文档内容
微专题 22 相似三角形(含位似)
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 比例
(1)比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
a c
比例线段 即 ＝ ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例
b d
线段
a b
如果a∶b＝b∶c或 ＝ 或 ① ，那么b叫做a和c的比例中
b c
比例中项
项
(2) 比例的性质
性质1(基本
a c
如果 ＝ ，那么 ② ＝bc(b，d≠0)(反之也成立)
b d
性质)
性质2(合比
a c a±b
如果 ＝ ，那么 ＝ ③ (b，d≠0)
b d b
性质)
a a a
性质3(等比 如果 1＝ 2＝…＝ n，且b ＋b ＋…＋b ≠0，那么
b b b 1 2 n
1 2 n
第 1 页 共 16 页a ＋a ＋…＋a a
性质) 1 2 n＝ 1
b ＋b ＋…＋b b
1 2 n 1
2. 平行线分线段成比例
(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应
线段成④
3. 黄金分割比例(2023.6)
图示
AC
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 ＝ ⑤ ，那么
AB
线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的
定义
AC √5－1 BC 长 短
比叫黄金比，即 ＝ ≈0.618， ≈0.382，简记为 ＝ ＝
AB 2 AB 全 长
√5－1
2
【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点
4. 相似三角形的性质与判定(6年11考)
(1)相似三角形的对应角 ⑥ ，对应边 ⑦ ；
(2)相似三角形中的所有对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于
性质
相似比；
(3)相似三角形的周长比等于 ⑧ ，面积比等于⑨
两角分别相等的两个 两边成比例且 ⑩ 三边 ⑪ 的两
判定 三角形相似 相等的两个三角形相似 个三角形相似
方法
5. 位似
(1)定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心
(2)性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
第 2 页 共 16 页②在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上
的对应点的坐标的比等于k或－k
练考点
a c e 2 a＋c＋e
1. 已知 ＝ ＝ ＝ ，则 ＝ .
b d f 3 b＋d＋f
2. 如图是五条等距离的平行线，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，
若线段AB＝4，则线段BC的长为 .
第2题图
3. 如图，若线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为
.
第3题图
4. 若两个相似三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积比是 .
OA OC 1 AC
5. 如图，AB与CD交于点O.若 ＝ ＝ ，则 ＝ .
OB OD 2 BD
第5题图
6. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB∶OE＝2∶3，若
△ABC的周长为4，则△DEF的周长为 .
第6题图
高频考点
第 3 页 共 16 页考点1 平行线分线段成比例
例1 (北师九上习题改编)如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，C，
E，B，D，F，下列结论正确的是( )
AC BD AC BF AC BD AC CE
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
CE BF AE DF DF CE BD DF
例1题图
变式1 (人教九下习题改编)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥C D.
BE
若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值为 .
EC
变式1题图
考点2 相似三角形的性质与判定 (6年9考)
模型一 A字型
[2023.15，2023.22(2)②，2021.21(2)，2020.22(2)，2019.24(3)]
模型分析
类型 正“A”字型 斜“A”字型
模型展示
模型特点 有共用的一组角∠A，并且有另外一组角相等，形似“字母A”
解题思路 找同侧的一组相等角 找异侧的一组相等角
AD AE DE AD AE DE
结论 △ADE∽△ABC ＝ ＝ △ADE∽△ACB ＝ ＝
AB AC BC AC AB CB
例2 (人教九下练习改编⇒)如图，D，E分别是△ABC边AB，A⇒C上的点，∠AED
＝∠ABC，若AD＝2，BD＝4，AE＝3，则CE的长为 .
第 4 页 共 16 页例2题图
变式2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，若AC＝6，
BD＝5，则sin B的值为 .
变式2题图
变式3 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交
S
AB于点E，若BE＝2，BC＝3，则 △AED＝ .
S
△ABC
变式3题图
模型二 8字型
[2021.23，2019.10③]
模型分析
类型 正“8”字型 斜“8”字型
模型展示
模型特点 有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”
解题思路 找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例
AO BO AB AO BO AB
结论 △AOB∽△DOC ＝ ＝ △AOB∽△COD ＝ ＝
DO CO DC CO DO CD
⇒ ⇒
第 5 页 共 16 页例3 如图，线段AE，BD交于点C，连接AB，DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝
CD＝6，DE＝3，则AB＝ .
例3题图
变式4 如图，正方形ABCD的边长为5，正方形EFGC的边长为3，点B，
C，G在一条直线上，连接BF，交CD于点H，则图中阴影部分的面积为
.
变式4题图
模型三 手拉手型
[2024.22(2)]
模型分析
模型展示：
模型特点：1. 如图①，DE∥BC，∠BAC＝∠DAE；
2. 如图②，将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE，延长BD交CE于
点F
结论：①△ADE∽△ABC；②若AD＝AE，AB＝AC，则△ABD≌△ACE
例4 在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆
2
时针旋转到如图所示的位置，连接BD'，CE'，若AD＝ AE，BD'＝4，则CE'的
3
长为 .
第 6 页 共 16 页例4题图
变式5 如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠B＝∠ADE＝30°，
CE
∠BAC＝∠DAE＝90°，则 的值为 .
BD
变式5题图
模型四 一线三垂直型
[2021.23]
模型分析
类型 类型一 类型二
模型特点 ∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上，∠1＝∠2＝∠3＝90°
模型展示
结论 △ABD∽△CEB
例5 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，BC上，且
EF⊥DF.若CF＝2BE，则BF的长为 .
例5题图
变式6 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点A的坐标为(0，2)，顶点C在反
k
比例函数y＝ (x＞0)的图象上.若AB＝2AC，且OA＝OB，则k的值为 .
x
第 7 页 共 16 页变式6题图
考点3 位似
例6 如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，2)，B(2，0)，以原点为位
似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D的坐标为(5，0)，则点C的坐标
为 .
例6题图
真题及变式
命题点1 黄金分割数 (2023.6)
1. (2023广东6题3分)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优
选法中有一种0.618法应用了( )
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
拓展训练
√5－1
2. (2024东莞一模)宽与长的比是 (约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩
2
形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法
画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF：以点
F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的
延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )
第2题图
A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH
第 8 页 共 16 页命题点2 相似三角形的性质与判定 (6年11考)
拓展训练
3. (2024梅州一模改编)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
BD 5 BF
与CD相交于点F.若∠ABE＝30°， ＝ ，则 的值为 .
CE 4 EF
第3题图
4. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，连接BD，
CE.若S ∶S ＝16∶9，△ADB的周长为2，求△AEC的周长.
△ADB △AEC
第4题图
5. 如图为两个全等的等腰直角△ABC和△ADE，已知∠BAC＝∠AED＝90°，
AD，AE分别交BC边于点F，G，BC＝5√2.
(1)求证：AG2＝BG·FG；
(2)求证：△ABG∽△FCA；
(3)设BG＝x，CF＝y，求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.
第5题图
第 9 页 共 16 页新考法
6. [数学文化](2024佛山二模)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方
圆”.度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的
交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，则四边形
A'B'C'D'的面积为( )
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
第6题图
7. [数学文化]四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密
时代.如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1米的正
方形ABCD的一个顶点处安装一根方向杆.若将该四分仪的方向杆对准远处的目
标物E，在四分仪上读出DF的长度为20厘米，已知点B，C，E在同一条直线
上，则目标物E与点B之间的距离BE为( )
第7题图
A. 1米 B. 4米 C. 5米 D. 6米
8. [跨物理学科](2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正
方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，
B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“ ”的位置在
第 10 页 共 16 页BC √5－1
AB的黄金分割点C处，且 ＝ .若NP＝2 cm，则BC的长为
AB 2
cm(结果保留根号).
第8题图
9. [结合网格]如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面
积为 .
第9题图
第 11 页 共 16 页考点精讲
c±d BC
①b2＝ac ②ad ③ ④比例 ⑤ ⑥相等
d AC
⑦成比例 ⑧相似比 ⑨相似比的平方 ⑩夹角
⑪成比例
练考点
2 1
1. 2. 2 3. √5－1 4. 1∶4 5. 6. 6
3 2
高频考点
AC BD AC BD AC CE
例1 D 【解析】∵a∥b∥c，∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，∴选项A，
CE DF AE BF BD DF
B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意.
3 BE AF AO＋OF
变式1 【解析】∵AB∥EF∥CD，∴ ＝ ＝ ，∵AO＝2，OF＝
2 EC FD FD
BE 2+1 3
1， FD＝2，∴ ＝ ＝ .
EC 2 2
例2 1 【解析】∵∠AED＝∠ABC，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴
AD AE 2 3
＝ ，∴ ＝ ，解得CE＝1.
AC AB 3+CE 2+4
2
变式2 【解析】∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，
3
AD AC AD 6 AC
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得，AD ＝－9(舍去)，AD ＝4，则sin∠B＝
AC AB 6 AD+5 1 2 AB
6 2
＝ ＝ .
4+5 3
4
变式3 【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，
9
∴∠EDB＝∠CBD＝∠ABD，∴DE＝BE＝2.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴
S DE 2 4
△AED＝( )2＝( )2＝ .
S BC 3 9
△ABC
9 AC CD 3
例3 【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴ ＝ ＝ .∵∠ACB
2 BC CE 2
AB AC 3 9
＝∠DCE，∴△ACB∽△DCE，∴ ＝ ＝ ，∵DE＝3，∴AB＝ .
DE DC 2 2
第 12 页 共 16 页27
变式4 【解析】∵∠FEH＝∠BCH，∠EHF＝∠CHB，∴△EHF∽△CHB，
16
EF EH 3 3 9 1 1 9 27
∴ ＝ ＝ ，∴EH＝ CE＝ ，∴S ＝ EH·EF＝ × ×3＝ .
CB CH 5 8 8 △EFH 2 2 8 16
AD AE
例4 6 【解析】∵ D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴ ＝ ，
AB AC
AD' AE'
由旋转得，∠DAE＝∠D'AE'，AD＝AD'，AE＝AE'，∴ ＝ ，∠DAD'＋
AB AC
BD'
∠D'AE＝∠D'AE＋∠CAE'，∴∠DAD'＝∠CAE，∴△ABD'∽△ACE'，∴ ＝
CE'
AD' AD 2
＝ ＝ ，∵BD'＝4，∴CE'＝6.
AE' AE 3
√3 AC AE
变式5 【解析】∠BAC＝∠DAE＝90°，∴tan∠B＝ ，tan∠ADE＝
3 AB AD
AC AE √3
，∠B＝∠ADE＝30°，∴ ＝ ＝tan 30°＝ .又∵∠BAC＝∠DAE，
AB AD 3
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴
CE AC √3
＝ ＝ .
BD AB 3
例5 3 【解析】∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，即∠BFE＋∠CFD＝
90°.∵∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C＝90°，
BE BF BE BF
∴△BEF∽△CFD，∴ ＝ .∵CF＝2BE，AB＝CD＝6，∴ ＝ ，解得BF
CF CD 2BE 6
＝3.
变式6 3 【解析】如解图，过点C作CH⊥y轴于点H.∵A(0，2)，OA＝
OB，∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAH＝90°，∵∠ABO＋
∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，
OA OB AB
∴△ABO∽△CAH，∴ ＝ ＝ ＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA＋AH＝3，
HC HA CA
k
∴C(1，3)，∵点C在y＝ 的图象上，∴k＝1×3＝3.
x
第 13 页 共 16 页变式6题解图
5
例6 ( ，5) 【解析】由题意得，△OAB与△OCD为位似图形，
2
∴△OAB∽△OCD，∵点B(2，0)，D(5，0)，∴OB＝2，OD＝5，∴△OAB与
5 5
△OCD的相似比为2∶5，∵点A坐标为(1，2)，∴点C的坐标为(1× ，2× )，
2 2
5
即( ，5).
2
真题及变式
1. A
2. D 【解析】设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，
CG √5－1
DF＝√5，∴CG＝√5－1，∴ ＝ ，∴短形DCGH为黄金矩形.
CD 2
5
3. 【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，
2
BD BF 5
∴△DFB∽△EFC，∴∠DBF＝∠ECF＝30°， ＝ ＝ ，在Rt△ECF中，
CE CF 4
BF
1 BF BF 5 5
∠ECF＝30°，∴EF＝ CF，∴ ＝1 ＝2× ＝2× ＝ .
2 EF CF CF 4 2
2
4. 解：∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
AB AC AB AD
∴ ＝ ，即 ＝ .
AD AE AC AE
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ADB∽△AEC；
∵S ∶S ＝16∶9，
△ADB △AEC
∴C ∶C ＝4∶3.
△ADB △AEC
∵C ＝2，
△ADB
3
∴C ＝ .
△AEC 2
5. (1)证明：由题意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，
第 14 页 共 16 页∵∠AGF＝∠BGA，
∴△ABG∽△FAG，
AG BG
∴ ＝ ，
FG AG
∴AG2＝BG·FG；
(2)证明：由题意可知，∠FAG＝∠FCA＝45°，∠C＝∠B＝45°.
∵∠AGF＝∠C＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∠CAF＝∠CAG＋∠FAG＝∠CAG＋
45°，
∴∠AGF＝∠CAF.
∵∠B＝∠C，
∴△ABG∽△FCA；
(3)解：在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
∵AB＝AC，BC＝5√2，
∴AB＝AC＝5.
∵△ABG∽△FCA，
BG AB x 5
∴ ＝ ，即 ＝ ，
CA FC 5 y
25
∴y＝ ，
x
∵当F与B重合时，BG最小，∠BAG＝∠DAE＝45°，
∴AG平分∠BAC，
∴G为BC的中点，
1 5√2
∴BG＝ BC＝ ，
2 2
5√2
∴x的取值范围为 ＜x＜5√2.
2
6. C 【解析】∵正方形ABCD的面积为1，AB∶A'B'＝1∶2，∴正方形ABCD
的面积∶四边形A'B'C'D'的面积＝1∶4.∴四边形A'B'C'D'的面积＝4.
第 15 页 共 16 页7. C 【解析】∵DF＝20厘米＝0.2米，∴CF＝1－0.2＝0.8(米).∵AD∥BE，
AD DF 1
∴∠ADF＝∠ECF，又∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴ ＝ ，即
EC CF CE
0.2
＝ ，解得CE＝4，∴BE＝BC＋CE＝1＋4＝5(米).
0.8
BC √5－1
8. √5－1 【解析】由已知得AB＝NP＝2 cm，∵ ＝ ，∴BC＝(√5－
AB 2
1)cm.
16
9. 【解析】如解图，过点C分别作AB，DE的垂线，交AB，DE于点G，
3
F，∴FG＝BE＝4，∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∵CG，CF分别为△ABC和
GC AB
△CDE的高，∴ ＝ ＝2，设CF＝x，则CG＝2x，CG＋CF＝4，∴2x＋x＝
CF DE
4 8 1 16
4，x＝ ，∴CG＝ ，∴S ＝ AB·CG＝ .
3 3 △ABC 2 3
第9题解图
第 16 页 共 16 页
