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2024 年中考第三次模拟考试（深圳卷）
数学·全解全析
第一部分选择题
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．每题给出4个选项，其中只有一
种是正确旳）
1．如果 表示增加 ，那么 表示（ ）
A．减少 B．减少 C．增加 D．增加
【答案】A
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，
明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为
正，则另一个就用负表示．
【详解】解：如果 表示增加 ，那么 表示减少 ，
故选：A．
2．下列四边形中，是轴对称图形，且有四条对称轴的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）、平行四边形、特殊四边形的定义逐项
判断即可得．
【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、矩形是轴对称图形且有两条对称轴，则此项不符合题意；
C、菱形是轴对称图形且有两条对称轴，则此项不符合题意；
D、正方形是轴对称图形且有四条对称轴，则此项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合．
3．人的大脑每天能记录大约 万条信息，把数据“ 万”用科学记数法表示为(
)
A． B． C． D．
【答案】C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
【详解】解：将 万表示为 ，
．
故选：C．
4．某班5名学生的体重（单位： ）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的
众数与中位数分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据众数的定义和中位数的定义即可求解，本题考查了众数和中位数的定义，
解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，51出现了2次，出现次数最多，
故这组数据的众数是 ，
将这组数据从小到大排列：47，51，51，53，60，
根据中位数的定义，在中间位置的数是51，
故这组数据的中位数是 ，
选项 符合题意，
故选： ．
5．如图，菱形 中， ，则以 为边长的正方形 的周长
为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【分析】根据菱形的性质可得 为等边三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形
∴
为等边三角形
∴∴正方形 的周长为：
故选：B
【点睛】本题考查菱形的性质．熟记相关结论即可．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算．解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，同底数幂除
法法则，完全平方公式，幂的乘方法则．
根据合并同类项，同底数幂除法，完全平方公式，幂的乘方逐一判断即可．
【详解】A. ，
∵ ，故不正确；
B. ，
∵ ，故不正确；
C. ，
∵ ，故不正确；
D. ，正确．
故选：D．
7．计算 的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先代入特殊角的函数值、化简
即可．
【详解】解： ，
故选C．
8．下列所给的命题中，不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，则同位角相等
D．过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命
题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据线段的性质、对顶角相等、平行线的性质、平行公理判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，命题正确，不符合题意；
B、对顶角相等，命题正确，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，则同位角相等，故本选项命题不正确，符合题意；
D、过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行，命题正确，不
符合题意；
故选：C．
9．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与
原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，
下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据现在生产 台机器的时间与原计划生产 台机器的时间相同，所以可得等量关
系为：现在生产 台机器时间 原计划生产 台时间．
【详解】解：设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，列方程得：
，
故选A．
【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生
产 台机器”这一个隐含条件，进而得出分式方程是解题关键．
10．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从
的路径匀速运动，相应的 的面积 关于时间 的
关系图象如图2，已知 ，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是 ；
②BC的长度为 ；③b的值为14；
④在运动过程中，当 的面积是 时，点H的运动时间是 和 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时 的面积变化，并对应图2得出相
关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
【详解】
解：当点H在 上时，如图所示，
，
，
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在 上时，如图所示， 是 的高，且 ，
∴ ，此时三角形面积不变，当点H在 上时，如图所示， 是 的高，C，D，P三点共线，
，点H从点C点D运动， 逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在 上时，如图所示， 是 的高，且 ，
，此时三角形面积不变，
当点H在 时，如图所示，
，点H从点E向点F运动， 逐渐减小，故三角形面积不断减小
直至零，
对照图2可得 时，点H在 上，
，
∴ ， ，
∴动点H的速度是 ，
故①正确，
时，点H在 上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时 ，
∴ ，故②错误，
，点H在 上， ，
∴动点H由点D运动到点E共用时 ，
∴ ，
故③错误．
当 的面积是 时，点H在 上或 上，
点H在 上时， ，
解得 ，
点H在 上时，
，
解得 ，
∴ ，
∴从点C运动到点H共用时 ，
由点A到点C共用时 ，
∴此时共用时 ，
故④错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象
上的点表示的意义是解决本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．有四张不透明的卡片为为 ， ， ， ，除正面的数不同外，其余都相同，
将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数的卡片的概率为
．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查概率和无理数的概念．根据无理数的定义和概率公式即可求出概率．无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数
点之后的数字有无限多个，并且不会循环．
【详解】解：∵ 、 为无理数，
∴抽到写有无理数的卡片的概率为： ，
故答案为：
12．如图， 是半圆的直径，O为圆心，B、C是半圆上的两点， ，则
°．
【答案】
【分析】连接 ，如图，根据直径所对的圆周角是直角得到 ，则可计算
出 ，然后根据同弧所对的圆周角相等即可得到
．
【详解】如图所示，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确作
出辅助线是解题的关键．
13．已知 ，满足等式 ，则 的值为 ．
【答案】4【分析】由等量代换可得 可得 从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
∴
∴
∵ 则
∴ 则
∴
故答案为：4
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握“提公因式与利用完全平方公式分解因
式”是解本题的关键．
14．如图，点 在双曲线 上， 轴于 ,则 ．
【答案】14
【分析】本题考查反比例函数 值的几何意义，根据 值的几何意义，得到
，求解即可.
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ，
∵图象在一、三象限，∴ ，
∴ ；
故答案为：14
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，D，E，F分别为BC，AC，AB边
上的点，BF＝3AF，∠DFE＝90°，若△BDF与△FEA的面积比为3：2，则△CDE与
△DEF的面积比为 ．
【答案】5：12
【分析】过点D、E分别作AB的垂线DG、EH，由BF＝3AF及△BDF与△FEA的面
积比为3：2，可求得EH和DG的数量关系，设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝
a，EH＝2a，先证明△DFG∽△FEH，用x和a表示出FH，再根据BF＝3AF，列出方程，
用含a的式子表示出x，然后用含a的式子表示出相关线段，进而表示出△CDE与
△DEF的面积，两者相比即可得解．
【详解】解：如图，过点D、E分别作AB的垂线DG、EH交AB于点G,H
∵BF＝3AF，△BDF与△FEA的面积比为3：2，∴
∴EH＝2DG
∵∠C＝90°，BC＝2AC
∴tan∠B＝
∴BG＝2DG
设FG＝x，DG＝a，则BG＝2a，AH＝a，EH＝2a
∴AE＝ ＝ a
∵∠DFE＝90°，
∴∠DFG+∠EFH＝90°
又∵∠FEH+∠EFH＝90°
∴∠DFG＝∠FEH
又∵∠FGD＝∠EHF＝90°
∴△DFG∽△FEH
∴ ＝
∴ ＝
∴FH＝
∵BF＝3AF
∴2a+x＝3（a+ ）
整理得：x2﹣ax﹣6a2＝0
解得：x＝3a或x＝﹣2a（舍）
∴FH＝ ，BA＝4AF＝4（a+ ）＝∵∠C＝90°，BC＝2AC
∴AC：BC：AB＝1：2：
∴AC＝ ＝ ，BC＝2AC＝
由勾股定理得：DF＝ ＝ ＝ a，
EF＝ ＝ ＝
∴S ＝ DF•EF＝ × a× ＝
DEF
△
∵AC＝ ，BC＝ ，AE＝ a
CE＝AC﹣AE＝ ，CD＝CB﹣BD＝ ﹣ ＝
∴S ＝ CE•CD＝ × × ＝
CDE
△
∴S ：S ＝ ： ＝5：12
CDE DEF
△ △
故答案为：5：12．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形，三角形
面积，掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理和正切的定义是解题的关键，难点在
于如何表示出△CDE与△DEF的面积．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16小题5分，第17题7分，第18题8分，第
19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算：
【答案】4
【分析】本题考查含特殊角三角函数的混合运算，零指数幂公式，负整数指数幂公式，
去绝对值等知识，将特殊角的三角函数值代入，再运用相关运算法则计算即可．【详解】解：原式
．
17．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：
，
当 时，
原式
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜桹食、吃光盘子中的
食物，得到从中央到民众的支持，成为十大新闻热词、网络热度词汇，最知名公益品
牌之一．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡
导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生
会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成
了如图所示的不完整的统计图．(1)这次被调查的同学共有______名；
(2)把条形统计图补充完整；并求出扇形统计图中，“剩少量”对应的扇形的圆心角的
度数；
(3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人
用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
【答案】(1)1000
(2)补全图形见解析，
(3)估算该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体，熟练
掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据“没有剩”的条形统计图和扇形统计图信息即可得；
（2）先求出“剩少量”的同学的人数，再补全条形统计图即可得；利用 乘以
“剩少量”的同学所在百分比即可得；
（3）利用18000乘以200人在这次被调查的所有学生中所占百分比即可得．
【详解】（1）解：这次被调查的学生数为 （名），
（2）剩少量的人数有： （人），
则补全条形统计图如下：“剩少量”对应的扇形的圆心角是 ，
（3） （人），
答：估算该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
19．七年级某班计划购买 两款笔记本作为期中奖品．若购买3本 款的笔记本和1
本 款的笔记本需用22元；若购买2本 款的笔记本和3本 款的笔记本需用24元．
(1)每本 款的笔记本和每本 款的笔记本各多少元；
(2)该班决定购买以上两款的笔记本共40本，总费用不超过210元，那么该班最多可以
购买多少本 款的笔记本？
【答案】(1)每本 款的笔记本为6元，每本 款的笔记本为4元
(2)25本
【分析】（1）设每本 款的笔记本为 元，每本 款的笔记本为 元，根据“若购买
3本 款的笔记本和1本 款的笔记本需用22元；若购买2本 款的笔记本和3本 款
的笔记本需用24元”列出二元一次方程组，求解即可得到答案；
（2）设该班购买 本 款的笔记本，则购买 本 款的笔记本，根据“该班决
定购买以上两款的笔记本共40本，总费用不超过210元”列出不等式，解不等式即可
得到答案．
【详解】（1）解：设每本 款的笔记本为 元，每本 款的笔记本为 元，
由题意得： ，
解得： ，答：每本 款的笔记本为6元，每本 款的笔记本为4元；
（2）解：设该班购买 本 款的笔记本，则购买 本 款的笔记本，
由题意得： ，
解得： ，
答：该班最多可以购买25本 款的笔记本．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，
找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键．
20．如图， 为 的直径， 是弧 的中点， 是 上一点．
(1)请按以下步骤作图：
①连接 ；
②以点 为圆心，线段 的长为半径作弧，交弧 于点 ；
③连接 并延长到点 ，使得 ；
④连接 ， ．
(2)判断 与 的位置关系并证明．
(3)在（1）的条件下，假设点 从点 出发绕点 顺时针旋转 ，当
时，以点 为顶点的四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)相切，证明见解析
(3) 或
【分析】（1）根据题意，按照步骤作出图形即可；
（2）由作图可知： ， 是等边三角形，
，进而可得 ，得出 ，即可得证；
（3）根据题意作出图形，根据等边三角形的性质与菱形的性质即可求解旋转角 的度
数．
【详解】（1）如图；与 相切．
（2）证明：由作图可知： ，
∴ 是等边三角形， ，
又 ，
∴ ．
又
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 是 的切线，即 与 相切．
（3）连接 ，如图，
是 的中点，
，
由（2）可得， 是等边三角形，，
①当四边形 为菱形时，
，
，
即 ，
②当四边形 为菱形时，
综上所述， 的度数为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，菱
形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度
米，顶点 到底部 的距离为 米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点
在 轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一：“川”字形内部支架（由线段 构成），点 在 上，
且 ，点 在抛物线上， 均垂直于 ；
方案二：“ ”形内部支架（由线段 ， ， 构成），点 ， 在 上，
且 ，点 ， 在抛物线上， ， 均垂直于 分别是
， 的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材
料？请说明理由．
【答案】(1)(2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的解析式为
，将原点代入计算即可求解；
（2）方案一：根据 ， 米，可得 米， 米，
代入解析式可求出所需材料；方案二：根据 ， 米，可求出
米， 米， 米，代入解析式可求出所需材料；两种所需材
料进行比较即可求解；
掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵该抛物线型构件的底部宽度 米，顶点 到底部 的距
离为 米，
∴顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，将 的横纵坐标代入，
得 ，解得 ，
∴该抛物线的函数表达式为 ，即 ．
（2）解：方案二的内部支架节省材料．理由如下：
方案一：∵ ， 米，
∴ 米， 米，
当 时， ，即 米，
当 时， ，即 米，
∴方案一内部支架材料长度为 （米）；
方案二：∵ ， 米，
∴ 米， 米， 米，
当 时， ，即 米，
当 时， ，即 米，∴方案二内部支架材料长度为 （米），
∵ ，
∴方案二的内部支架节省材料．
22．如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点．
点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 方向运动，点 从点 出发，以
每秒1个单位长度的速度沿折线 向点 运动．两点同时出发，当点 到达终
点时，点 也随之停止运动．过点 作 于点 ，连接 ，以 、 为邻
边作平行四边形 ．点 的运动时间为 （秒） ．
(1)线段 的长为______；
(2)用含 的代数式表示 的长；
(3)当点 落在 的角平分线所在的直线上时，求 的值；
(4)当 与 的某条边平行或在同一条直线上时，请直接写出满足条件的 的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当点 落在 的角平分线所在的直线上时， 或 或
(4)当 或 时， 与 的某条边平行或在同一条直线上
【分析】（1）由 得出 ，根据含 的直角三角形的性质即可得
出答案；（2）由直角三角形的性质可得 ，分两种情况：当 时；当 时；分
别求解即可；
（3）分三种情况：当点 落在 的角平分线上时，延长 交 于 ；当点
落在 的角平分线上时，延长 交 于 ，延长 交 于点 ；当点 落
在 的角平分线上时，分别求解即可得出答案；
（4）分两种情况：当 与 的 边重合时；当 时，分别求解即可得
出答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解： 在 中， ， ， 为 的中点，
，
点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 向点 运动，
当 时， ， ，
当 时， ，则 ，
；
（3）解： 在 中， ， ，
，
，
是等边三角形，
，
如图，当点 落在 的角平分线上时，延长 交 于 ，
，
四边形 是平行四边形，， ，
，
，
，
点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 方向运动，
，
，
由（1）可得：当 时， ，
， ，
点 落在 的角平分线上，
，
，
，
，
解得： ；
如图，当点 落在 的角平分线上时，延长 交 于 ，延长 交 于点
，
，同理可得： ， ，
，
点 落在 的角平分线上， ，
， ，
， ，
，
，
解得： ；
如图，当点 落在 的角平分线上时，点 也落在 的角平分线上，
，
此时 ，
，
；
综上所述，当点 落在 的角平分线所在的直线上时， 或 或 ；
（4）解：如图，当 与 的 边重合时，
，
由（3）可得： ， ， ，
由（2）可得： ，，
，
解得： ；
如图，当点 到 时，
，
此时 ，
，
，
点 为 的中点，
为 的中点，
为 的中位线，
，
四边形 是平行四边形，
，
，符合题意；
如图，当点 在 上时，包括点 ， 始终与 的 边平行，
，
点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 向点 运动，
，点 的水平运动速度为 个单位长度/秒，
点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 方向运动，
点 的水平运动速度与点 的运动速度相同，
当 时， 始终存在，即 ，
当 时， ，
综上所述，当 或 时， 与 的某条边平行或在同一条直线上．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含 角的直角三角形的性质、一元一次方
程的应用、解直角三角形、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采
用分类讨论的思想是解此题的关键．
