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第19课时 全等三角形
1.如图,已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°,则∠DCE的度数为 ( )
A.40° B.60° C.80° D.100°
2.(2024·保定二模)如图,已知∠ACB=∠ACD,下列条件中,添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是
( )
A.AB=AD B.BC=DC
C.∠CAB=∠CAD D.∠B=∠D
3.如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且PM=HN,已知MH=3,PQ=2,则PN的长为 ( )
A.5 B.7
C.8 D.11
4.如图,工人师傅设计了一种测零件内径 AB的卡钳,卡钳交叉点 O为AA',BB'的中点,只要量出
A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间,线段最短5.(2024·张家口二模)△ABC如图所示,甲、乙两个三角形中和△ABC全等的是( )
A.只有甲 B.只有乙
C.甲和乙 D.都不是
6.如图,课本上给出了小明一个画图的过程,这个画图过程说明的事实是 ( )
A.两个三角形的两条边和夹角对应相等,这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等,这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等,这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等,这两个三角形不一定全等
7.(2024·南充)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.1.(2024·唐山三模)对于题目:如图1,在钝角三角形 ABC中,AB=5,BC=3,AC边上的中线 BD=2,求
△ABC的面积.李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法.
方法一: 方法二:
图1 图2 图3
则下列说法正确的是 ( )
A.只有方法一可行 B.只有方法二可行
C.方法一、二都可行 D.方法一、二都不可行
2.将等腰直角三角板ABC按如图的方式放置,点A在x轴的正半轴上移动,点B随之在y轴的正半
轴上移动,点C在AB的左侧,设点C的横坐标为n,则它的纵坐标为 ( )
A.n B.-n
C.√2n D.-√2n
3.新考法甲、乙两位同学玩数学游戏.游戏规则是:两人轮流对△ABC及△A'B'C'的对应边或对应
角添加一组等量条件(点A',B',C'分别是点A,B,C的对应点),某轮添加条件后,若能判定△ABC与
△A'B'C'全等,则当轮添加条件者失败,另一人获胜.
轮次 行动者 添加条件
1 甲 AB=A'B'=2 cm
2 乙 ∠A=∠A'=35°
3 甲 …
表格记录了两人游戏的部分过程,下列说法正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
①若第3轮甲添加∠C=∠C'=45°,则甲获胜;
②若第3轮甲添加BC=B'C'=3 cm,则甲获胜;
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A'=90°,则乙获胜;
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C'=3 cm,则此游戏最多4轮必分胜负.
4.(2024·石家庄模拟)小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图1的测量方案:先在池塘外的空地上任取一点 O,连接AO,CO,并分别延长至点B,点D,使OB=OA,OD=OC,连
接BD,
图1 图2 备用图
(1)如图1,求证:AC=BD.
(2)如图 2,但在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施:延长 CO 至点 D,使
OC=OD,过点D作AC的平行线DE,延长AO至点F,连接EF,测得∠DEF=120°,∠OFE=90°,DE=5
m,EF=
D9 m,请求出池塘宽度AC.【详解答案】
基础夯实
1.C 解析:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°-60°-40°=80°,
∵△ABC≌△DEC,∴∠DCE=∠ACB=80°.故选C.
2.A 解析:A.∵AB=AD,AC=AC,∠ACB=∠ACD,∴不能证明△ABC≌△ADC,故该选项是符合题意的;
B.∵BC=DC,∠ACB=∠ACD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),故该选项是不符合题意的;
C.∵∠CAB=∠CAD,AC=AC,∠ACB=∠ACD,∴△ABC≌△ADC(ASA),故该选项是不符合题意的;
D.∵∠B=∠D,∠ACB=∠ACD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(AAS),故该选项是不符合题意的.故选A.
3.B 解析:∵H是高MQ和NR的交点,
∴∠P+∠PMQ=90°,∠PMQ+∠RHM=90°,∠QHN+∠HNQ=90°,
∵∠RHM=∠QHN,
∴∠P=∠QHN,
{
∠P=∠QHN,
在△PMQ和△HNQ中, ∠PQM=∠HQN=90°,
PM=HN,
∴△PMQ≌△HNQ(AAS),
∴PQ=HQ,MQ=QN,
∵MH=3,PQ=2,
∴MQ=NQ=MH+HQ=MH+PQ=3+2=5,
∴PN=PQ+QN=2+5=7.故选B.
4.A 解析:∵点O为AA',BB'的中点,
∴OA=OA',OB=OB',
由对顶角相等得∠AOB=∠A'OB',
{
OA=OA',
在△AOB和△A'OB'中, ∠AOB=∠A'OB',
OB=OB',
∴△AOB≌△A'OB'(SAS),
∴AB=A'B',
即只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.故选A.
5.B 解析:甲的边a,c的夹角和△ABC的边a,c的夹角不对应,故甲三角形与△ABC不全等;乙的角50°,70°和边
b与△ABC的角50°,70°和边b对应,故可利用“角边角”证明乙三角形与△ABC全等.故选B.
6.C 解析:根据作图可知:两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等,其中角的对边不确定,可能有两种情况,故三角形不能确定,所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等,这两个三角形不一定全等.故选C.
7.证明:(1)∵点D为BC的中点,
∴BD=CD,
∵BE∥AC,
∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD,
{∠EBD=∠C,
在△BDE和△CDA中, ∠E=∠CAD,
BD=CD,
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)∵点D为BC的中点,AD⊥BC,
∴直线AD为线段BC的垂直平分线,
∴BA=CA,
由(1)可知:△BDE≌△CDA,
∴BE=CA,
∴BA=BE.
能力提升
1.C 解析:方法一:如题图2,延长BD到点E,使ED=BD=2,连接AE,EC,则BE=2BD=4,
∵BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,
∴AD=CD,
{
ED=BD,
在△EAD和△BCD中, ∠ADE=∠CDB,
AD=CD,
∴△EAD≌△BCD(SAS),
∴EA=BC=3,S =S ,
△EAD △BCD
∴EA2+BE2=32+42=52=AB2,
∴△AEB是直角三角形,且∠AEB=90°,
1 1
∴S =S +S =S +S =S = EA·BE= ×3×4=6.
△ABC △BAD △BCD △BAD △EAD △AEB 2 2
方法二:如题图3,延长CB到点F,使FB=BC=3,连接AF,
∵BD是△ABC的中线,AB=5,BD=2,
∴AD=DC,
∴DB是△AFC的中位线,
∴FA=2BD=4,
∴FB2+FA2=32+42=52=AB2,∴△ABF是直角三角形,且∠F=90°,
1 1
∴S =S = FB·FA= ×3×4=6.
△ABC △ABF 2 2
∴方法一、二都可行.故选C.
2.B 解析:如图,过点C作CD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E,
则∠CEB=∠CDA=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴BC=AC,∠BCA=90°,
∴∠BCE+∠ECA=90°,
又∵∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠CBE=∠ECA,
∵CE∥DA,
∴∠ECA=∠CAD,
∴∠CBE=∠CAD,
{∠CEB=∠CDA,
在△CBE和△CAD中, ∠CBE=∠CAD,
BC=AC,
∴△CBE≌△CAD(AAS),
∴CE=CD,
∵点C的横坐标为n,
∴点C的纵坐标为-n.
故选B.
3.②③④ 解析:①若第3轮甲添加∠C=∠C'=45°,可根据角角边判定△ABC与△A'B'C'全等,则乙获胜,不符合
题意;
②若第3轮甲添加BC=B'C'=3 cm,满足边边角,不能判定△ABC与△A'B'C'全等,则甲获胜,正确,符合题意;
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A'=90°,
若第3轮甲添加一组边相等,可根据边角边或斜边直角边判定△ABC与△A'B'C'全等,则乙获胜,
若第3轮甲添加一组角相等,可根据角角边或角边角判定△ABC与△A'B'C'全等,则乙获胜,
故乙必胜,故本说法正确,符合题意;
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C'=3 cm,第3轮甲只能添加∠A=∠A'或∠C=∠C'其中之一,此时已有边边角.无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角
相等,都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等,则乙必输,甲必胜.所以最多4轮必分胜负,本说法正确,符
合题意.
{
OA=OB,
4.解:(1)证明:在△OAC和△OBD中, ∠AOC=∠BOD,
OC=OD,
∴△OAC≌△OBD(SAS),
∴AC=BD.
(2)如图,延长DE,与AF的延长线交于点B,
∵DE∥AC,
∴∠C=∠D,
{
∠C=∠D,
在△OAC和△OBD中, OC=OD,
∠AOC=∠BOD,
∴△OAC≌△OBD(ASA),
∴AC=BD,
∵∠DEF=120°,∠OFE=90°,
∴∠BFE=90°,∠BEF=60°,
∴∠B=30°,
∵EF=9 m,
∴BE=2EF=18 m,
∵DE=5 m,
∴BD=BE+DE=23 m,
∴AC=23 m,
故池塘宽度AC为23 m.
