道车辆、集成电路、太阳能
电池等新产品的产量分别增长48.9%、42.0%、24.5%、22.3%和16.5%。全省现代
设施农业占地面积 100.5万公顷，其中属于战略性新兴产业的中药材种植业种植
面积 1.8 万公顷，实现产值 32 亿元，产值增长 138.1%。全省网上零售额 10602
亿元，增长 10.0%。其中，实物商品网上零售额增长 13.9%，增速比上年快 5.2
个百分点，占社会消费品零售总额 37086亿元的比重为24.9%，提高 2.7个百分
点。
【例 1】（2022 江苏）2019 年江苏省“三新”经济增加值占全省地区生产总
值的比重是：
A.20.5% B.24.2%
C.27.1% D.30.0%
【解析】1.读题看时间，问题时间为2019年，材料时间为2020 年，基期时
间，出现“占”字→比重问题，本题为基期比重问题，公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]，
主体为“三新”经济增加值，给出现期和r，以及与总体增长率之间的关系，同
时给出占全省的比重，即现期比重。在基期比重中，属于给出现期比重类，重点
是分析，定位材料找数据，a=5.6%，通过 a 与百分点的关系，高减低加，求出
b=5.6%-1.5%=4.1%，列式：24.5%*[（1+4.1%）/（1+5.6%）]，列完式先别算，
要学会分析，（1+4.1%）/（1+5.6%）=1-，24.5%*1-＜24.5%，排除C、D项，有同
学能看出来略微比 24.6%小一点点，对应B 项。【选B】
【注意】
1.若看不出来需要计算，（1+4.1%）/（1+5.6%）的有效数字为9+，24.5%*9，
结果为 2 开头，24.9*9+，结果的有效数字一定比 2 大很多，因此不可能选择 A
项。
2.如果对数字敏感度把握不住，可以在做题过程中顺着感觉估算，如果 10
道题可以估算对 8、9 题，说明数字敏感度是可以的，思考估算错的题目错在哪
里；如果估算错了 8、9题，就说明要以计算为主。
2022 年，规模以上工业企业中，分行业看：采矿业实现利润总额 15573.6
16亿元，同比增长 48.6%；制造业实现利润总额 64150.2 亿元，同比下降 13.4%；
电力、热力、燃气及水生产和供应业实现利润总额4314.7亿元，同比增长41.8%。
2022 年，在 41 个工业大类行业中，利润总额由高到低的前十个行业的利润
情况如下：煤炭开采和洗选业实现利润总额 10202亿元，同比增长 44.3%；计算
机、通信和其他电子设备制造业实现利润总额 7389.5 亿元，同比下降 13.1%；
化学原料和化学制品制造业实现利润总额7302.6 亿元，同比下降 8.7%；电气机
械和器材制造业实现利润总额 5915.6 亿元，同比增长 31.2%；汽车制造业实现
利润总额 5319.6 亿元，同比增长 0.6%；非金属矿物制品业实现利润总额 4759
亿元，同比下降 15.5%；医药制造业实现利润总额 4288.7亿元，同比下降 31.8%；
石油和天然气开采业实现利润总额3545亿元，同比增长109.8%；通用设备制造
业实现利润总额3250.3 亿元，同比增长0.4%；电力、热力生产和供应业实现利
润总额3154亿元，同比增长86.3%。
【例 2】（2023 联考）2021 年，石油和天然气开采业利润总额占采矿业利润
总额的：
A.不足 10% B.10%～20%之间
C.20%～30%之间 D.30%以上
【解析】2.读题看时间，问题时间为2021年（1个时间），材料时间为 2022
年→基期时间，出现“占”字，基期比重问题，公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]，
部分→石油和天然气，总体→采矿业，定位材料找数据，“采矿业实现利润总额
15573.6亿元，同比增长 48.6%”，B=11573.6 亿元、b=48.6%；“石油和天然气开
采业实现利润总额 3545 亿元，同比增长 109.8%”，A=3545 亿元、a=109.8%，列
式：3545/15573.6*[（1+48.6%）/（1+109.8%）]，选项是范围，属于差距大，
保留两位计算→35/16*（15/21），能约分的先约分，35/16*（15/21）≈35/21=1+，
结果为10+%，对应 B项。【选B】
【注意】
1.基期比重问题，没给现期比重，看选项差距，选项差距大，两位列式，约
分计算，列式：35/16*（15/21）=1+，对应 B项。
2.做题之前要先看选项，来决定该如何列式。
173.不建议先算 A/B，再计算（1+b）/（1+a）与 1 的大小关系，这种情况只
能判定范围，若题干中存在两个符合范围的选项，就无法确定答案。
【拓展】（2023 联考）2020年，境内发明专利占专利授权数的比重为：
A.11.9% B.12.6%
C.13.5% D.14.3%
【解析】拓展.方法一：读题看时间，问题时间为 2020年，材料时间为 2021
年→基期时间，关键字破题，出现“占”字→比重问题，为基期比重问题，找“境
内发明专利”，境内发明专利：A=57.8、a=33.2%，专利授权数：B=460.1、b=26.4%，
公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]，列式：57.8/640.1*[（1+26.4%）/（1+33.2%）]，
先计算57.8/640.1≈12.6%，（1+26.4%）/（1+33.2%）=1-，原式≈12.6%*1-＜12.6%，
对应A项。
方法二：基期比重，定位材料找数据，没给出现期比重，看选项，选项差距
小，直接三位列式，578/460*（126/133），等比修正，（578-28）/460*[126/（133-7）]，
原式转化为55/46，首位商 1，次位商不到 2，对应A项。【选A】
【注意】在本题中可以直接确定答案为 A项，但若题目中设置两个比 12.6%
小的选项，如增加选项“E.10.9%”，11.9%与 10.9%之间接近，比重＜12.6%没有
明确范围，无法确定选项，因此不建议先算再分析，且计算需要直除三位数，比
较麻烦。
18基期比重：等比修正，化 1法
等比修正：3位列式，分子、分母原来______倍，其加减的数字也要为______
倍
57.8/460.1*[（1+26.4%）/（1+33.2%）]
A.11.9% B.12.6%
C.13.5% D.14.3%
【注意】基期比重：等比修正，化 1法。
1.等比修正：3为列式，分子、分母原来几倍，加减的数字也要为几倍。
2.57.8/460.1*[（1+26.4%）/（1+33.2%）]
A.11.9% B.12.6%
C.13.5% D.14.3%
答：保证准确度，截三位→578/460*（126/133），将 126/133 化为 1，126
与 133 之间相差 7，分母 133-7=126，此时 126/126=1，可以约掉。变化会影响
计算的准确度，分母变化、分子也要变化，需要与 126 进行约分，则 126 不变，
对 578 进行变形，分母之间可以调换位置，相当于 578/133，等比修正，578 与
133大约是4倍多，减掉的数字也应该满足 4倍多，分子需要减去4*7=28，原式
转化为（578-28）/460=550/460，结果的有效数字为 12-，对应 A 项。若选项中
存在“E.10.9%”，继续计算，550/46=11.9，结果的有效数字为 119，对应A项。
若考虑126+7，此时需要对460进行变形，460与126大约是4倍左右，应该“+28”，
但并没有刚刚的好算，460的有效数字是2 位数，若变形后变成三位数，计算量
变大。
3.这个方法很灵活，可以动分子，也可以动分母，哪个好算对哪个进行变形。
4.一定要将老师讲解的知识框架背下来，只有背下来，才能好好做题。
三、两期比重
两期比重比较
认知过程：时间→两个→两期→关键词→占→两期比重→上升/下降→两期
比重比较
例：与上一年相比，2021 年前三季度分行业类别中，占全国 6.4 万家规模
19以上文化及相关产业企业营业总收入比重增加的行业个数是：
方法：两期比重比较，看a（部分增长率）和 b（总体增长率）大小，经验：
占前a、占后 b
a＞b→现期比重＞基期比重→今年比重同比上升
a＜b→现期比重＜基期比重→今年比重同比下降
a=b→现期比重=基期比重→今年比重同比不变
【注意】两期比重比较：
1.认知过程：时间→两个→两期→关键词→占→两期比重→上升/下降→两
期比重比较。
2.例：与上一年相比，2021 年前三季度分行业类别中，占全国 6.4 万家规
模以上文化及相关产业企业营业总收入比重增加的行业个数是？
答：2021年与上年相比为 2020年，两个时间→两期问题，出现“占”字，
两期比重，问“比重增加的行业个数”，为两期比重比较问题。
3.方法：两期比重比较，看 a（部分增长率）和 b（总体增长率）大小，经
验：一般情况下是部分占总体，因此“占”前 a、“占”后b。
（1）a＞b→现期比重＞基期比重→今年比重同比上升。
（2）a＜b→现期比重＜基期比重→今年比重同比下降。
（3）a=b→现期比重=基期比重→今年比重同比不变。
据对全国 6.4 万家规模以上文化及相关产业企业调查，2021 年前三季度，
上述企业实现营业收入84205亿元，按可比口径计算，同比增长21.8%；两年平
均增长 10.0%
分行业类别营业收入情况：新闻信息服务 9847 亿元，同比增长 22.1%；内
容创作生产17693 亿元，同比增长18.6%；创意设计服务13787亿元，同比增长
24.0%；文化传播渠道 9309 亿元，同比增长 30.1%；文化投资运营 359 亿元，同
比增长 13.8%；文化娱乐休闲服务 916 亿元，同比增长 35.3%；文化辅助生产和
中介服务11441亿元，同比增长18.3%；文化装备生产4880亿元，同比增长17.8%；
文化消费终端生产 15974亿元，同比增长22.0%。
【例 1】（2023 联考）与上一年相比，2021 年前三季度分行业类别中，占全
20国6.4万家规模以上文化及相关产业企业营业总收入比重增加的行业个数是：
A.3 个 B.4 个
C.5 个 D.6 个
【解析】1.读题看时间，两个时间（与上一年相比、2021年）→两期问题，
出现“占”字→比重问题，出现“增加”→比较类问题，两期比重比较问题。“占”
画斜线，前 a 后 b，上升→a＞b，定位材料找数据，b=21.8%，在行业中找增长
率大于21.8%的有几个，满足的有 5个（22.1%、24.0%、30.1%、35.3%、22.0%），
对应C项。【选C】
2018 年前三季度，S省社会物流总额35357.26 亿元，同比增长 6.4%，增速
比上半年放缓 0.7 个百分点。其中，工业品物流总额 16636.15 亿元，同比增长
0.2%，增速比上半年放缓 2.1 个百分点；外部流入（含进口）货物物流总额
17357.31亿元，同比增长12.1%，增速比上半年加快 0.8个百分点；农产品物流
总额 875.06 亿元，同比增长 11.6%，增速比上半年加快 0.5 个百分点；单位与
居民物品物流总额 457.86 亿元，同比增长 40.7%，增速比上半年放缓 3 个百分
点；再生资源物流总额 30.88 亿元，同比下降 7.0%，降幅比上半年扩大 4.3 个
百分点。
【例 2】（2020 国考）在工业品物流、外部流入（含进口）货物物流、农产
品物流、单位与居民物品物流和再生资源物流中，2018 年前三季度物流总额占
社会物流总额的比重高于上年水平的有几类？
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】2.读题看时间，两个时间（2018年、高于上年），关键字破题，出
现“占”字→两期比重问题，“高于上年水平”→提高，需要比较，即两期比重
比较问题，“占”字画斜线，前 a 后 b，提高→a＞b，总体是定值，先找到总体
21的 b，总体往往在某一段的第一句话（总分结构），b=6.4%，找 a＞b 的有几个，
在“其中”后找，一共 3个满足（12.1%、11.3%、40.7%），对应B 项。【选B】
两期比重计算
认知过程：时间→两个→两期→关键词→占→两期比重→上升/下降+百分点
→两期比重计算
例：与 2021年相比，2022年我国移动数据流量业务收入在电信业务收入中
的占比：
A.增加了约3 个百分点 B.减少了约3个百分点
C.增加了约13 个百分点 D.减少了约13个百分点
公式：两期比重差=A/B*[（a-b）/（1+a）]
方法：口算“a-b”
判升降：结果为正，今年比重同比上升；结果为负，今年比重同比下降
算多少：结果的绝对值＜|a-b|，满足选项只有一个，当选
满足选项有多个，补全公式分析计算
【注意】两期比重计算：比重属于比例，是一个百分数，两期问题可以计算
增长量，也可以计算增长率，由于比重已经是一个百分数，再去求百分数是没意
义的，因此两期比重计算问题考查的是两个比重作差值，即比重的增长量。
1.认知过程：时间→两个→两期→关键词→占→两期比重→上升/下降+百分
点→两期比重计算。
2.例：与 2021 年相比，2022年我国移动数据流量业务收入在电信业务收入
中的占比：
A.增加了约 3 个百分点 B.减少了约3个百分点
C.增加了约 13 个百分点 D.减少了约13个百分点
答：读题看时间，两个时间→两期，出现占比→两期比重，选项出现多少个
22百分点→两期比重计算。
3.公式：两期比重差=A/B*[（a-b）/（1+a）]。与基期的比例很相似，分子
是两期比重做差值为（a-b）
4.方法：口算 a-b。
（1）判升降：结果为正，a＞b，今年比重同比上升；结果为负，a＜b，今
年比重同比下降。
（2）结果的绝对值＜|a-b|，若a＞0，1+a＞1，（a-b）/1+＜a-b，A/B是比
重，比重一定小于 1，1-*[（a-b）/1+]＜|a-b|；a＜0，会使（a-b）变大，但不
会变大很多，A/B 是比例，会使这个数据下降的很多，总结后大概率还是会＜
|a-b|，关于这部分的解释比较抽象，如果听不明白也不影响做题，只要记住两
期比重差＜|a-b|即可。满足选项只有一个，当选；满足选项有多个，补全公式
分析计算。
五年来，我国积极推进网络强国和数字中国建设，着力深化数字经济与实体
经济融合，为打造数字经济新优势、增强经济发展新动能提供有力支撑。2022
年，我国电信业务收入累计完成 1.58 万亿元，比上年增长 8%，较 2018 年增长
超2800 亿元。
2022 年移动数据流量业务收入6397亿元，比上年增长0.3%，在电信业务收
入中占比约为40.5%。数据中心、云计算、大数据、物联网等新兴业务快速发展，
对我国电信业务拉动作用持续增强。2022年新兴业务收入达3072亿元，在电信
业务收入中占比由上年的 16.1%提升至 19.4%。其中，数据中心、云计算、大数
据、物联网业务比上年分别增长11.5%、118.2%、58%和24.7%。
【例 3】（2023 广东）与 2021 年相比，2022 年我国移动数据流量业务收入
在电信业务收入中的占比（ ）。
A.增加了约3 个百分点 B.减少了约3个百分点
C.增加了约13 个百分点 D.减少了约13个百分点
【解析】3.两个时间→两期，出现占比→两期比重，增加多少个百分点→两
期比重计算问题，找 a、b，分割词为“在”，移动数据流量业务→a、电信业务
→b，定位材料找数据，a=0.3%、b=8%，口算a-b=-7.7（%可以不用写，%对应选
23项中的百分点），结果为负，说明比重下降（减少），排除 A、C项；比重＜|a-b|=7.7%，
对应B项。【选B】
2020 年 1～2 月，我国境内投资者共对全球 147 个国家和地区的 1733 家境
外企业进行了非金融类直接投资，累计实现投资 1078.6 亿元人民币，同比增长
1.8%。对外承包工程完成营业额1080亿元人民币，同比下降9.5%，新签合同额
2150.3亿元人民币，同比增长38.3%。对外劳务合作派出各类劳务人员3.9万人，
同比减少2.9万人，2月末在外各类劳务人员77.8万人。
……
二是对外投资结构持续多元。2020年 1～2月，对外投资主要流向租赁和商
务服务业、批发和零售业、制造业和采矿业等传统投资领域，占对境外企业非金
融类直接投资的比重分别为40.8%、15.1%、11.3%和8.9%。其中流向租赁和商务
服务业的投资额同比增长43.2%，成为增速最高的领域。
【例 4】（2021 国考）2020 年 1～2 月，租赁和商务服务业对外投资额占对
境外企业非金融类直接投资额的比重比上年同期约：
A.上升了 3个百分点 B.上升了12个百分点
C.下降了 3个百分点 D.下降了12个百分点
【解析】4.读题看时间，2020 年、比上年→两个时间，出现“占”字，两
期比重计算问题，找a、b，租赁和商务服务业对外投资额→a、境外企业非金融
类直接投资额→b，定位材料找数据，a=43.2%、b=1.8%，口算 a-b=41.4%，结果
为正→比重上升，排除 C、D 项；且结果小于 41.1%，满足条件的有 2 个选项，
补全公式，选项差距大，大致估算，已知占总体的比重为 40.8%，直接写为 0.4
即可，1+a写成“1.X”的形式，所求≈0.4*（41.4/1.4）≈16/1.4=10+，对应B
项。【选 B】
2017 年全国海洋生产总值 77611 亿元，比上年增长 6.9%，海洋生产总值占
国内生产总值的9.4%。
2017 年，J省海洋生产总值为 7217亿元，比上年增长 9.2%，海洋生产总值
占地区生产总值的8.4%。2017年，全省沿海沿江港口完成货物吞吐量20.4亿吨，
24同比增长8.3%；集装箱吞吐量 1698.8万标箱，同比增长 5.5%。
【拓展】（2020 山东）2017年J省海洋生产总值占全国的比重比上年：
A.上升了约 0.2 个百分点 B.上升了约2个百分点
C.下降了约 0.2 个百分点 D.下降了约2个百分点
【解析】拓展.两个时间（2017年、上年）+比重+上升/下降+百分点，两期
比重差。比重=海洋（A、a）/全国（B、b），已知 a=9.2%，b=6.9%，口算 a-b=2.3%，
正数为上升，排除 C、D 项。选项均满足＜|a-b|=2.3%，代入公式计算，所求
=A/B*[（a-b）/（1+a）]，A/B=7217/77611=0.1-，1+a=1+9.2%，截两位为 1.1，
所求=0.1-*（2.3%/1.1）=0.23-%/1.1，肯定不能选择“2”，故排除 B项，对应A
项。【选A】
【注意】比重：
1.识别：
（1）关键字是“占”，A占B的比重，B中A的占比。
（2）利润率和增长率贡献率也是比重。
2.现期比重：
（1）求比重：
①情况一：给部分、总体，直接除。
25②情况二：给部分、不给总体，类比。
（2）总体=部分/比重；部分=总体*比重。
（3）饼形图（简单送分题）：看大小、看比例。
3.基期比重：A/B*[（1+b）/（1+a）]。
（1）给现期比重：结合选项分析。
（2）不给现期比重：选项差距大 2位约分；选项差距小 3位化 1。
4.两期比重：占前 a、占后b。
（1）比较：a＞b上升，a＜b下降，a=b 不变。
（2）计算：
①口算 a-b：正数上升；负数下降。
②结果＜|a-b|：只有1个选项满足则当选；如果多个选项满足，则补公式，
现期比重（A/B）写“0.x”即可，对于“1+a”，a＞0则写“1.x”，a＜0则写“0.x”。
第六节 平均数
平均数的识别
关键词：均、每、单位面积、单位企业
例：2021年，H 省除Z 市外其他地区的电子商务平台平均每个平台实现的交
易金额约为多少亿元？
例：2016年平均每所民办中等职业学校在校生人数约为：
例：2021年上半年，我国集成电路出口平均价格同比有所提高
平均数的公式：A是分子，B是分母，a 是分子的增长率，b是分母的增长率
现期平均数=A/B
基期平均数=A/B*[（1+b）/（1+a）]
两期平均数的增长量=A/B*[（a-b）/（1+a）]
两期平均数的增长率=（a-b）/（1+b）
【注意】平均数：
1.平均数的识别：
（1）关键词：均、每、单位面积、单位企业。
（2）例：
26①2021 年，H省除 Z市外其他地区的电子商务平台平均每个平台实现的交易
金额约为多少亿元。出现“平均”，考查平均数。
②2016 年平均每所民办中等职业学校在校生人数约为。出现“平均”，考查
平均数。
③2021 年上半年，我国集成电路出口平均价格同比有所提高。出现“平均”，
考查平均数。
2.平均数的公式：A是分子，B是分母，a是分子的增长率，b是分母的增长
率。
（1）现期平均数（现期比例）=A/B。
（2）基期平均数=A/B*[（1+b）/（1+a）]。现期比例*小尾巴。
（3）两期平均数的增长量=A/B*[（a-b）/（1+a）]。小尾巴的分子是“a-b”。
（4）两期平均数的增长率=（a-b）/（1+b）。注意分数是“1+b”，要单独记
忆。
一、现期平均数与基期平均数
现期平均数
情况一：正常表述，后÷前
例：2024年咱班有 2000人，共收入 6000 亿，2024年咱班的人均收入为_____
亿元
情况二：倒装表述，单位的量做分子
例：该期间我国平均约多长时间新开一家海洋主题公园？
A.一个月 B.两个月
C.三个月 D.四个月
情况三：出现月均，日均的双重平均，优先除以时间，再平均
例：2024 年咱班有 2000 人，共收入 6000 亿，2024 年咱班的人均的月均收
入为_____亿元
【注意】现期平均数
1.情况一：正常表述，后÷前。
例：2024年咱班有 2000人，共收入 6000 亿，2024年咱班的人均收入为_____
27亿元。
答：现期时间，出现“均”，现期平均数问题。问“人均收入”，平均数=后/
前=6000/2000=3。
2.情况二：倒装表述，单位的量做分子。
例：该期间我国平均约多长时间新开一家海洋主题公园？
A.一个月 B.两个月
C.三个月 D.四个月。
答：出现“平均”，求平均数。题干是倒装的表述，正常表述为“平均新开
一家主题公园需要多少时间”，单位的量做分子，单位是“月”，即时间，平均数
=时间/公园。例 1 中也可以用单位判断，单位是“亿元”，即收入，平均数=收入
/人数。
3.情况三：出现月均，日均的双重平均，优先除以时间，再平均。
例：2024 年咱班有 2000 人，共收入 6000 亿，2024 年咱班的人均的月均收
入为_____亿元。
答：平均数=收入/人数÷月数，考虑先除以时间，因为月份比较整，计算方
便，平均数=收入/月数÷人数=6000/12÷2000=500/2000=0.25。
2021 年 H 省共有电子商务平台 87 个，在本省电商平台上实现交易金额为
5354.93亿元，同比增长 41.0%，收取的平台交易服务费为 3.17亿元，同比增长
49.5%。从地区分布来看，2021年本地电子商务平台拥有量最多的为 Z市，有 44
个平台，实现交易金额 4239.04亿元。
【例 1】（2023 国考）2021 年，H 省除 Z 市外其他地区的电子商务平台平均
每个平台实现的交易金额约为多少亿元？
A.5 B.12
C.26 D.62
【解析】1.读题三步走，2021年为现期时间，出现“平均”，现期平均数问
题，平均数=金额/平台；主体为“H 省除 Z 市外其他地区”。材料给出总体的金
额，Z市的金额，选项差距大，截两位，除 Z 市外金额的前两位是11（截位修正、
口算）；共有44个平台，除 Z市外还有43 个，代入数据，平均数=11+/43，首位
28商2，对应 C项。【选 C】
2021 年上半年，湖北省 676家规上信息软件业企业中营业收入前 20的企业
共实现营业收入355.46 亿元，同比增长8.3%，拉动规上服务业营业收入增长 1.1
个百分点。
【例 2】（2022 湖北选调）2021年上半年湖北省规上信息软件业中营业收入
前20的企业，平均每家每月营业收入约为多少亿元？
A.1.18 B.2.25
C.2.32 D.2.96
【解析】2.2021 年上半年为现期时间，出现“平均”，现期平均数问题；“平
均每家每月营业收入”是双重平均，所求=收入/月份÷家数，“上半年”对应 6
个月；问“前 20 家”，家数为 20。代入数据，所求=355.46/6÷20=60-/20=3-，
对应D项。【选 D】
2020 年1～6月，全国电池制造业主要产品中，锂离子电池产量 71.5亿只，
同比增长1.3%；铅酸蓄电池产量 9635.6万千伏安时，同比增长 6.1%；原电池及
原电池组（非扣式）产量 178.2亿只，同比下降 0.7%。
【例 3】（2022 国考）2019 年上半年，全国铅酸蓄电池月均产量约为多少亿
千伏安时？
A.0.13 B.0.14
C.0.15 D.0.16
【解析】3.2019 年上半年是基期时间，出现“均”，基期平均数问题；“月
均产量”对应基期产量/月份，“上半年”对应 6 个月，所求=基期产量/6。主体
为“铅酸蓄电池”，代入数据，所求=9635.6/（1+6.1%）÷6，考虑先除以 6个月，
再算基期，所求=9635.6/6÷（1+6.1%），选项差距小，分母保留三位，原式转化
为1606-/106，首位商 1，次位商5，对应C 项。【选C】
现期平均数
情况四：求多个数的平均数
29数据相差大，凑整加和，直除
2020～2024 年，志哥的工资分别为 1212 元、596 元、207 元、780 元、330
元
2020～2024年，志哥的工资平均每年有_____元
选项差距小，削峰填谷
2020～2024 年，志哥的工资分别为 212 元、196 元、207 元、180 元、230
元
2020～2024年，志哥的工资平均每年有_____元
【注意】情况四：求多个数的平均数。
1.选项差距小，削峰填谷：找到一个基准，高于基准的地方是山峰，低于基
准的地方是山谷，用山峰去填山谷，能填上，说明平均值高于基准值；反之低于
基准值。
例：2020～2024 年，志哥的工资分别为 212 元、196 元、207 元、180 元、
230元。2020～2024 年，志哥的工资平均每年有_____元。
答：数据相差小，考虑削峰填谷。以 200 为基准，峰谷依次为：12、-4、7、
-20、30，加和为25，共5个数多了25，说明平均数=200+25/5=205。
2.数据相差大，凑整加和，直除：
例：2020～2024 年，志哥的工资分别为 1212 元、596 元、207 元、780 元、
330元。2020～2024 年，志哥的工资平均每年有_____元。
答：数据相差大，凑整加和，直除。1212+780≈2000，56+207≈500，加和
为2000+800+330=3130，平均数=3130/5。
30【拓展】（2018 四川下）2017年下半年，我国平均每月进口原油：
A.不到 3300万吨 B.在3300～3400万吨之间
C.在 3400～3500 万吨之间 D.超过3500万吨
【解析】拓展.求“2017 年下半年的月均进口原油”，求 6个数据的平均数。
结合选项分析。
A项：不到 3300 的只有3103一个，3700 给他200，就超过3300 了，排除。
D 项：比 3500 多的只有 3701、3704，两个数都多 200，都给 3103，说明这
三个数的平均值刚好为3500，其他两个数据都不到3500，故整体平均数不到3500，
排除。
C项：3474、3398、3370 这 3个数的平均数＞3400，结合3701、3103、3704
的平均数为3500，则总体平均数在 3400～3500之间，C项当选。【选 C】
基期平均数
认知过程：时间→一个→基期→关键词→均→基期平均数
公式：基期平均数=A/B*[（1+b）/（1+a）]
方法：选项差距大，2位约分
31选项差距小，3位化1
【注意】基期平均数：
1.认知过程：时间→一个→基期→关键词→均→基期平均数。
2.公式：基期平均数=A/B*[（1+b）/（1+a）]。
3.方法：
（1）选项差距大，2位约分。
（2）选项差距小，3位化1。
2017年全国共有各级各类民办学校17.76万所，占全国学校总数的34.57%；
各类民办教育在校生达5120.47万人，比上年增长6.12%。其中：民办幼儿园16.04
万所，比上年增长 4.00%；在园儿童 2572.34 万人，比上年增长 5.53%。民办普
通小学 6107 所，比上年增长 2.21%；在校生 814.17 万人，比上年增长 7.65%。
民办初中5277所，比上年增长 3.78%；在校生 577.68万人，比上年增长 8.42%。
民办普通高中3002所，比上年增长7.71%；在校生306.26万人，比上年增长9.74%。
民办中等职业学校 2069所，比上年下降2.17%；在校生197.33万人，比上年增
长7.16%。
【例 4】（2020 北京）2016 年平均每所民办中等职业学校在校生人数约为：
A.871 人 B.991 人
C.1091 人 D.1181 人
【解析】4.问题时间是2016年，材料时间是 2017年，基期时间；出现“平
均”，基期平均数问题，公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]。平均数=人数（A、a）/
学校数（B、b）。涉及学校的材料，往往是从小往大说，从段落找数据，已知“民
办中等职业学校2069 所，比上年下降2.17%；在校生197.33万人，比上年增长
7.16%”，代入数据，所求=197.33/2069*[（1-2.17%）/（1+7.16%）]。
方法一：直除 197.33/2069，首位商9，次位商 5，后面（1-2.17%）/（1+7.16%）
＜1，两部分相乘，结果小于 95开头的数据，对应 A项。
方法二：197/2069 首位不能商 1、（1-2.17%）/（1+7.16%）＜1，则乘积的
结果小于1开头，排除 C、D项。A、B项首位不同，差距大，保留两位约分计算，
看作20/21*（98/11）≈20/21*9=180/21，首位商不到 9，选择A项。
32方法三：选项差距小，直接三位化一。列式：197/207*（98/107）。分子部
分 98+9=107，98 和 207 为 2+倍，则分母部分要“+18+”，原式转化为 197/225+，
首位商8，对应A项。【选 A】
二、两期平均数
两期平均数比较
认知过程：时间→两个→两期→关键词→均→两期平均数→上升/下降→两
期平均数比较
例：2017年，S 市服务业小微样本企业平均每万元营业收入缴纳营业税金及
附加高于上年水平
方法：两期平均数比较，看 a（分子增长率）和 b（分母增长率）大小，经
验：后a、前b
a＞b→现期平均数＞基期平均数→今年平均数同比上升
a＜b→现期平均数＜基期平均数→今年平均数同比下降
a=b→现期平均数=基期平均数→今年平均数同比不变
【注意】两期平均数比较：
1.认知过程：时间→两个→两期→关键词→均→两期平均数→上升/下降→
两期平均数比较。
2.例：2017年，S市服务业小微样本企业平均每万元营业收入缴纳营业税金
及附加高于上年水平。
答：两个时间（2017年、上年）+平均+高于，两期平均数比较。
3.方法：两期平均数比较，看 a（分子增长率）和 b（分母增长率）大小，
经验为“后a、前 b”，因为平均数为后/前，后是 A和a、前是B和 b。
（1）a＞b→现期平均数＞基期平均数→今年平均数同比上升。
（2）a＜b→现期平均数＜基期平均数→今年平均数同比下降。
（3）a=b→现期平均数=基期平均数→今年平均数同比不变。
2021 年上半年，我国进口集成电路 3123 亿块，同比增长28.4%；进口额 1979
亿美元，增长28.3%。出口集成电路1514亿块，增长 34.5%；出口额 664 亿美元，
33增长32.0%。
【例 1】（2022 江苏）能够从上述资料中推出的是：
A.略
B.略
C.2021 年上半年，我国集成电路出口平均价格同比有所提高
D.略
【解析】1.综合分析题，问能推出的。每个选项对应的知识点不同，本题只
有C项与两期平均数比较的知识点有关，只判断 C项是否正确即可。
C项：两个时间（2021 年上半年、同比）+平均+提高，两期平均数比较。平
均价格=钱数/数量，钱数对应的增长率为a，数量对应的增长率为b，已知a（32%）
＜b（34.5%），平均数下降，错误，不选。【不选】
2017 年，S 市服务业小微样本企业总体实现营业收入 105.39 亿元，同比增
长3.1%，比2016年回落了 15.7个百分点，户均实现营业收入 510.63 万元。
2017 年，S 市服务业小微样本企业总体营业税金及附加为 1.09 亿元，同比
下降 29.5%；缴纳增值税 2.30 亿元，同比增长 11.6%，户均缴纳增值税 11.16
万元。
【例 2】（2020 四川）能够从上述资料中推出的是：
A.略
B.略
C.略
D.2017 年，S市服务业小微样本企业平均每万元营业收入缴纳营业税金及附
加高于上年水平
【解析】2.综合分析题，问能推出的。
D 项：两个时间（2017 年、上年）+平均+高于，两期平均数比较。平均数=
税金/收入，税金对应的增长率为 a，收入对应的增长率为 b，已知 a（-29.5%）
＜b（3.1%），平均数下降，错误，不选。【不选】
【注意】“每万元”理解：
341.假设班级有 1000 人，有 2000 个苹果，问“平均每人分多少苹果”，所求
=2000/1000=2 个/人。如果问“平均每百人分多少平均”，已知每人分 2 个，则
每100人分 200个，如果问“每万人”，则为 20000个。
2.本题问“每万元”，先求每 1元，再乘以 10000即可。
平均数的增长量
认知规程：时间→两个→两期→关键词→均→两期平均数→上升/下降+单位
→平均数的增长量
例：与 2018年相比，2019年全国商品房销售均价约：
A.增长 580元 B.增长710元
C.下降 580元 D.下降710元
公式：平均数的增长量=A/B*[（a-b）/（1+a）]
方法：一般选项差距大，2位列式，约分计算
【注意】平均数的增长量：考查很少。比重只能考增长量，不能考虑增长率，
因为比重的增长率没意义；平均数增长率和增长量都可以考，为了知识点的平均，
故两期比重的增长量考查较多，两期平均数的增长率考查较少。
1.认知规程：时间→两个→两期→关键词→均→两期平均数→上升/下降+
单位→平均数的增长量。
2.例：与 2018 年相比，2019年全国商品房销售均价约：
A.增长 580元 B.增长710元
C.下降 580元 D.下降710元
答：两个时间（2018 年、2019 年）+均+增长/下降+单位，两期平均数的增
长量。
3.公式：平均数的增长量=A/B*[（a-b）/（1+a）]。
4.方法：一般选项差距大，2 位列式，约分计算。对于比重来讲，A/B 是比
重，一定＜1，但对于平均数来讲，A/B不一定＜1，故没有结果＜|a-b|的结论，
直接保留两位约分计算即可。
2019 年全国房地产开发投资 132194亿元，比上年增长 9.9%，增速比上年加
35快0.4个百分点。其中，住宅投资 97071亿元，增长 13.9%，增速比上年加快 0.5
个百分点。2019 年，全国商品房销售面积 171558 万平方米，比上年下降 0.1%。
其中，住宅销售面积增长 1.5%，办公楼销售面积下降 14.7%，商业营业用房销售
面积下降 15.0%。商品房销售额 159725 亿元，增长 6.5%，增速比上年回落 5.7
个百分点。其中，住宅销售额增长 10.3%办公楼销售额下降 15.1%，商业营业用
房销售额下降16.5%。
【拓展】（2020 内蒙古）与2018年相比，2019年全国商品房销售均价约：
A.增长 580元 B.增长710元
C.下降 580元 D.下降710元
【解析】拓展.两个时间（2018年、2019 年）+均+增长/下降+单位，两期平
均数的增长量，公式：A/B*[（a-b）/（1+a）]；销售均价=钱数（A、a）/面积
（B、b）。主体为“商品房”，对应材料找数据，所求=159725/171558*[（6.5%+0.1%）
/（1+6.5%）]，选项差距大，保留两位约分计算，原式转化为 16/17*（66/11）
结果为正数，排除 C、D项。16/17*（66/11）=1-*6=6-，对应A项。【选 A】
【注意】优化习惯：口算a-b=6.6%，保留两位为66，直接列式16/17*（66/11）
=1-*6=6-，对应A项。
平均数的增长率
认知过程：时间→两个→两期→关键词→均→两期平均数→上升/下降+%→
平均数的增长率
例：2018 年前三季度，平均每万元社会物流总额产生的物流费用比上年同
期：
A.上升了不到 1% B.上升了1%以上
C.下降了不到 1% D.下降了1%以上
公式：平均数的增长率=（a-b）/（1+b）
方法：口算“a-b”
判升降：结果为正，今年平均数同比上升；结果为负，今年平均数同比下降
算多少：看 b 符号，b＞0，结果的绝对值＜|a-b|
36b＜0，结果的绝对值＞|a-b|
【注意】平均数的增长率：
1.认知过程：时间→两个→两期→关键词→均→两期平均数→上升/下降
+%→平均数的增长率。
2.例：2018 年前三季度，平均每万元社会物流总额产生的物流费用比上年
同期：
A.上升了不到 1% B.上升了1%以上
C.下降了不到 1% D.下降了1%以上
答：两个时间（2018年前三季度、上年同期）+平均+上升/下降+%，求平均
数的增长率。
3.公式：平均数的增长率=（a-b）/（1+b）。
4.方法：口算“a-b”：
（1）判升降：结果为正，今年平均数同比上升；结果为负，今年平均数同
比下降。
（2）算多少：看 b符号，因为分母是“1+b”。
①b＞0，结果的绝对值＜|a-b|。
②b＜0，结果的绝对值＞|a-b|。
2018 年前三季度，S省社会物流总额35357.26 亿元，同比增长 6.4%，增速
比上半年放缓 0.7 个百分点。其中，工业品物流总额 16636.15 亿元，同比增长
0.2%，增速比上半年放缓 2.1 个百分点；外部流入（含进口）货物物流总额
17357.31亿元，同比增长 12.1%，增速比上半年加快 0.8个百分点；农产品物流
总额 875.06 亿元，同比增长 11.6%，增速比上半年加快 0.5 个百分点；单位与
居民物品物流总额 457.86 亿元，同比增长 40.7%，增速比上半年放缓 3 个百分
点；再生资源物流总额 30.88 亿元，同比下降 7.0%，降幅比上半年扩大 4.3 个
百分点。
2018 年前三季度，S省社会物流总费用 2682.1亿元，同比增长 6.3%，比上
半年放缓0.9个百分点。其中：物流运输环节总费用1854.6亿元，同比增长6.3%；
保管环节总费用 612.4 亿元，同比增长 6.4%；管理环节总费用 214.9 亿元，同
37比增长6.4%。
【例 3】（2020 国考）2018 年前三季度，平均每万元社会物流总额产生的物
流费用比上年同期：
A.上升了不到 1% B.上升了1%以上
C.下降了不到 1% D.下降了1%以上
【解析】3.两个时间（2018 年前三季度、上年同期）+平均+上升/下降+%，
求平均数的增长率，公式：r=（a-b）/（1+b）。平均数=物流费用（a）/物流总
额（b），已知 a=6.3%、b=6.4%。
方法一：代入数据，所求=（6.3%-6.4%）/（1+6.4%）=（-0.1%）/（1+），
结果为负数，排除 A、B项；0.1%/（1+）＜1%，对应C项。
方法二：优化速度。口算 a-b=-0.1%，负数代表下降，排除 A、B项；b=6.4%
＞0，则绝对值比 0.1%更小，对应C项。【选 C】
2014 年某区限额以上第三产业单位共 674家，实际收入 1059.1 亿元，同比
增长4.5%；实现利润总额 13.5亿元，同比增长 11.9%；从业人员达到 58631人，
同比下降4.3%。
【拓展】（2019 北京）2014 年该区限额以上第三产业单位平均每名从业人员
创造的利润比上年约：
A.下降了 7% B.下降了17%
C.上升了 7% D.上升了17%
【解析】拓展 1.两个时间（2014年、上年）+平均+上升/下降+%，求平均数
的增长率，公式：（a-b）/（1+b）。平均数=利润（a）/人数（b），已知 a=11.9%，
b=-4.3%，口算a-b=16.2%，正数代表上升，排除 A、B项；b＜0，绝对值比 16.2%
大，对应D项。【选 D】
2016 年全国餐饮收入 35799亿元，同比增长 10.8%，餐饮收入占社会消费品
零售总额的比重为 10.8%。2016年全社会餐饮业经营单位为 365.5万个，同比下
降8.2%；从业人数为 1846.0万人，同比增长 5.7%。
【拓展】（2019 北京）2016 年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数比
38上年约：
A.减少了 2% B.减少了15%
C.增加了 2% D.增加了15%
【解析】拓展 2.两个时间（2016年、上年）+平均+增加/减少+%，求平均数
的增长率，公式：r=（a-b）/（1+b）。平均数=人数/单位数，人数的增长率 a=5.7%，
单位数的增长率b=-8.2%。口算a-b=13.9%，正数代表增加，排除 A、B项；b＜0，
绝对值比13.9%大，对应 D项。【选D】
2017 年上半年，S市出口手机1.9亿台，比去年同期减少 22.7%；价值513.1
亿元人民币，下降 23.7%。6 月份当月出口 3217.5 万台，减少 23.7%；价值 86
亿元，下降27.8%。
上半年，S 市以一般贸易方式出口手机 1.8 亿台，减少 22.1%；以加工贸易
方式出口 699.9 万台，减少 30.7%；以海关特殊监管方式出口手机 245.2 万台，
减少36.6%。
【拓展】（2018 上海）2017 年上半年，S市平均每台出口手机的价值比去年
同期约：
A.上升 0.8% B.上升1.3%
C.下降 0.8% D.下降1.3%
【解析】拓展 3.两个时间（2017年上半年、去年）+平均+上升/下降+%，求
平均数增长率，公式：r=（a-b）/（1+b）。平均数=价值（a）/台数（b），a=-23.7%，
b=-22.7%，口算a-b=-1%，负数代表下降，排除 A、B项；b＜0，绝对值比 1%大，
对应D项。【选 D】
2016 年全国粮食情况如下：
全国粮食总产量 61623.9 万吨（12324.8 亿斤），比 2015 年减少 520.1 万
吨（104.0 亿斤），减少 0.8%。其中谷物产量 56516.5 万吨（11303.3 亿斤），
比2015 年减少711.5 万吨（142.3亿斤），减少 1.2%。
39全国粮食播种面积 113028.2千公顷（169542.3 万亩），比 2015年减少 314.7
千公顷（472.1万亩），减少 0.3%。其中谷物播种面积 94370.8千公顷（141556.2
万亩），比2015年减少 1265.1千公顷（1897.7 万亩），减少1.3%。
【拓展】（2019 联考）2016年我国粮食单位面积产量约同比：
A.增长 0.56% B.增长1.12%
C.减少 0.56% D.减少1.12%
【解析】拓展 4.两个时间（2016年、同比）+平均数+增长/减少+%，求平均
数的增长率，公式：r=（a-b）/（1+b）。平均数=产量/面积，产量增速 a=-0.8%、
面积增速b=-0.3%，口算 a-b=-0.5%，负数代表下降，排除 A、B项；b＜0，说明
绝对值比 0.5%大，面积只下降了 0.3%，故结果只大一点点，对应 C 项。【选 C】
【注意】平均数：
1.识别：均、每、单位。
2.现期平均数：
（1）正常表述：后/前。
（2）倒装表述：单位的量做分子。
（3）月均、日均的双重表述：先除以时间，再平均。
（4）求多个数的平均：先分析；再计算，如果数据差距大则凑整加和、直
除，如果数据差距小则削峰填谷。
403.基期平均数：与基期比重公式相同，A/B*[（1+b）/（1+a）]。选项差距
大则2位约分，选项差距小则 3位化1。
4.两期比重：后 a、前b。
（1）比较：与两期比重比较相同。a＞b上升，a＜b下降，a=b 不变。
（2）计算：
①增长量：与比重差公式相同，A/B*[（a-b）/（1+a）]。只能列式，不能
分析。
②增长率：（a-b）/（1+b）。口算 a-b，正数为上升，负数为下降；b＞0 则
结果＜|a-b|，b＜0则结果＞|a-b|。
志哥夜话
41【注意】乘法速算：
1.高位乘法：比如 2345*6，为 12000+1800+240+30，好处是想算到哪就停在
哪，因为是根据高位数字选择选项的，可能算 2个乘法就选出来了。
2.特殊数字：
（1）A*0.9：错位相减。A*0.9=A*（1-0.1），比如123*0.9=123-12.3。
（2）A*1.1：错位相加。
（3）A*1.5：本身+一半。
（4）百化分对应的有效数字：
①A*125→A/8。
②A*143→A/7。
③A*167→A/6。
④A*25→A/4。
⑤A*33→A/3。
⑥A*5→A/2。
3.拆分法：比如 19*27=（20-1）*27=540-27=513。
4.口学法：头乘头 2*6=12，尾乘尾 3*4=12，构成四位数 1212（如果计算出
42个位数，比如2*3=6，写为06），内乘外乘加和在中间，2*4+3*8=26，加在中间，
即1212+260=1472。
5.速算练习：
（1）31*36=30*36+36=1080+36=1116。
（2）41*37=40*37+37=1480+37=1517。
（3）84*27：头乘头 2*8=16，尾乘尾 4*7=28，构成四位数 1628，内乘外乘
加和在中间，8*7+2*4=64，即1628+640=2268。
（4）34*38：头乘头 3*3=09，尾乘尾 4*8=32，构成四位数 0932，内乘外乘
加和在中间，3*8+3*4=36，即0932+360=1292。
6.三位数乘以三位数就看成两位数乘以两位数，算出的结果已经很准确了，
比如245*683 看成 25*68→68/4=17。
课后作业
434445464748【答案汇总】
现期比重 1-5：CBBCD
基期比重 1-2：BB
两期比重 1-4：CBBB
现期平均数与基期平均数 1-4：CDCA
基期平均数 1-3：不选/不选C
49遇见不一样的自己
Be your better self
50
