文档内容
微专题 37 概 率
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 事件分类
事件类型 定义 概率
必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 ①
确定
在一定条件下，必然不会发生的事
事件 不可能事件 ②
件
在一定条件下，可能发生也可能不
随机事件 0～1之间
发生的事件
2. 概率的计算(6年5考)
(1)直接公式法：如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性
都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝③
(2)列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采
m
用列表法不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P(A)＝ 计算概率
n
(3)画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状
m
图法来表示所有可能的结果，再根据P(A)＝ 计算概率
n
(4)几何概型的概率公式：P(A)＝
构成事件A的区域面积(或长度、角度、时间)
全部结果所构成的区域面积(或长度、角度、时间)
m
(5)频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定
n
于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝④
第 1 页 共 9 页3. 概率的应用
判断游戏公平性：判断公平性时需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的
大小，概率相等就公平，否则就不公平
练考点
1. 下列事件中：①车辆随机到达一个路口，遇到绿灯；②三角形两边之和小于
第三边；③30人中有两人的生日在同一月；④对某一目标射击10次，命中10
次；⑤下个月有31天；⑥没有水分，水稻种子发芽.
其中是必然事件的有 ，不可能事件有 ，随机事件有 .
(填序号)
2. 袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别.
(1)随机从袋子摸出一个球，摸出的球是黑球的概率为 ；
(2)随机从袋子一次性摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为 .
高频考点
考点 概率的计算 (6年5考)
例 一个不透明的袋子内装有2个红球和3个黄球，这些球除颜色外其余都相
同.
(1)从中随机摸出1个球，是白球是 事件，是黄球是 事件，从
中随机摸出3个球，至少有一个球是黄球是 事件(填“不可能”“必
然”或“随机”)；
(2)随机摸出一个球.
①摸到黄球的概率为 ；
②放回搅匀，再随机摸出一个球，则摸出的两球都是黄球的概率为 ；
③不放回，再随机摸出一个球，则摸出的两球都是红球的概率为 ；
(3)若在袋中放入若干个红球，然后多次从中摸出一个球并放回，发现摸到的红
球的频率稳定在0.5，则放入的红球的个数为 ；
(4)5个球上分别标有数字－2，－1，0，1，2.小明先从袋中随机摸出1个球，不
放回，然后小东再从袋中随机摸出1个球，若摸出的这两个球上的数字之积为
第 2 页 共 9 页正数，小明获胜；数字之积为负数，小东获胜.你认为这个游戏公平吗？请用画
树状图法或列表法说明你的理由.
易错警示
1. 不放回抽样，即每次抽样后样本总体都会少一个；放回抽样，即每次都是从
总体中抽取.
2. 用列表或画树状图的方法求事件概率时：①要认真弄清题意，分清是“一步
试验”还是“两步或两步以上试验”；②要在所有等可能的结果中，仔细筛选
事件A发生的结果总数
出适合题意的结果，代入P(A)＝ 中求出概率，谨防出错.
所有可能的结果总数
真题及变式
命题点1 概率的计算 (6年5考)
类型一 一步概率(6年3考)
1. (2024广东6题3分)长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、
巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一
种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是( )
1 1 1 3
A. B. C. D.
4 3 2 4
2. (2023广东7题3分)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”
“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可
能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
8 6 4 2
3. (2022广东7题3分)书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物
理书的概率为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
类型二 两步概率(6年2考)
4. (2021广东3题3分·人教九上例题改编)同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚
骰子向上的点数之和为7的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
12 6 3 2
第 3 页 共 9 页命题点2 统计与概率结合 (2019.20)
5. (2019广东20题7分)为了解某校九年级全体男生1 000米跑步的成绩，随机
抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制如
下不完整的统计图表，根据图表信息解答下列问题：
(1)x＝ ，y＝ ，扇形图中表示C的圆心角的度数为 度；
(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名
介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概
率.
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
成绩等级扇形统计图
第5题图
新考法
6. [跨物理和化学学科](2024临夏州)物理变化和化学变化的区别在于是否有新
物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除
图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ；
第 4 页 共 9 页(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡
片内容均为化学变化的概率.
第6题图
第 5 页 共 9 页考点精讲
m
①1 ②0 ③ ④p
n
练考点
1. ③，②⑥，①④⑤.
2 7
2. (1) ；(2)
3 15
高频考点
例 解：(1)不可能，随机，必然；
3 9 1
(2)① ；② ；③ ；
5 25 10
(3)1；
(4)不公平，理由如下：
画树状图如解图；
例题解图
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中数字之积为正数的结果有4种，
数字之积为负数的结果有8种，
4 1
∴P(小明获胜)＝ ＝ ，
20 5
8 2
P(小东获胜)＝ ＝ ，
20 5
1 2
∵ ≠ ，
5 5
第 6 页 共 9 页∴游戏不公平.
真题及变式
1. A 【解析】∵共有四种区域文化，∴随机选一种文化开展专题学习，选中
1
“巴蜀文化”的概率是 .
4
2. C 【解析】∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程，∴P(恰好
1
选中“烹饪”)＝ .
4
3. B 【解析】∵书架上有2本数学书、1本物理书，∴P(从中任取1本书是物
1
理书)＝ .
3
4. B 【解析】根据题意，列表如下，
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
5 6 7 8
6 7 8 9
4 5 6
1 5 6 7
2 6 7 8
3 7 8 9
4 8 9 10
5 9 10 11
6 10 11 12
由表格可知，共有36种等可能的结果，其中和为7的结果有6种，∴P(两枚骰
6 1
子向上的点数之和为7)＝ ＝ .
36 6
5. 解：(1)4，40，36； (3分)
第 7 页 共 9 页【解法提示】由扇形统计图可知，等级B所占百分比为25％，由成绩等级频数
10
分布表可知，等级B的频数为10，则总频数y＝ ＝40，则x＝40－24－10－
25％
4
2＝4，扇形统计图中表示C的圆心角的度数为 ×360°＝36°.
40
(2)画树状图如解图：
第5题解图
(5分)
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中同时抽到甲、乙两名学生的结果
有2种，
2 1
∴P(同时抽到甲、乙两名学生)＝ ＝ . (7分)
6 3
1
6. 解：(1) ；
4
【解法提示】∵一共有A，B，C，D四张卡片，∴小临从四张卡片中随机抽取
1
一张，抽中C卡片的概率是 .
4
(2)依据题意，画树状图如解图：
第6题解图
或列表如下：
卡片 A B C D
A — (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) — (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) — (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) —
第 8 页 共 9 页由树状图(或列表)可知，共有12种等可能结果，其中A，D卡片内容为化学变化，
小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种，
2 1
∴P(小夏抽取两张卡片内容均为化学变化)＝ ＝ .
12 6
第 9 页 共 9 页
