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辽宁省铁岭市 2019 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.2的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【详解】解：根据相反数的定义，2的相反数是 ．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由定义可知，如果将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称
图形；接下来，根据上述定义对各选项中的图形进行分析，即可做出判断.
【详解】根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、D所给的图形均不是轴对称图形，只有选项C的图形
是轴对称图形.
故选C.
【点睛】此题考查轴对称图形的判断，解题关键在于握判断一个图形是否为轴对称图形的方法.
3.下列运算正确的是（ ）
A. B..
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解： ，故选项A错误；
不能合并，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算，解答本题的关键是明确整式的运算法则．同底数的幂相乘，底数不变，指
数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂
相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.
4.如图所示几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B【解析】
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面可看到的图形是：
故选B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5.为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下：
捐书本数 2 3 4 5 8 10
捐书人数 2 5 12 21 3 1
该组数据捐书本数的众数和中位数分别为（ ）
A. 5，5 B. 21，8 C. 10，4.5 D. 5，4.5
【答案】A
【解析】
【分析】
中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数
据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：由表可知，15出现次数最多，所以众数为5；
由于一共调查了44人，
所以中位数为排序后的第22和第23个数的平均数，即：5．
故选A．
【点睛】本题考查了确定一组数据 的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不
清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数
个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占40%，面试成
绩占60%．应聘者蕾蕾的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是（ ）
A. 92.5分 B. 90分 C. 92分 D. 95分
【答案】C【解析】
【分析】
根据加权平均数的计算公式和笔试成绩占40%，面试成绩占60%，列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
（分）．
答：她的最终得分是92分．
故选C．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，在计算过程中要弄清楚各数据的权．
7.如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度数
是（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 AC 并延长交 EF 于点 M．由平行线的性质得 ， ，再由等量代换得
，先求出 即可求出 ．
【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
8.如图， ，点B为AM上一点，以点A为圆心、任意长为半径画弧，交AM于点E，交AN于
点D．再分别以点D，E为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线AF，在AF上取点
G，连接BG，过点G作 ，垂足为点C．若 ，则BG的长可能为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本作图得到AG平分 ，所以 ，利用含30度的直角三角形三边的关
系得到 ，根据角平分线的性质得到G点到AM的距离为3，然后对各选项进行判断．
【详解】解：由作法得AG平分 ，
，
，，
，
∵AG平分 ，
∴G点到AM的距离为3，
．
故选D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已
知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
9.在平面直角坐标系中，函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、二、四象限，
， ．
，
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 中，当 ，
时图象在一、二、四象限．
10.如图，在 中， ， ， 于点G，点D为BC边上一动点，交射线CA于点E，作 关于DE的轴对称图形得到 ，设CD的长为x， 与
重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得 ，由 与 关于DE对称，即可求出当点F
与G重合时x的值，再根据分段函数解题即可．
【详解】解： ， ， ，
与 关于DE对称，
．当点F与G重合时， ，即 ， ，当点F与点B重合时，
，即 ， ，
如图1，当 时， ，∴B选项错误；如图2，当 时， ，∴选项D错误；
如图3，当 时， ，∴选项C错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.我国科技成果转化2018年度报告显示：2017年，我国公立研发机构、高等院校的科技成果转化合同总
金额达到12100000000元．将数据12100000000用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．
当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．【详解】解： ，
故答案为 ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【详解】解：若 在实数范围内有意义，
则 ，
解得： ．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
的
13.一个不透明 布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有9个，摸到白球的
概率为0.75，则红球的个数是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
设红球的个数是x，根据概率公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：设红球的个数是x，根据题意得：
，
解得： ，
答：红球的个数是3；
故答案为3．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．14.若x，y满足方程组 ，则 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
则 ，
故答案为7
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元的方法是解本题的关键．
15.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____．
【答案】 且
【解析】
【分析】
根据根的判别式即可求出答案，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方
程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
【详解】解：由题意可知： ，
，
，
且 ，
故答案为 且
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
16.如图，点A，B，C在 上， ， ， ，则 的长为_____．【答案】8π
【解析】
【分析】
连接OA，根据等腰三角形的性质求出 ，根据题意和三角形内角和定理求出 ，代入弧长公
式计算，得到答案．
【详解】解：连接OA，
，
，
，
，
，
，
则 的长 ，
故答案为8π．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
17.如图， ，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且 ．若
四边形OAEC的面积为6，反比例函数 的图象经过点E，则k的值为_____．【答案】4
【解析】
【分析】
连接OE，过点E分别作 于点M， 于点N，证明 ，再证明点C为BO
的中点，点A为OD的中点，设 ，根据四边形OAEC的面积为6，列出x的方程，便可求得
最后结果．
【详解】解：连接OE，过点E分别作 于点M， 于点N，
，
， ， ，
，即 ，
又 ，
，
，
又 ， ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
，
∴点C为BO的中点，
同理可得点A为OD的中点，，
在 中， ，
，
设 ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为4．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，有一定难度，主要考查了反比例的几何意义，待定系数法，
全等三角形的性质与判定，解直角三角形．关键是根据把四边形OAEC的面积转化为 的面积，列出
方程求得E点的坐标．
18.如图，在 中， ， ，过点 作 ，垂足为点 ，过点
作 交 于点 ，得到 ；过点 作 ，垂足为点 ，过点 作交 于点 ，得到 ；过点 作 ，垂足为点 ，过点 作
交 于点 ，得到 ；……按照上面的作法进行下去，则 的面积为
_____．（用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由 勾 股 定 理 得 出 ， 易 证 ， 得 出 ， 则
， 同 理 ， ， 则 ， 同 理 ，
， ， ， 则
， 同 理 ， ， ，
，则 ，同理推出 ．
【详解】由等腰三角形的性质得出 ，由含30°角直角三角形的性质得出 ，解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理， ，
，
同理， ，
，
，，
同理， ，
，
，
…，
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性
质、三角形面积公式等知识，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质是解
题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，共22分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
19.先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】-6
【解析】
【分析】
先化简分式，然后将a、b的值代入求值．
【详解】解：原式，
当 ， ，
原式
．
【点睛】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，
乘除的本质是约分，熟练了分式的运算法则是解题的关键．
20.书法是我国的文化瑰宝，研习书法能培养高雅的品格．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，
随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D
表示，并将测试结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题：
（1）本次抽取的学生人数是 ，扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是 ．
（2）把条形统计图补充完整．
（3）若该学校共有2800人，等级达到优秀的人数大约有多少？
（4）A等级的4名学生中有3名女生1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学
生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）40人， 36°；（2）见解析；（3）280人；（4）
【解析】
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）总人数减去A、C、D的人数可求出B等级的人数，从而补全图形；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）本次抽取的学生人数是 （人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是 ，
故答案为40人、36°；
（2）B等级人数为 （人），
补全条形图如下：
（3）等级达到优秀的人数大约有 （人）；
（4）画树状图为：
或列表如下：
男 女1 女2 女3
男 --- （女，男） （女，男） （女，男）
女1 （男，女） --- （女，女） （女，女）
女2 （男，女） （女，女） --- （女，女）女3 （男，女） （女，女） （女，女） ---
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为 ．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率 所求情况数与总情
况数之比．
四、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
21.某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的 ，已
知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比
甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
【答案】（1）甲6元，乙5元；（2）112件
【解析】
【分析】
（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为 元，根据 结合“用
1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的 ”，即可得出关于x
的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具 件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关
于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为 元，根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
．
答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具 件，
根据题意得： ，
解得： ，
∵y为整数，
答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）
为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与
地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据： ， ， ，
）【答案】（1） ；（2）51m
【解析】
【分析】
（1）作 于M，根据矩形的性质得到 ， ，根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）作 于M，
则四边形ABCM为矩形，
， ，
在 中， ，
则 ，
答：AB与CD之间的距离 ；
（2）在 中， ，
则 ，
，
答：建筑物CD的高度约为51m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定
义是解题的关键．
五、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）23.小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．
市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，
设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出
最大利润．
【答案】（1） ；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到 ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得， ，
故y与x的函数关系式为 ；
（2）根据题意得， ，解得： ， （不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得， ，
，
∴当 时，w随x的增大而增大，
当 时， ，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，
进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
六、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24.如图，在 中， ，以点A为圆心、AB的长为半径的 恰好经过BC的中点E，连接
DE，AE，BD，AE与BD交于点F．
（1）求证：DE与 相切．
（2）若 ，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）欲证明DE是切线，只要证明 即可．
（2）证明 ，可得 ，推出 ，推出 ，再利用勾股
定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD都是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，， ，
，
，
，
，
∵AE是 的半径，
∴DE与 相切．
（2）如图，作 于M．
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
， ，在 中， ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
七、解答题（本大题共1小题，共12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
25.如图， 中， ，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为
AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且 ．
（1）如图1，当 时，线段AG和CF的数量关系是 ．
（2）如图2，当 时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．
（3）若 ， ， ，请直接写出CF的长．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）2.5或5
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质得到
， ， ，根据全等三角形的性质即可得到
结论；
（2）如图2，连接AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到 ，根据线段垂直平分
线的性质得到 ，求得 ，根据相似三角形的性质得到 ，解直角三角形即可得到 ；
（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，
由三角函数的定义得到 ，根据相似三角形的性质得到 ，过A作
于点H由三角函数的定义即可得到结论．②当点G在BD上，如图4，方法同（1）．
【详解】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为 ；
（2） ，
理由：如图2，连接AE，
，
，，
∵DE垂直平分AB，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
；
（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
过A作 于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点G在BD上，如图4，同（1）可得， ，
，
，
，，
综上所述，CF的长为2.5或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
八、解答题（本大题共1小题，共14分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
26.如图1，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C，顶点为D，直线
AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将 沿直线AD平移得到 ．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在 移动过程中，存在点M使 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1） ；（2）① 或 ；② 或 或
或
【解析】
【分析】（1）抛物线的表达式为： ，即： ，即
可求解；
的
（2）①将点M 坐标代入抛物线表达式，即可求解）；②分 为直角、 为直角、
为直角三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为： ，
即： ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
令 ，解得： 或 ，故点 ，
函数的对称轴为： ，故点 ；
（2）将点A、D的坐标代入一次函数表达式： 得： ，解得： ，
故直线AD的表达式为： ，
设点 ，
，则点 ，
①将点M的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得： ，
故点M的坐标为 或 ；
②点 ，点B、D的坐标分别为 、 ，则 ， ， ，
当 为直角时，
由勾股定理得： ，
解得： ，
当 为直角时，
同理可得： ，
当 为直角时，
同理可得： ，
故点M的坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意
分类求解，避免遗漏．
