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2024 年中考第三次模拟考试（重庆卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2024的绝对值是（ ）
1 1
A．2024 B．-2024 C． D．-
2024 2024
【答案】A
【分析】
本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】
解：-2024的绝对值是2024．
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x2 ⋅x3=x6 B．(x3) 3 =x9 C．(x+ y) 2=x2+ y2 D．2x+3x=5x2
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式的应用，熟记相关运算
法则是解题关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式分别计算即可．
【详解】解：A． x2 ⋅x3=x5，故选项错误，不合题意；
B． (x3) 3 =x9，故选项正确，符合题意；
C． (x+ y) 2=x2+2xy+ y2，故选项错误，不合题意；
D． 2x+3x=5x，故选项错误，不合题意．
故选：B
3．下列四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果沿某一条直线对折，折线两边能完全重合，则这个图形
就是轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可解答．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：选项A、B、D不是轴对称图形，选项C是轴对称图形．故选：C．
4．如图，AB∥CD，∠C=45°，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．125° C．135° D．145°
【答案】C
【分析】
本题考查了两直线平行同位角相等，熟记相关结论即可.由题意得∠2=∠C=45°，据此即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵AB∥CD，∠C=45°
∴∠2=∠C=45°
∴∠1=180°-∠2=135°
故选：C
5．估计(2√2+3√10)÷√2的值应在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
【答案】C
【分析】
此题主要考查了无理数的估算、二次根式的运算，应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，
然后判断出所求的无理数的范围，由此即可判定选择项．
【详解】解：(2√2+3√10)÷√2=2+3√5=2+√45，
∵6<√45<7，
∴8<2+√45<9，
故选C．
6．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'的面积与△ABC的面积
比是4:9，则OB':BO为（ ）A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．4:9
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，理解此定义及性质是解题关键．根
据位似的性质得△A'B'C'∽△ABC，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.
【详解】解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，，
∴△A'B'C'∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4:9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2:3，
OB' 2
∴ = ，
OB 3
故选A．
7．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子……那么，第9个
图中的棋子数是（ ）
A．27 B．30 C．35 D．38
【答案】B
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，观察题图，发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数
多3，第n个图中棋子的枚数为(3n+3)，即可判断第9个图中的棋子数．结合图形得出规律是解题的关键．
【详解】解：观察题图，
第1个图中的棋子数为：6=3×1+3，
第2个图中的棋子数为：9=3×2+3，
第3个图中的棋子数为：12=3×3+3，
第4个图中的棋子数为：15=3×4+3，
……
发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多3，
∴第n个图中的棋子数为：3n+3，
∴第9个图中的棋子数是：3×9+3=30．故选：B．
8．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=30°，OA=2，
则BD的长为（ ）
A．2√2 B．2√3 C．3√2 D．3√3
【答案】B
【分析】
根据圆的切线性质，圆的基本性质，特殊角的函数值计算选择即可．
【详解】解：连接AD，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AOC=90°-30°=60°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=4，
√3
∴BD=AB⋅sin60°=4× =2√3，
2
故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆的基本性质，特殊角的函数值，熟练掌握圆的性质和特殊角的三角
函数值是解题的关键．
9．如图：正方形ABCD中，点E、F分别是CD、CB边上的点，连接AE，DF交于点N，∠ADF的角平
分线DM交AB于M，过点M作MQ∥AE分别交DF于点H，交BC于点Q，连接DQ，若DE=CF，
∠AMG=a，则用含a的代数式表示∠DQC为（ ）
1 1 2
A．135°-a B．90°- a C．45°+ a D． a
2 2 3
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的性质等知识，
利用全等三角形的性质探究角的关系是解答的关键．先证明△ADE=△DCF(SAS)得到∠DAE=∠CDF，
进而证得∠MHN=∠DNA=90°，再证明△ADM≌△HDM(AAS)得到∠HMD=∠AMG=α，
AD=DH=DC，进而证明Rt△DHQ≌Rt△DCQ(HL)得到∠DQC=∠DQH，利用三角形的外角性质
求得∠MQC=270°-2α，进而可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，AD=CD，又DE=CF，
∴△ADE=△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADE=90°，
∴∠DNA=∠DNE=90°，
∵MQ∥AE，
∴∠MHN=∠DNA=90°，
∵DM是∠ADF的角平分线，
∴∠ADM=∠HDM，又MD=MD
∴△ADM≌△HDM(AAS)，
∴∠HMD=∠AMG=α，AD=DH=DC，
又∵DQ=DQ，∠DHQ=∠C=90°，
∴Rt△DHQ≌Rt△DCQ(HL)，
∴∠DQC=∠DQH，
∵∠BMQ=180°-∠AMG-∠HMD=180°-2α，
∴∠MQC=∠BMQ+∠ABC=180°-2α+90°=270°-2α，1
∴∠DQC= ∠MQC=135°-α，
2
故选：A．
10．已知两个实数x、y，可按如下规则进行运算：计算(x-1)(y-1)-1的结果，得到的数记为z ，称为
1
第一次操作．再从x、y、z 中任选两个数，操作一次得到的数记为z ；再从x、y、z 、z 中任选两个数，
1 2 1 2
操作一次得到的数记为z ，依次进行下去．以下结论正确的个数为（ ）
3
①若x、y为方程m2+m-4=0的两根，则z =-2；
1
②对于整数x、y，若x+ y为偶数，在操作过程中，得到的z 一定为偶数；
n
③若x=-4,y=2，要使得|z |>2024成立，则n至少为4．
n
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
本题考查新定义的实数运算和一元二次方程根与系数的关系，理解题目中的算法是解题的关键．
①先化简(x-1)(y-1)-1，根据根与系数的关系得x+ y=-1，xy=-4，即可求解；②对于整数x、y，
若x+ y为偶数，则x、y同为偶数或同为奇数，xy为偶数或奇数，计算结果可能为奇数或偶数；③先计算
z ，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，即可求解．
1
【详解】解：①x、y为方程m2+m-4=0的两根，
∴x+ y=-1，xy=-4，
∴(x-1)(y-1)-1=xy-x- y+1-1=xy-(x+ y)=-4-(-1)=-3
故说法错误；
②对于整数x、y，若x+ y为偶数，
则x、y同为偶数或同为奇数，
∴xy为偶数或奇数，
∴(x-1)(y-1)-1的结果可能为奇数或偶数，
∴得到的z 一定为偶数说法错误；
n
③若x=-4,y=2，则 z =-8+2=-6，
1
然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，
则z =(-4)×(-6)-(-4-6)=34
2
z =34×(-6)-(34-6)=-232，
3
z =-232×34-(-232+346)=-7690，
4
∵|z |>2024
4
∴要使得|z |>2024成立，则n至少为4，说法正确，
n
故选：B．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．计算： -a·a4= ．
【答案】-a5
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．根据“同底数幂相乘，
底数不变，指数相加”，即可求解．
【详解】解：-a·a4=-a1+4=-a5，
故答案为：-a5．
12．习近平总书记在二十大报告中提到：我国医疗卫生体系实现历史性跨越，基本养老保险覆盖104000万
人，数据104000用科学记数法可表示为 ．
【答案】1.04×105
【分析】本题主要考查科学记数法表示较大数的方法，掌握科学记数法的表示方法，a×10n，1≤|a|<10，
n是所有整数位数减1是解题的关键．由此即可求解．
【详解】解：104000=1.04×105，
故答案为：1.04×105．
13．在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸
出黄球的频率稳定在0.30左右，则袋子中黄球的数量可能是 个．
【答案】9
【分析】
本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量，用总数乘以概率即可得出结果．
【详解】解：∵摸出黄球的频率稳定在0.30左右，
∴摸出黄球的概率为0.30，
∴袋子中黄球的数量可能是30×0.3=9（个）；
故答案为：9．
4
14．如图，直线y=kx+3与y轴交于点A，与反比例函数y=- (x<0)图象交于点C，过点C作CB⊥x轴
x
于点B，AO=3BO，则k的值为 ．
【答案】-1
【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题．先求出点 A的坐标，然后求出BO的长，即知点C的横坐标，再将点C的横坐标代入反比例函数解析式，可求得点C的坐标，最后将点C的坐标代入一次函数
解析式，即得答案．
【详解】解：对于函数y=kx+3中，令x=0，则y=3，
∴A(0，3)，
∴OA=3，
∵AO=3BO，
∴BO=1，即点C的横坐标为-1，
4
把x=-1代入y=- ，
x
得y=4，
∴C(-1，4)，
把C(-1，4)代入y=kx+3，
得4=-k+3，
解得k=-1．
故答案为：-1．
15．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交BC于点F,连接AF,过点D作
DE⊥AF,垂足为点E，再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AF于点G，若AD=4√3,∠ADE=60∘，
则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6√3-2π
【分析】由已知条件可得出AF=AD=4√3，∠BAF=∠ADE=60°,∠AFB=∠DAE=30°，继而推出
AB=2√3,BF=6，阴影部分的面积即为三角形ABF的面积减去扇形的面积．
【详解】解：∵DE⊥AF, ∠ADE=60∘
∴∠DAE=30°
∴∠BAF=∠ADE=60°,∠AFB=∠DAE=30°
∵AF=AD=4√3
∴AB=2√3,BF=6
2
1 60×π×(2√3)
∴S = ×AB×BF- =6√3-2π．
阴 2 360
故答案为：6√3-2π．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质以及扇形的面积公式，利用已知条件推出AB、BF的值是解此题
的关键．16．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，点M在边BC上，点N在直线CD上，且M是BC
的中点，连接AM、MN，若AM=MN=2，则DN的长为 ．
15
【答案】6或
4
【分析】分两种情况：一是点N为AM与DC的延长线的交点，可证明△NCM≌△ABM，得NC=AB=3，
此时AM=MN=2，DN=6；二是点N'在CN上，且AM=M N'=2，则M N'=MN，作ME⊥CN于点E，
则EN=EN'，由勾股定理得22-EN2=
(5) 2
-(3-EN) 2 ，则EN=
9
，可求得DN'=
15
，即可解决．
2 8 4
【详解】解：当点N为AM与DC的延长线的交点时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=3，
∴∠MCN=∠B，
∵M是BC的中点，BC=5，
1 1 5
∴CM=BM= BC= ×5= ，
2 2 2
在△NCM和△ABM中，
¿，
∴△NCM≌△ABM，
∴NM=AM=2，NC=AB=3，
∴DN=CD+NC=3+3=6；
当点N'在CN上，且AM=M N'=2时，则M N'=MN，
作ME⊥CN于点E，则∠MEN=∠MEC=90°，EN=EN'，
∵M N2-EN2=CM2-CE2=M E2，且CE=3-EN，
∴22-EN2=
(5) 2
-(3-EN) 2 ，
2
9
∴EN= ，
8
9 9
∴N N'=2EN=2× = ，
8 4
9 15
∴DN'=6- = ，
4 4
15
故答案为：6或 ．
4【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、数形
结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
x+3 a
17．若关于x的不等式组¿的解集是x<1，且关于x的分式方程 + =2的解为非负数，则所有满足
x-1 1-x
条件的整数a的和为 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程解的情况求参数，解不等式组并根据
不等式组的解集为x<1，求出a≥1，根据分式方程的解为非负数求出a≤5且a≠4，最终得到1≤a≤5且
a≠4，即可得到答案．
【详解】解¿，
解不等式①得，x<1，
解不等式②得，x≤a，
∵不等式组的解集为x<1，
∴a≥1，
x+3 a
+ =2
x-1 1-x
去分母得，x+3-a=2(x-1)，
解得x=5-a，
∵分式方程的解为非负数，且x-1=5-a-1≠0，
∴5-a≥0且a≠4，
∴a≤5且a≠4，
综上可知，a的取值范围为1≤a≤5且a≠4，
∴所有满足条件的整数为1，2，3，5，
∴所有满足条件的整数a的和为1+2+3+5=11，
故答案为：11．
18．如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出
的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等：（不等于0）；且该数正中间的数字与
其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“绝对等差对称数”，例如自然数 12321，从最高位到个位依
次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且
|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一个“绝对等差对称数”，又如262，85258，…，都是
“绝对等差对称数”，若一个“绝对等差对称数”t各个数位上的数字之和记为Q(t)．已知一个五位“绝
对等差对称数”t能被4整除，且Q(t)-2也能被4整除，则t的个位数字是 ，t的最大值是 ．【答案】 2或6 67876
【分析】考查了新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，不等式的应用，解题的关键是弄清楚“阶
梯数”的定义，从而写出符合题意的数．设某五位阶梯数为a(a+k)(a+2k)(a+k)a，根据
t 11111a+1210k 2k-a
= =2778a+302k+ ，可得2k-a是4的倍数，根据Q(t)=5a+4k，则
4 4 4
5a+4k-2 a-2
=k+a+ ，可得a-2是4的倍数，可得到a=2或a=6，再分两种情况求出T的值，进一步
4 4
得到该五位“阶梯数”t的最大值即可．
【详解】解：设某五位阶梯数为 a(a+k)(a+2k)(a+k)a．
t 11111a+1210k 2k-a
∵ = =2778a+302k+ ，
4 4 4
∴2k-a是4的倍数．
∵Q(t)=5a+4k，
5a+4k-2 a-2
∴ =k+a+ ，
4 4
∴a-2是4的倍数．
∵1≤a≤9，
∴-1≤a-2≤7，
∴a-2=0或a-2=4，
∴a=2或a=6．
2k-2
当a=2时， 为整数且0≤2+2k≤9，
4
∴-1≤k≤3.5，
∴k=±1或k=3，
所以t=21012，23432，25852；
2k-6
当a=6时， 为整数且0≤6+2k≤9，
4
∴-3≤k≤1.5，
∴k=±1或k=-3，
所以t=63036，65456，67876．
所以该五位“阶梯数”t的个位数字为2或6，最大值是67876．
故答案为：2或6；67876
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
(1)(m+n) 2-m(m-2n)；(x2+1
)
x2-1
(2) -2 ÷ ．
x x
【答案】(1)4mn+n2
x-1
(2)
x+1
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）(m+n) 2-m(m-2n)
=m2+2mn+n2-m2+2mn
=4mn+n2；
(x2+1
)
x2-1
（2） -2 ÷
x x
x2-2x+1 x
= ×
x x2-1
(x-1) 2 x
= ×
x (x+1)(x-1)
x-1
= ．
x+1
【点睛】本题考查了整式、分式的混合运算，掌握完全平方公式、平方差公式是解答本题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，过点B作BE⊥AC于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，连接BF，DE，求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴__________AB∥DC．
∵BE⊥AC，DF⊥AC．
∴∠BEA=∠DFC=90°，∠BEF=∠DFE=90°．
∴_______________．
在△BAE和△DCF中：¿
∴△BAE≌△DCF(AAS)
∴_______________．
∵BE=DF，BE∥DF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
【答案】(1)作图见解析
(2)AB=CD∠BAE=∠DCFBE∥DF BE=DF
【分析】（1）利用基本作图，过D点作AC的垂线即可；
（2）先根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD所以∠BAE=∠DCF，再利用垂直的定义得到
∠BEA=∠DFC，接着证明△BAE≌△DCF，所以BE=DF，然后根据平行四边形的判定方法得到四边
形BEDF是平行四边形．
【详解】（1）过点D作AC的垂线，垂足为F，如图所示．
（2）如下图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥DC．
∴∠BAE=∠DCF．
∵BE⊥AC，DF⊥AC．
∴∠BEA=∠DFC=90°，∠BEF=∠DFE=90°．
∴ BE∥DF．
在△BAE和△DCF中：
¿
∴△BAE≌△DCF(AAS)
∴ BE=DF．
∵BE=DF，BE∥DF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题关键是熟
悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．（10分）近日，北京新中考改革政策的发布受到全社会的广泛关注，其中体育科目总分由40分提升
至70分，在中考的总分占比从6.06%大幅提升至13.2％，这一举措足以见对国家中小学体育的重视．北京
某校为了解目前九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取甲、乙两个班各10名学生进行一分钟跳绳测试，若
一分钟跳绳个数为a，根据测定标准划分等级为：0≤a<155 “不合格”， 155≤a<170 “及格”，
170≤a<185 “良好”， a≥185 “优秀”．学校对两个班学生一分钟跳绳个数相关数据收集、整理如
下：
两组样本数据的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：
班级 平均数 众数 中位数 优秀率
甲班 186 183 183 50%
乙班 186 183 b 60%
其中，乙班跳绳“优秀”的个数分别为：185，187，188，195，200，210
(1)根据图表提供的信息，a=________，b=________．
(2)根据以上数据，你认为该年级甲班与乙班哪个班的学生一分钟跳绳成绩更好？请说明理由（写出一条理
由即可）
(3)该校九年级共有学生3200人，请估计一分钟跳绳成绩为“优秀”的共有多少人？
【答案】(1)20，186
(2)乙班的学生一分钟跳绳成绩更好，理由见解析
(3)一分钟跳绳成绩为“优秀”的共有1760人
【分析】（1）先求出乙班跳绳“良好”所占百分比即可求得a的值，根据中位数定义即可求得乙班10名
学生跳绳个数的中位数，即可求得b的值；
（2）利用表格中的中位数和优秀率比较得到乙班成绩较好；
（3）用总人数3200乘以样本中两个班级总的优秀率即可．
【详解】（1）解：乙班跳绳“良好”所占百分比为1-10%-10%-60%=20%，即：a=20，
185+187
乙班10名学生跳绳个数的中位数为第5位和第6位的平均数，即：b= =186，
2
故答案位：20，186；（2）乙班的学生一分钟跳绳成绩更好，理由如下：
∵甲班和乙班的平均数和众数相同，但乙班中位数186高于甲班183，乙班优秀率60%高于甲班50%，
∴乙班的学生一分钟跳绳成绩更好；
（3）九年级一分钟跳绳成绩为“优秀”的学生人数大约为
(10×50%+10×60%
)
3200× =3200×55%=1760（人），
20
即：一分钟跳绳成绩为“优秀”的共有1760人．
【点睛】此题考查了中位数的定义，利用数据分析得到结论，计算总体中某部分的数量，能读懂统计图表
并正确分析数据是解题的关键．
22．（10分）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，亚运会吉祥物由三个机器人造型组
成，分别是宸宸、琮琮、莲莲，代表杭州的三大世界遗产．某商店购进了一批热销的吉祥物小商品，其中
“宸宸”的进货单价比“琮琮”的进货单价少2元，用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮
琮”的个数相同．
(1)“宸宸”和“琮琮”的进货单价分别是多少元？
(2)该商店计划购进“宸宸”和“琮琮”共100个，“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，
若“宸宸”和“琮琮”的销售单价分别为16元和20元，商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是
多少元？
【答案】(1)“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元
(2)商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元
【分析】
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为(x+2)元，根据用1000元购进“宸宸”的
个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同列出方程求解即可；
（2）用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同，根据利润=单价利润×销售量
求出“宸宸”和“琮琮”的利润，然后求和得到W关于m的一次函数关系式，再根据“宸宸”的个数不超
过80个，且总费用不超过1120元，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为(x+2)元，
1000 1200
由题意得， = ，
x x+2
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，
∴x+2=12，答：“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元；
（2）解：设购买“宸宸”m个，总利润为W元，则购买“琮琮”(100-m)个，
由题意得，W =(16-10)m+(20-12)(100-m)=-2m+800，
∵“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，
∴¿，
解得40≤m≤80，
∵-2<0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=40时，W最大，最大值为-2×40+800=720，
∴100-m=60
∴商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元．
23．（10分）如图，在等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，AC=5，BC=8．动点E，F同时从点C出发，
5
点E以每秒1个单位的速度沿线段CB运动．点F以每秒 个单位的速度沿折线C→A→B运动．当点E
4
到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，△ADE的面积记为y ，EF的长度记为
1
y ．
2
(1)请直接写出y 关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
1
(2)如图2，平面直角坐标系中已给出函数y 的图象，请在该坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y 的
2 1 1
一条性质；
(3)结合函数图象，估计当y = y 时t的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
1 2
【答案】(1)y =¿
1
(2)画图见解析，函数y 的性质为函数有最大值，最大值为6（答案不唯一）
1
(3)当y = y 时t的近似值为2.7和5.3
1 2
【分析】
（1）分两种情况，即E在点D的左边或右边两种情况，根据题意可得CE=1×t=t，再利用勾股定理求得
AD的长，即可解答；
（2）根据描点法画出图象即可，再根据图象写出y 的一条性质；
1（3）根据图象得到y 的解析式，根据题意列方程即可解答．
2
【详解】（1）解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC,
1
∴AB=AC=5，BD=CD= BC=4，
2
在Rt△ADC中，AD=√AC2-CD2=3，
当E在点D的左边时，此时0≤t<4，DE=CD-CE=4-t，
3×(4-t) 3
∴y = =- t+6；
1 2 2
当E在点D的右边时，此时420，得出结果即可．
【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
∵B和C的水平距离为300米，
∴BE=300米，
∵∠CBE=30°，BE 300
BC= = =200√3
∴ cos30° √3 （米）；
2
（2）解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
∵CG∥AB，
∴∠BCG=∠CBE=30°，
∵∠GCF=15°，
∴∠BCF=15°+30°=45°，
∵∠BFC=90°，
∴△BCF为等腰直角三角形，
BC 200√3
∴CF=BF= = =100√6（米），∠CBF=∠BCF=45°，
√2 √2
∴∠DBF=180°-30°-45°-45°=60°，
∵∠BFD=90°，
BF 100√6
BD= = =200√6
∴ cos60° 1 （米），
2
∵∠ABD=45°，∠BAD=90°，
√2
∴AB=BD×cos45°=200√6× =200√3（米），
2
∴小晴从A出发去山顶C所用时间为：
200√3 200√3
+ ≈20.8（分），
50 25
∵20.8>20，
∴她在6:20前不能到达山顶C处．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作 轴交直线 于点D，过点P作 轴交直线 于点E，F为y轴上一点，且满足 ，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为 ， 轴于H，
在平移后的抛物线上是否存在点R，使得 ，若存在，请直接写出R的坐标，若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 取得最大值2，此时
(3)存在， 或
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）求出直线 的解析式，由 得 ，从而 ．设
，则 ， ，表示出 ， 的长，代入
，整理后利用用二次函数的性质即可求解；
（3）先求出平移后的解析式，证明 是等腰直角三角形，然后分当 在 的左侧和当 在
的右侧两种情况求解即可．
【详解】（1）∵抛物线 与x轴交于 两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，故点D作 轴于点Q，当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴
，
∵ ，∴当 时， 取得最大值2，此时 ；
（3）∵平移后的抛物线顶点为 ，
∴平移后解析式为 ．
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
连接 ，并延长 交直线 于点K，
①当 在 的左侧时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ，点 代入，得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，解 得 ， （舍去），
∴ ．
②当 在 的右侧时
∵ ， ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
用待定系数法可求出 ．
解 得 ， （舍去），
∴ ．综上可知，R的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，等腰直角
三角形的判定与性质，二次函数的平移，相似三角形的判定与性质，数形结合是解答本题的关键．
26．（10分）如图，在锐角△ABC中，∠B=60°，AB
