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辽宁省铁岭市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中只有个是符合
题目要求的）
1．（3分）（2013•铁岭）﹣ 的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
﹣
考点：实数的性质．
分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解答：解：|﹣ |= ．
故选A．
点评：本题考查了实数的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数．
2．（3分）（2013•铁岭）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy B．x6÷x2=x3 C．x2•x3=x5 D．（﹣x3）3=x6
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
专题：计算题．
分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不
变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计
算后利用排除法求解．
解答：解：A、由于2x和3y不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、由于x6÷x2=x4≠x3，故本选项错误；
C、由于x2•x3=x2+3=x5，故本选项正确；
D、由于（﹣x3）3=﹣x9≠x6，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定
要记准法则才能做题．
3．（3分）（2013•铁岭）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与原图重合．
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4．（3分）（2013•铁岭）如图，在数轴上表示不等式组 的解集，其中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
专题：计算题．
分析：求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
解答：
解： ，
由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣1，
则不等式的解集为﹣1≤x＜1，
表示在数轴上，如图所示：
故选C
点评：此题考查了在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集
的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在
表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）（2013•铁岭）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其
他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可
能有（ ）
A．16个 B．15个 C．13个 D．12个
考点：利用频率估计概率．
分析：由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数
即可．
解答：解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴ = ，
解得：x=12，
故白球的个数为12个．
故选：D．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解
题关键．
6．（3分）（2013•铁岭）如图是4块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表
示该位置小方块的个数，其主视图是（ ）
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A． B． C． D．
考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
分析：根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
解答：解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图有一层3个，
另一层1个，
所以主视图是：
故选：D．
点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能
力方面的考查．
7．（3分）（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使
△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D
考点：全等三角形的判定．
分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解答：解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故
此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选
项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符
合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此
选项不合题意；
故选：C．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参
与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（3分）（2013•铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15
天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B． C． D．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
3718684
分析：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意可得等量关系：（原计划
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20天生产的零件个数+10个）÷实际每天生产的零件个数=15天，根据等量关系列出方
程即可．
解答：解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意得：
=15，
故选：A．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．
9．（3分）（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这
个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
考点：三角形中位线定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
3718684
分析：首先解方程求得三角形的两边长，则第三边的范围可以求得，进而得到三角形的周长l
的范围，而连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长一定是l的一半，从而求
得中点三角形的周长的范围，从而确定．
解答：解：解方程x2﹣8x+15=0得：x =3，x =5，
1 2
则第三边c的范围是：2＜c＜8．
则三角形的周长l的范围是：10＜l＜16，
∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．
故满足条件的只有A．
故选A．
点评：本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中位线的性质，理解原来的三角形与中点
三角形周长之间的关系式关键．
10．（3分）（2013•铁岭）如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图所示是位置出发，
沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形ABCD重合部分的
面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．
371
专题：数形结合．
分析：设GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，分类讨论：当E点
在点A左侧时，S=0，其图象为在x轴的线段；当点G在点A左侧，点E在点A右侧
时，AE=t﹣m，GA=a﹣（t﹣m）=a+m﹣t，易证得△GAP∽△GEF，利用相似比可表示PA=
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（a+m﹣t），S为图形PAEF的面积，则S= [ （a+m﹣t）•（t﹣m），可发现S是t的二
次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下；当点G在点A右侧，点E在点B
]
左侧时，S为定值，定义三角形GEF的面积，其图象为平行于x轴的线段；当点G在点
B左侧，点E在点B右侧时，和前面一样运用相似比可表示出PB= （a+m+c﹣t），S为
△GPB的面积，则S= （t﹣a﹣m﹣c）2，则S是t的二次函数，且二次项系数为，正数，
所以抛物线开口向上．
解答：解：设GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，
当E点在点A左侧时，S=0；
当点G在点A左侧，点E在点A右侧时，如图，
AE=t﹣m，GA=a﹣（t﹣m）=a+m﹣t，
∵PA∥EF，
∴△GAP∽△GEF，
∴ = ，即 =
∴PA= （a+m﹣t），
∴S= （PA+FE）•AE= [ （a+m﹣t） •（t﹣m）
∴S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下；
]
当点G在点A右侧，点E在点B左侧时，S= ab；
当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图，
GB=a+m+c﹣t，
∵PA∥EF，
∴△GBP∽△GEF，
∴ = ，
∴PB= （a+m+c﹣t），
∴S= GB•PB= （a+m+c﹣t）• （a+m+c﹣t）= （t﹣a﹣m﹣c）2，
∴S是t的二次函数，且二次项系数为，正数，所以抛物线开口向上，
综上所述，S与t的图象分为四段，第一段为x轴上的一条线段，第二段为开口向下的
抛物线的一部分，第三段为与x轴平行的线段，第四段为开口先上的抛物线的一部分．
故选D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函
数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
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二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2013•铁岭）地球上陆地的面积约为149 000 000平方千米，把数据149 000 000用
科学记数法表示为 1.49×1 0 8 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
3718684
专题：计算题．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将149 000 000用科学记数法表示为1.49×108．
故答案为：1.49×108．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2013•铁岭）在综合实践课上．五名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，
3，6，4，则这组数据的中位数是 5 件．
考点：中位数．
3718684
分析：根据中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个
数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．
解答：解：按从小到大的顺序排列是：3，4，5，6，7．
中间的是5，故中位数是5．
故答案是：5．
点评：本题主要考查了中位数的定义，理解定义是关键．
13．（3分）（2013•铁岭）函数y= 有意义，则自变量x的取值范围是 x≥ 1 且 x≠ 2 ．
考点：函数自变量的取值范围．
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分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
解答：解：根据题意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
14．（3分）（2013•铁岭）甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是
， ，则成绩比较稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”）
考点：方差．
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分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明
这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：
解：∵ ， ，
∴ ＜ ，
∴成绩比较稳定的是甲；
故答案为：甲．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
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据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．（3分）（2013•铁岭）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原
来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%．经过两次降
价后的价格为 0.94 5 元（结果用含m的代数式表示）
考点：列代数式．
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分析：先算出加价50%以后的价格，再求第一次降价30%的价格，最后求出第二次降价10%
的价格，从而得出答案．
解答：解：根据题意得：
m（1+50%）（1﹣30%）（1﹣10%）=0.945m（元）；
故答案为：0.945元．
点评：此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，列出代数式，是一道基础题．
16．（3分）（2013•铁岭）如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y= 在第一象限内的交点，
PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是 2 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．
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分析：过P作PB⊥OA于B，根据一次函数的性质得到∠POA=45°，则△POA为等腰直角三
角形，所以OB=AB，于是S = S = ×2=1，然后根据反比例函数y= （k≠0）系数
△POB △POA
k的几何意义即可得到k的值．
解答：解：过P作PB⊥OA于B，如图，
∵正比例函数的解析式为y=x，
∴∠POA=45°，
∵PA⊥OP，
∴△POA为等腰直角三角形，
∴OB=AB，
∴S = S = ×2=1，
△POB △POA
∴ k=1，
∴k=2．
故答案为2．
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点评：
本题考查了反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y= （k≠0）图象
上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了等
腰直角三角形的性质．
17．（3分）（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺
时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1. 6
．
考点：旋转的性质．
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分析：由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在
BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得
BD=AB=2，则可求得答案．
解答：解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．
故答案为：1.6．
点评：此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转
前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
18．（3分）（2013•铁岭）如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐
角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B 作作直线l的垂线交y轴于点A ，以
1 1
A
1
B．BA为邻边作 ▱ABA
1
C
1
；过点A
1
作y轴的垂线交直线l于点B
1
，过点B
1
作直线l的垂线
交y轴于点A
2
，以A
2
B
1
．B
1
A
1
为邻边作 ▱A
1
B
1
A
2
C
2
；…；按此作法继续下去，则C
n
的坐标是
（﹣ ×4 n﹣1 ， 4 n ） ．
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考点：一次函数综合题；平行四边形的性质．
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专题：规律型．
分析：
先求出直线l的解析式为y= x，设B点坐标为（x，1），根据直线l经过点B，求出B
点坐标为（ ，1），解Rt△A
1
AB，得出AA
1
=3，OA
1
=4，由平行四边形的性质得出
A C =AB= ，则C 点的坐标为（﹣ ，4），即（﹣ ×40，41）；根据直线l经过点B ，
1 1 1 1
求出B
1
点坐标为（4 ，4），解Rt△A
2
A
1
B
1
，得出A
1
A
2
=12，OA
2
=16，由平行四边形的
性质得出A C =A B =4 ，则C 点的坐标为（﹣4 ，16），即（﹣ ×41，42）；同理，
2 2 1 1 2
可得C 点的坐标为（﹣16 ，64），即（﹣ ×42，43）；进而得出规律，求得C 的坐标
3 n
是（﹣ ×4n﹣1，4n）．
解答：解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y= x．
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y= x，
得1= x，解得x= ，
∴B点坐标为（ ，1），AB= ．
在Rt△A
1
AB中，∠AA
1
B=90°﹣60°=30°，∠A
1
AB=90°，
∴AA = AB=3，OA =OA+AA =1+3=4，
1 1 1
∵▱ABA
1
C
1
中，A
1
C
1
=AB= ，
∴C 点的坐标为（﹣ ，4），即（﹣ ×40，41）；
1
由 x=4，解得x=4 ，
∴B 点坐标为（4 ，4），A B =4 ．
1 1 1
在Rt△A
2
A
1
B
1
中，∠A
1
A
2
B
1
=30°，∠A
2
A
1
B
1
=90°，
∴A A = A B =12，OA =OA +A A =4+12=16，
1 2 1 1 2 1 1 2
∵▱A
1
B
1
A
2
C
2
中，A
2
C
2
=A
1
B
1
=4 ，
∴C 点的坐标为（﹣4 ，16），即（﹣ ×41，42）；
2
同理，可得C 点的坐标为（﹣16 ，64），即（﹣ ×42，43）；
3
以此类推，则C 的坐标是（﹣ ×4n﹣1，4n）．
n
故答案为（﹣ ×4n﹣1，4n）．
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点评：本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出
C 、C 、C 点的坐标，从而发现规律是解题的关键．
1 2 3
三．解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2013•铁岭）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a=﹣2．
考点：分式的化简求值．
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分析：先把括号中通分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时将除式的分子分解因式后，
再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简
结果，再把a=﹣2代入进行计算即可．
解答：
解：（1﹣ ）÷ =（ ） = ×
= ，
把a=﹣2代入上式得：
原式= = ．
点评：此题考查了分式的化简求值，关键是通分，找出最简公分母，分式的乘除运算关键是约
分，约分的关键是找公因式，化简求值题要将原式化为最简后再代值．
20．（12分）（2013•铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的
中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
考点：矩形的判定；正方形的判定．
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分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而理由等腰三角
形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
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解答：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
点评：此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练
掌握正方形和矩形的判定是解题关键．
四．解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2013•铁岭）为迎接十二运，某校开设了A：篮球，B：毽球，C：跳绳，D：健美操四
种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，
进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据
进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．
（1）这次调查中，一共查了 20 0 名学生：
（2）请补全两幅统计图：
（3）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互
活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率．
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考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
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分析：（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出B所占的百分比；用总人数乘以
所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（3）根据题意采用列举法，举出所有的可能，注意要做到不重不漏，再根据概率公式即
可得出答案．
解答：
解：调查的总学生是 =200（名）；
故答案为：200．
（3）B所占的百分比是1﹣15%﹣20%﹣30%=35%，
C的人数是：200×30%=60（名），
补图如下：
（3）用A ，A ，A 表示3名喜欢毽球运动的学生，B表示1名跳绳运动的学生，
1 2 3
则从4人中选出2人的情况有：（A ，A ），（A ，A ），（A ，B），（A ，A ），（A ，B），
1 2 1 3 1 2 3 2
（A ，B），共计6种，
3
选出的2人都是最喜欢毽球运动的学生有（A ，A ），（A ，A ），（A ，A ）共计3种，
1 2 1 3 2 3
则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率 = ．
点评：此题考查了扇形图与概率的知识，综合性比较强，解题时要注意认真审题，理解题意；
在用列举法求概率时，一定要注意不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
22．（12分）（2013•铁岭）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长
线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
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考点：切线的判定与性质．
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分析：（1）AF为为圆O的切线，理由为：练级OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得
到CP垂直于OC，由OF与BC平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别
得到两对角相等，根据OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对
角相等，再由OC=OA，OF为公共边，利用SAS得出三角形AOF与三角形COF全等，
由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到AF垂直于OA，即可得证；
（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA与AF的长，利用勾股定理求出
OF的长，而OA=OC，OF为角平分线，利用三线合一得到E为AC中点，OE垂直于
AC，利用面积法求出AE的长，即可确定出AC的长．
解答：解：（1）AF为圆O的切线，理由为：
连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
则AF为圆O的切线；
（2）∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF=∠COF，
∵OA=OC，
∴E为AC中点，即AE=CE= AC，OE⊥AC，
∵OA⊥AF，
∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，
根据勾股定理得：OF=5，
∵S = •OA•AF= •OF•AE，
△AOF
∴AE= ，
则AC=2AE= ．
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点评：此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行线的性
质，等腰三角形的性质，三角形的面积求法，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关
键．
五．解答题（满分12分）
23．（12分）（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要
测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁
塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高
OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据
sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出
BD=PD•tan26.6°；解Rt△CBD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，
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求出PD=320，进而求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求
解．
解答：解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；
在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；
∵CD﹣BD=BC，
∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=80，
∴0.75PD﹣0.50PD=80，
解得PD=320，
∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160，
∵OB=220，
∴PE=OD=OB﹣BD=60，
∵OE=PD=320，
∴AE=OE﹣OA=320﹣200=120，
∴tanα= = =0.5，
∴α≈26.6°．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过作辅
助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
六．解答题（满分12分）
24．（12分）（2013•铁岭）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过
市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的销售量y（件）… 450 400 300 250 …
（1）直接写出y与x的函数关系式： y=﹣10x+100 0
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围
内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购
进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？
考点：二次函数的应用．
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分析：（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售
单价的增大而增大的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．
解答：解：（1）设y=kx+b，
由题意得， ，
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解得： ，
则函数关系式为：y=﹣10x+1000；
（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）
=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，
∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）当购进该商品的贷款为10000元时，
y= =250（件），
此时x=75，
由（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小，
∴当x=70时，销售利润最大，
此时S=9000，
即该商家最大捐款数额是9000元．
点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数
最值问题，从而来解决实际问题．
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