文档内容
考前突破 03 函数的实际应用（4 大必考题型）
题型一：分段函数的应用问题
题型二：费用最少、利润最大问题
题型三：方案选择问题
题型四：抛物线型应用问题
题型一：分段函数的应用问题
【中考母题学方法】
1．（2023·江苏无锡·中考真题）某景区旅游商店以 元 的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价
格不低于 元 ，不高于 元 ，经市场调查发现每天的销售量 与销售价格 （元 ）之间的
函数关系如图所示．
(1)求 关于 的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售
利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【答案】(1)
(2)销售价格为 元 时，利润最大为
【分析】（1）分 时，当 时，分别待定系数法求解析式即可求解；（2）设利润为 ，根据题意当 时，得出 ，当 时，
，
进而根据分 时，当 时，分别求得最大值，即可求解．
【详解】（1）当 时，设 关于 的函数表达式为 ，将点 代入得，
∴
解得：
∴ ，
当 时，设 关于 的函数表达式为 ，将点 代入得，
解得：
∴ ，
（2）设利润为
当 时，
∵在 范围内， 随着 的增大而增大，
当 时， 取得最大值为 ；
当 时，
∴当 时，w取得最大值为，
当销售价格为 元 时，利润最大为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
2．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为 元/千克．销售部门规定：一次性销售 千
克以内时，以 元/千克的价格销售；一次性销售不低于 千克时，每增加 千克降价 元．考虑到降
价对利润的影响，一次性销售不低于 千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润 （元）与一
次性销售量 （千克）的函数关系如图所示．
(1)当一次性销售 千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在 之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为 元？
【答案】(1)当一次性销售 千克时，利润为 元；
(2)一次性销售量在 之间时的最大利润为 元；
(3)当一次性销售为 或 或 千克时，利润为 元．
【分析】（ ）用销售量 利润计算即可；
（ ）根据一次性销售不低于 千克时，每增加 千克降价 元求出每千克利润，再乘以销售量即可
列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（ ）分一次性销售量在 之间和一次性销售不低于 千克两种情况列方程求解即可；
本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，
当 时， ，
∴当一次性销售 千克时，利润为 元；（2）解：设一次性销售量在 之间时，
每千克利润为 ，
∴ ，
，
，
，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴一次性销售量在 之间时的最大利润为 元；
（3）解：当 时，
，
∴ ，
当一次性销售量在 之间时，
由题意得， ，
解得 ；
当一次性销售不低于 千克时，
每千克利润为 元，
由题意得， ，
解得 ；
∴当一次性销售为 或 或 千克时，利润为 元．
3．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家 ，文化
广场离家 ．张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，在画社停留了 ，之后匀速骑行了
到文化广场，在文化广场停留 后，再匀速步行了 返回家．下面图中 表示时间， 表示
离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ；
③当 时，请直接写出张华离家的距离 关于时间 的函数解析式；
(2)当张华离开家 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 直接到达了文化广场，那么从画社到文
化广场的途中 两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1) ； 0.075； 当 时， ；当 时， ；当
① ② ③
时，
(2)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题
意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③分段求解， ，可得出 ，当 时， ；当 时，设一次函数解析式
为： ，把 ， 代入 ，用待定系数法求解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家 ，则 ，当两人相遇时有
，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．【详解】（1）解：①画社离家 ，张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，
∴张华的骑行速度为 ，
∴张华离家 时，张华离家 ，
张华离家 时，还在画社，故此时张华离家还是 ，
张华离家 时，在文化广场，故此时张华离家还是 ．
故答案为： .
② ,
故答案为： ．
③当 时，张华的匀速骑行速度为 ，
∴ ；
当 时， ；
当 时，设一次函数解析式为： ，
把 ， 代入 ，可得出：
，
解得： ，
∴ ，
综上：当 时， ，当 时， ，当 时， ．
（2）张华爸爸的速度为： ，
设张华爸爸距家 ，则 ，
当两人从画社到文化广场的途中 两人相遇时，有 ，
解得： ，∴ ，
故从画社到文化广场的途中 两人相遇时离家的距离是 ．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速
度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人
机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机
按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速
度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间
的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1) ______米/秒， ______秒；
(2)求线段 所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)
【答案】(1)8，20
(2) ；
(3)2秒或10秒或16秒．
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为 秒，得到 ，利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段 、线段 、线段 所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，
列式计算即可求解
【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为 米/秒，
，
故答案为：8，20；
（2）解：由图象知， ，∵甲无人机的速度为8米/秒，
甲无人机匀速从0米到96米所用时间为 秒，
甲无人机单独表演所用时间为 秒，
∴ 秒，
∴ ，
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
∴线段 所在直线的函数解析式为 ；
（3）解：由题意 ， ，
同理线段 所在直线的函数解析式为 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ，
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
当 时，由题意得 ，
解得 或 （舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距 的A、B两地同时出发，甲货车
从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，
但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、
乙两货车距A地的距离 与行驶时间 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离 与行驶时间 之间的函数
解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2) 的函数解析式是
(3)经过1.5h或 或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数
图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为 ，所用时间为 ，乙货车到达配货站路程为 ，
到达后返回，所用时间为 ，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知
和点 ，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，
半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是 （ ）
∴乙货车到达配货站路程为 ，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路
程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度 ，
故答案为：30；40
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知 和点
设
∴
解得： ，
∴甲货车距A地的距离 与行驶时间 之间的函数解析式
（3）设甲货车出发 ，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前： ，
解得： ,
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站： ，
解得： ，
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时： ，
解得： ，
答：经过 或 或 甲、乙两货车与配货站的距离相等．
6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到
C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小时到达目
的地．甲、乙两车之间的路程 与两车行驶时间 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____ ，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【答案】(1)70，300
(2)
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题
的关键．
（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B
地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，甲车 小时行驶的路程为 ，
甲车行驶的速度是 ，
∴A、C两地的距离为： ，故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为 ， ，
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
则 ，
解得 ，
线段 所在直线的函数解析式为 ；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为： ，
乙车行驶的速度为： ，
C、B两地的距离为： ，
A、B两地的距离为： ，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得 ；
当甲乙相遇后时：，
解得 ；
综上可知，两车出发 或 时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【中考模拟即学即练】
7．（2024·福建龙岩·模拟预测）上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的
16个重点工程项目之一，该项目全长 米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计
论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计
数据为 ，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间
距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），
桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．
(1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；
(2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据： ）
【答案】(1)见解析，
(2)需32根吊杆
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意．
（1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为 轴，建立直角坐标系．得出 ，
，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出点 的纵坐标为15，结合（1）将 代入即可求出 ，
即可解答；
【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为 轴，建立直角坐标系．则有另一桥墩 ，拱桥顶点 ，桥面 ，
设桥拱抛物线解析式为 ，
把点 坐标代入求得 ，
所以拱桥抛物线的解析式为 ．
（2）解：因桥面距离水面15米，所以点 的纵坐标为15，
当 时， ，
解得 ，
，
所以， ，
∴ ，
∵ ，
故单侧需32根吊杆．
8．（2024·江西·模拟预测）弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏
成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度
为 的点 处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面 时，弹球与甲的水平距离为 ．弹球在
处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点 处．(1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出 的取值范围）
(2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点 的距离．
(3)如果摆放一个底面半径为 ，高 的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点 ，那么甲能投球成功吗？
【答案】(1)
(2)
(3)不能
【分析】（ ）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解；
（ ）利用第一次着地前抛物线的解析式求出点 坐标，再用同（ ）法求得第二段抛物线的解析式，求出
它的对称轴，利用对称性求出点 的坐标，进而即可求解；
（ ）把 代入第二段抛物线的解析式求出 的值即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为 ，
故可设抛物线的解析式为 ，
将 代入得， ，
∴弹球第一次着地前抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
由从点 弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为 ，故可设该抛
物线的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得 (不合，舍去)， ，∴ ，且对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，
∴弹球第二次着地点到点 的距离为 ；
（3）解：当 时， ，
∴甲不能投球成功．
9．（2024·贵州安顺·二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点 ，运动员
（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处
点 ，正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，
否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，人水点恰好距点 的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失
误？请通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点 的正前方 ， 两点，且 ， ，该运动员入水后运动路线对应
的抛物线解析式为 ，且顶点 距水面4米．若该运动员的出水点 在 之间（含 ，
两点），求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析；
(3)点 在 之间得 的取值范围为 ．
【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）依据题意，当距点 水平距离为5时，对应的横坐标为 ，将 代入解析式求出 后即
可判断得解；
（3）根据题意得到，点 ， ， ， ， ，当抛物线过点 时，
，分情况求出 值，进而根据点 在 之间即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意， 抛物线的顶点 ，
可设抛物线的解析式为 ，
把 代入解析式得 ，
．
抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意，当距点 水平距离为5时，对应的横坐标为 ．
将 代入解析式，
，
，
该运动员此次跳水失误了；
（3）解： ， ，点 的坐标为 ，
点 ， 的坐标分别为 ， ．
令 ，则 ．
解得： （舍去）， ，
入水处 点的坐标为 ．
该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 ，
当抛物线过点 时， ，
把 代入，得 ，同理，当抛物线过点 时， ，
由点 在 之间得 的取值范围为 ．
10．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的
出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，
y与x满足关系式为： ．
(1)小强第几天生产的产品数量为200件？
(2)设第 天每件产品的成本价为 元， （元）与 （天）之间的函数关系图象如图所示，求 与 之间的
函数关系式；
(3)设小强第 天创造的利润为 元．
①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？
②若第①题中第 天利润达到最大值，若要使第 天的利润比第 天的利润至少多124元，则第
天每件产品至少应提价几元？
【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件
(2) 与 之间的函数关系式为：
(3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一
次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
（1）把 代入 ，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本 与x之间的关系即可；
（3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减
性和二次函数的增减性解答；②根据①得出 ，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可
【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时， ，
故： ，解得：
答：小强第10天生产的产品数量为200件．
（2）由图象得，①当 时， ．
②当 时，设 ，
由题意可得 ，
解得： ，
．
综上可得， 与 之间的函数关系式为： ；
（3）①当 时， ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 有最大值为： （元）；
当 时， ，
，
随 的增大而增大，
故当 时， 有最大值为 （元）．
当 时，
．
当 时， 有最大值，最大值为576（元）综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元．
②由①可知， ，
设第15天提价 元，则第15天的利润为： ，
由题意得： ，
解得： ，
答：第15天每件产品至少应提价0.5元．
11．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进 两种型号的电脑，已知每台电脑的进价 型比 型
多 元，用 万元购进 型电脑和用 万购进 型电脑的数量相同．
(1) 两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新， 型号电脑升级为 型号，该商城计划一次性购进 两种型号电脑共 台，
型号电脑的每台售价 元．经市场调研发现，销售 型号电脑所获利润 (万元)与 销售量 台(
)，如图所示，AB为线段， 为抛物线一部分 ( )．若这两种电
脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润 销售总价 总进价)
【答案】(1) 型电脑每台进价 元， 型电脑每台进价 元
(2) 型电脑总共购进 台， 型电脑总共购进 台
【分析】（ ）设 型电脑每台进价 元，则 型电脑每台进价 元，根据题意列出方程即可求解；
（ ）由题意可得 型电脑购进 台 ， 型电脑购进 台，即得 型电脑的利润为 万
元，再根据函数图象可得 ，设总利润为 万 元，可分别求出
时 ， 时 ，进而即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解
题的关键．
【详解】（1）解：设 型电脑每台进价 元，则 型电脑每台进价 元，
根据题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，符合题意，
∴ ，
答： 型电脑每台进价 元， 型电脑每台进价 元；
（2）解：∵ 销售量 台，
∴ 型电脑购进 台 ，
∴ 型电脑购进 台，
∴ 型电脑的利润为 万元，
由图象可知，当 时， 与 的函数解析式为 ，
把 代入得， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
解得 ，∴ ，
∴ ，
设总利润为 万 元，
当 时，总利润 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值， (万元)；
当 时，总利润 ，
∵ ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 有最大值， (万元)；
∵ ，
∴ 型电脑总共购进 台， 型电脑总共购进 台时，利润最大．
题型二：费用最少、利润最大问题
【中考母题学方法】
1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网
红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加
工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成
本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
数量（支）
次数 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一 3000 4000 17000次
第二
4000 3000 18000
次
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支
的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．
在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串
降价a（ ）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
【答案】(1) 的值为3， 的值为2
(2)
(3)0.5
【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出 、 的值；
（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润 每支利润 数量”分别列出代数式即可求出 与 的函
数关系式，注意写出自变量 的取值范围；
（3）设降价后获得肉串的总利润为 元，令 ，先根据题意列出 关于 的关系式，再写出 关于
的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．
【详解】（1）解：根据表格可得： ，
解得： ，
∴ 的值为3， 的值为2；
（2）当 时，店主获得海鲜串的总利润 ；
当 时，店主获得海鲜串的总利润 ；∴ ；
（3）设降价后获得肉串的总利润为 元，令 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 随 的增大而减小，
当 时， 的值最小，
由题意可得： ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ 的最大值是0.5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解
决问题的关键．
2．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、
乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
每天施工面积（单位：
工程队 每天施工费用（单位：元）
）
甲 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于 ．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等列出分式方程
解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工 天，体育中心共支付施工费用 元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再
由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于 列出不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意列方程，得 ．
方程两边乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工 天，体育中心共支付施工费用 元．
则 ．
，
．
1400>0，
随 的增大而增大．
当 时， 取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点
是解题的关键．
3．（2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资
金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采
购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台
B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种
品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲
合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1) 、 型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2)
(3) 型30台， 型120台，最大利润是570元．
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由
关系式求出最大利润．
【详解】（1）设 、 型品牌小电器每台的进价分别为 元、 元，根据题意得：
，解得： ，
答： 、 型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进 型品牌小电器 台
由题意得： ，
解得 ，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围 ．
（3）设获利为 元，由题意得： ，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴
解得：
∴
随 的增大而减小，当 台时获利最大， 最大 元，
答： 型30台， 型120台，最大利润是570元．
【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，
搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
4．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模
型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购
买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，
且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?
最少花费是多少元?
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是 元，B型编程机器人模型单价是 元，根据：用2000
元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并
检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型 台，购买A型和B型编程机器人模型共花费 元，根据题意可求出m
的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是 元，B型编程机器人模型单价是 元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验， 是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型 台，购买B型编程机器人模型 台，购买A型和B型编程机器人
模型共花费 元，
由题意得： ，解得 ．∴
即 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大．
∴当 时， 取得最小值11200，此时 ；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相
等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
5．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为
的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为 ， ， 的长方体无盖木盒，如图1．现
有200张规格为 的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材
损耗忽略不计．
(1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种
方式切割的木板材__________张；
(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，
乙两种方式切割的木板材张数；
(3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．
根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为 元，两种木盒的销售单
价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒
的销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1) ，(2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50
张
(3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利
润为1750元
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为 的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽
均为 的木板1个，长为10cm、宽为 的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为 的木板4个，
乙种方式可切割长为10cm、宽为 的木板8个；列关系式求解即可；
（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒 个；
∵有200张规格为 的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材 张；
故答案为： ， ．
（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出 个长、宽均为 的木板，
使用乙种方式切割的木板材 张，则可切割出 个长为 、宽为 的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为 的木板 个，
制作B种木盒 个，则需要长、宽均为 的木板 个，需要长为 、宽为 的木板
个；
故
解得： ，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种
方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为 （元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
即 ，
解得： ，
故 的取值范围为 ；
设利润为 ，则 ，
整理得： ，
∵ ，故 随 的增大而增大，
故当 时， 有最大值，最大值为 ，
则此时B种木盒的销售单价定为 （元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利
润为1750元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应
用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．
6．（2023·内蒙古·中考真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫
地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该
产品2022年第 （ 为整数）个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关系如图所示（图中
为一折线）．
(1)当 时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台），m与 的关系可以用 来描述，求
哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格 销售数量）
【答案】(1)
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据销售收入 每台的销售价格 销售数量求得销售收入为 万元与销售月份 之间的函数关系，再
利用函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当 时，设每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
∵图象过 两点，
，解得
∴当 时，每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
（2）设销售收入为 万元，
①当 时， ，
，当 时， （万元）．
②当 时， ，
，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， （万元）．
，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关
系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村
村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）
和每袋售价x（元）记录如下：时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利
润 销售额 成本）
【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为
(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为 （ ）代入数据，利用待定系数
法即可求解；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为 袋，成本为 ，总利润为W元，根据销
售利润 销售每袋土特产的利润 每日的销售量，得到 与 的函数关系式，再根据二次函数的性质求解
即可．
【详解】（1）解：设 （ ）
将 ， 代入 ，
得
解得 ，
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为 ；
（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为 袋，成本为 ，总利润为W元，
（ ），
当 时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
8．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：
件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多
少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为
(2)当销售单价为 元时，商场获得利润最大，最大利润是 元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，函数经过 ， ，可以
利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售
单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为 ，写出 关于 的二次函数解析式，根据二次函数
的增减性和 的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，
由图象可知，函数经过 ， ，
可得 ，解得 ，
这段时间内y与x之间的函数解析式为 ；
（2）解： 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，， ，
即 ，解得 ，
设获得利润为 ，即 ，
对称轴 ，
，即二次函数开口向下， 的取值范围是 ，
在 范围内， 随着 的增大而增大，
即当销售单价 时，获得利润 有最大值，
最大利润 元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
9．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日
销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】(1)
(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
(3)2
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数
的性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为 ，
把 ， ； ， 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x的函数表达式为 ；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴ ，
化简得解得 ，
当 时， ,
则每盒的利润为： ,舍去，
∴m的值为2．
10．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共
享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元
时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，
但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】(1) ，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元
(2)这天售出了64辆轮椅
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令 ，得到关于 的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时，每天的利润最大，为 元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元；
（2）当 时， ，解得： （不合题意，舍去）；
∴ （辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
【中考模拟即学即练】
11．（2025·湖北黄石·一模）某商家购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月
内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量
相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件．若按照这个规律，则当单价提高x
元时，销售量m（件）与x的关系如下表：
单价（元/件） 销售量（件）
提高1元 31 380
提高2元 32 360
… … …
提高x元
(1)求销售量m（件）与x之间的函数关系式；
(2)求销售利润y（元）与x之间的函数关系式；
(3)若限定每月的销售量在320件到460件之间（可以包括320件或460件），则如何定价，才能获得最大
销售利润？最大销售利润是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)当定价为24元时，y有最大值4480，此时单价为34元
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题公式：销售利润 单件利润 销售
量．
（1）根据题意销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应
增加20件，即可写出 与x的函数关系式；
（2）根据销售问题公式：销售利润 单件利润 销售量即可列出二次函数解析式；
（3）根据（2）所列函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可以得出销售量m（件）与x之间的函数关系式为 ；（2）解：由题意可以得出销售利润y（元）与x之间的函数关系式为：
；
（3）解：由（2）得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，抛物线开口向下，当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值4480，此时单价为34元
12．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批
成本价为每千克 元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克10元的价格销售．当每千克售价为 元时，
每天售出荔枝 ；当每千克售价为 元时，每天售出荔枝 ，通过分析销售数据发现：每天销售
荔枝的数量 与每千克售价 (元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出 与 的函数关系式；
(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到 元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1) ；
(2)每千克售价定为 元时，利润可达到 元；
(3)当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为 元．
【分析】（1）该函数经过点 ， ，利用待定系数法求出 与 的函数关系式即可；
（2）设超市将该荔枝每千克售价定为 元每千克时，利润最大，根据利润 销量 单件利润，列出关于
的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去；
（3）设利润为 ，可以列出 关于 的函数解析式为 ，根据二次函数的图象与性
质可知抛物线开口向下，对称轴为 ，可知当 时，所获得的利润最大，把 代入函数解析式
求出最大利润．
【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点 ， ，设 与 的函数关系式为 ，
将 代入 ，
得到： ，
解得： ，
与 的函数关系式为 ；
（2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为 元每千克时，利润最大，
根据题意可得： ，
，
整理得： ，
分解因式得： ，
解得： ， ，
售价不低于成本价且不超过每千克10元，
每千克售价定为 元时，利润可达到 元；
（3）解：设利润为 ，
，
函数开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，
，
当 时， 有最大值，此时 ，
当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为 元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、
一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润．
13．（2025·广西柳州·一模）某店销售某种进价为40元 的产品，已知该店按60元 出售时，每天可
售出 ，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加 ．
(1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低 元，则每天的销售量是______千克；
（用含 的代数式表示）
(2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？
(3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1) ；
(2)应降价2元或8元
(3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，
列出关系式．
（1）根据每天可售出 ，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加 ，列
出代数式或算式即可；
（2）根据每天获利2160元，列出方程，解方程即可；
（3）设利润为w元，单价降低 元，根据总利润 单个的利润 销售量，列出二次函数解析式，然后求最
大值即可．
【详解】（1）解：若单价降低2元，则每天的销售量是 （千克），
若单价降低 元，则每天的销售量是 千克；
（2）解：设单价应降价 元，依题意得：
，
整理得： ，解得 ， ，
答：单价应降价2元或8元；
（3）解：设利润为w元，单价降低 元，
，
，
w有最大值，
当 时，w的最大值是2250，
答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．
14．（2025·山西长治·模拟预测）山药是山中之药、食中之药，有“神仙之食”的美名，为方便人们使用，
现在很多企业将山药加工成山药粉进行销售，小李想要购进一批山药粉，了解到某品牌山药粉有罐装
和盒装 两种规格，每件盒装山药粉的价格是每件罐装山药粉价格的 ，用 元购买盒装山
药粉的数量比用 元购买罐装山药粉的数量多6件．
(1)求该品牌罐装山药粉和盒装山药粉的单价．
(2)小李打算购买该品牌罐装山药粉和盒装山药粉共 件进行销售，且购买盒装山药粉的数量不超过罐装
山药粉数量的3倍，求最低的购买费用．
【答案】(1)每件罐装山药粉价格是 元，则每件盒装山药粉的价格是 元；
(2) 元．
【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用．
（1）设每件罐装山药粉价格是 元，则每件盒装山药粉的价格是 元，用 元购买盒装山药粉的数量
比用 元购买罐装山药粉的数量多6件．据此列方程并解方程即可；
（2）设购买该品牌罐装山药粉为 件，则购买该品牌盒装山药粉 件，设购买费用为 元，根据
总费用列出函数解析式，购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，据此列不等式并解不等式
求出 的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设每件罐装山药粉价格是 元，则每件盒装山药粉的价格是 元，则
解得，
经检验 是分式方程的解且符合题意，
则 ， ，
答：每件罐装山药粉价格是 元，则每件盒装山药粉的价格是 元；
（2）设购买该品牌罐装山药粉为 件，则购买该品牌盒装山药粉 件，设购买费用为 元，
则 ，
由题意可得， ，
解得 ，
∵ ，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当 时， 的最小值为 ．
即最低的购买费用为 元．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其
历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，
素
计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．
材
1 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门
单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素
材 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
2
素
材 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
3
问题解决
任
务 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
1
任
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______
务 拟订设计方案
个，乙部门工作时间可表示为______天；
2②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时
该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务
2：① ， ；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工
资最少，最少需要97200元．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）设乙部门每天能生成 个壮锦手提包，依题意，列式得 ，注意经检验 是方程
的解，即可作答．
（2）设甲部门工作 天，则乙部门的工作时间为 （天）．再依题意，得出
，解出 ，根据利润公式得出 ，运用一次函数的性质，进行分析作
答即可．
【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包 个，乙部门工作时间可表示为
天，
故答案为： ， ；
②由题意得： ，
解得： ，
设该公司支付的总工资为y元，由题意得： ，
，
随m的增大而减小，
当 时，y有最小值，
此时， ，
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要
97200元．
16．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百
余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种
香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种
香料共需220元．
(1)求A，B两种香料的单价；
(2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B
两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元
(2)购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根
据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键．
（1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料 千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得
，再列出函数关系式 ，然后根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，
根据题意得： ，解得： ．
答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元．
（2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料 千克，总费用为w元．
由题意可得: ，
,由题意可得 ,
,
， ．
答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元．
17．（2024·广东广州·模拟预测） 年4月 日 点 分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射
升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款
文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多 元，用 元购进A款和用 元购进B款的文化衫的数
量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有 人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应
如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
【答案】(1)B款文化衫每件 元，A款文化衫每件 元
(2)购买A款文化衫 件，B款文化衫 件，费用最低，为 元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准
等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式．
（1）设B款文化衫每件 元，则A款文化衫每件 元，依题意得， ，计算求解，然后作
答即可；
（2）设购买A款文化衫 件，则B款文化衫 件，费用为 元，依题意得， ，可求
，由题意知， ，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】（1）解：设B款文化衫每件 元，则A款文化衫每件 元，
依题意得， ，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合要求；
∴ ，
∴B款文化衫每件 元，A款文化衫每件 元；（2）解：设购买A款文化衫 件，则B款文化衫 件，费用为 元，
依题意得， ，
解得， ，
由题意知， ，
∵ ，
∴当 时，费用最低为 （元），
∴购买A款文化衫 件，B款文化衫 件，费用最低，为 元．
18．（2024·湖南·二模）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推
出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进
10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其
中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获
得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元
(2)① ；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关
系列出函数解析式和方程组．
（1）设每个神舟模型的成本为 元，每个天宫模型的成本为 元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）①购进的神舟模型为 个，则购进的天宫模型为 个，然后表示出 ；
②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到 ，然后根据一次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）设每个神舟模型的成本为 元，每个天宫模型的成本为 元．
依题意，得 解得答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元．
（2）① 购进的神舟模型为 个，则购进的天宫模型为 个．
，
即 ．
② 购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，
，解得 ．
随 的增大而增大， 为整数，
当 时， （元）．
答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元．
题型三：方案选择问题
【中考母题学方法】
1．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
A 免费
B 108 免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计
费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【答案】(1)见解析；
(2)选方式B计费，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为 、 ，分别计算 三个不同
范围内的A、B两种方式的计费金额即可；
（2）令 ，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；（3）令 ，求出此时 的值 ，当主叫时间 时，方式A省钱；当主叫时间 时，方式A和B
一样；当主叫时间 时，方式B省钱；
【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为 、
当 时，方式A的计费金额为 元，方式B的计费金额为108元；
方式A的计费金额 ，方式B的计费金额为108元；
当 时，方式A的计费金额为 ，方式B的计费金额为
总结如下表：
主叫时间 /分钟 方式A计费( ) 方式B计费( )
78 108
108
（2）解：当 时，
，故选方式B计费．
（3）解：令 ，有 解得
∴当 时，方式A更省钱；
当 时，方式A和B金额一样；
当 时，方式B更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计
划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，
则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校
在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
(2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老
师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要
保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于 辆，即可解答；
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车 辆，列出不等式组，解得 ，设租车费用为y元，
得出 ，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
，
解得： ，
∴ ，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
∴汽车总数不少于 （辆），则汽车总数最少为6辆，
∴共需租车6辆，
故答案为：6．（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车 辆，
，
解得： ，
∵a为整数，
∴ 或 ，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
，
∵ ，
∴y随a的增大而增大，
∴当 时，y最小， ，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，
解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
3．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒
黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有 型和 型两种车型，若购买 型公交车 辆， 型公交车
辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元．
(1)求购买 型和 型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的 型和 型新能源公交车每辆年均载客量分别为 万人次和 万人次．公司准
备购买10辆 型、 型两种新能源公交车，总费用不超过 万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
(2)方案为购买 型公交车 辆， 型公交车 辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为 万人．
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的
数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买 型公交车每辆需 万元，购买 型公交车每辆需 万元，根据“购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元”列出方程组解决问
题即可；
（2）设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，由“公司准备购买10辆 型、 型两种新能源公
交车，总费用不超过 万元”列出不等式求得 的取值，再求出线路的年均载客总量为 与 的关系式，
根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元，
由题意得： ，
解得 ，
答：购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
（2）解：设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，该线路的年均载客总量为 万人，
由题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ ， ，10；
∴线路的年均载客总量为 与 的关系式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为 （万人次）
∴ （辆）
∴购买方案为购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
【中考模拟即学即练】
4．（2024·陕西西安·模拟预测）国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新
能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费
（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)设租车时间为x小时 ，租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为 元，
分别求出 ， 关于x的函数关系式；
(2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
【答案】(1) ，
(2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间
大于5小时，选择甲公司合算
【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
（1）根据两家公司的费用计算方法求解即可；
（2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况： ， ， ，分别求出对应x的值可判断哪
个方案合算．
【详解】（1）解：根据题意， ，
当 时， ，
∴ ， ；
（2）解： 时， ，选择乙公司比较合算，
时， ，选择乙公司比较合算，
时， ，选择乙公司比较合算；
当 时，
当 时， ，
解得 ，
此时选择甲乙公司一样合算；当 时， 且 ，
解得 ，
此时选择乙公司合算；
当 时， ，
解得 ，
此时选择甲公司合算；
∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间
大于5小时，选择甲公司合算．
5．（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给
每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主
给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买 千克肥料，按方案一购买的付款总金额为 元，按方案二购买的付款总金额为 元．
(1)请分别写出 与 之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
【答案】(1) ，
(2)方案一
【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键．
（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；
（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．
【详解】（1）解： 与 之间的函数关系式为 ，
与 之间的函数关系式为 ．（2）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40
元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按
原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为 千克，按甲方案所需总费用为 元，按乙方案所需总费用为 元．
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出 、 关于x的函数表达式；
(2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)选择乙方案更划算，见解析
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键．
（1）根据甲、乙收费方案即可求解；
（2）令 ，分别求出 ， ，即可进行判断．
【详解】（1）解：由题意得： ，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当 时，
，
．
，
∵选择乙方案更划算．
∴7．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调
查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元．
(1)求篮球、实心球的单价各是多少元？
(2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，
请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)篮球的单价是30元，实心球的单价是20元
(2)最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系
式．
（1）设篮球的单价是 元，实心球的单价是 元，根据“购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个
篮球和5个实心球需220元”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购进 个篮球，则购进 个实心球，根据“总费用不超过2400元，且篮球个数不少于
实心球个数的一半”，可列出关于 的一元一次不等式组，解之可得出 的取值范围，设该校购进篮球、
实心球共花费 元，利用总价 单价 数量，可得出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即
可解决最值问题．
【详解】（1）解：设篮球的单价是 元，实心球的单价是 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：篮球的单价是30元，实心球的单价是20元；
（2）解：最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由如下：
设该校购进 个篮球，则购进 个实心球，
根据题意得： ，解得： ．
设该校购进篮球、实心球共花费 元，则 ，
即 ，
，
随 的增大而增大，
又 ，且 为正整数，
当 时， 取得最小值，此时 （个 ，
最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球．
8．（2024·云南昆明·二模）为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其
中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系
如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元．
(1)选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？
(2)某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量．
【答案】(1)1800元
(2)70个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确求出解析式是解题关键．
（1）由待定系数法求出方案一中，当 时，月工资y(元)与生产产品(件)的关系式为 ，根
据 代入即可解决问题；
（2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元，列出一元一次方程，解方程即可
【详解】（1）设当 时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为 ，
由图象知点 ， ，
代入得： ，解得： ，
月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为 ，
当 时
，
答：他该月得到的工资是1800元．
（2）解：由题意可知，当 时，不满足题意；
当 时， ，
解得： ，
所以该实习员工生产产品的件数为70件．
9．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：
方案 促销方案
方案
所有服装全场六折
一
方案 “满 送 ”（如：购买 元服装，赠 元购物券；购买 元服装，
二 赠 元购物券）
方案 “满 减 ”（如：购买 元服装，只需付 元；购买 元服装，只需
三 付 元）
（注：一人只能选择一种方案）
(1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为 元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种
服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．
求裤子的标价；
请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；
(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价 （元）可以看成标价 （元）的函数，请你写出，当
时， 关于 的函数表达式为______，当 时， 关于 的函数表达式为______，当
时， 关于 的函数表达式为______；
(3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为 元 的服装，当 的取值范围是多少时，用方案
三购买更合算？
【答案】(1) 元； 应选择方案三，理由见解析；(2) ， ， ；
(3)当 时，用方案三购买更合算．
【分析】（ ） 设裤子的标价为 元，根据题意列出方程解答即可求解； 分别算出每一种方案的花费
即可判断求解；
（ ）根据题意列出函数解析式即可；
（ ）分 和 两种情况讨论即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次
方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解： 设裤子的标价为 元，
根据题意得， ，
解得 ，
答：裤子的标价为 元；
选择方案三，理由如下：
方案一的花费为： 元，
方案二的花费为： 元，
方案三的花费为： 元，
∵ ，
∴应选择方案三；
（2）解：当 时， 关于 的函数表达式为 ，当 时， 关于 的函数表达式为
，当 时， 关于 的函数表达式为 ；
故答案为： ， ， ；
（3）解：当 时，方案一购买需花费 元，方案三需花费 元，
∵ ，
∴ 用方案一购买更合算；
当 时，方案一购买需花费 元，方案三需花费 元，
当 时，解得 ，
∴当 时，用方案三购买更合算；
当 时，两种方案购买花费一样多；当 时，用方案一购买更合算；
综上，当 时，用方案三购买更合算．
题型四：抛物线型应用问题
【中考母题学方法】
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2
是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作
长 ，高 的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大于 ，
则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
2．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨
度与拱高之积为 ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，
现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 其中，点 在 轴上， ．
方案二，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 其中，点 在 轴上， ．
要在拱门中设置高为 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为 ，点 、 在抛物线上，边 在 上；方案二中，矩形框架 的面积记为
，点 在抛物线上，边 在 上，现知，小华已正确求出方案二中，当 时，
，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当 时，求矩形框架 的面积 并比较 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点 ，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令 可得 或 ，故 ；再比较 的大小即可．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
方案一中抛物线的顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得， ，解得： ，
，
方案一中抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：在 中，
令 得： ；
解得 或 ，
，
，
，
．
3．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)① ______， ______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】(1) 3，6； ；
① ②
(2) 8，
① ②
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为 可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两
函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛
物线顶点坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
当 时， ，
故答案为：3，6．②联立得： ，
解得： 或 ，
∴点A的坐标是 ，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
② ，
则 ，
解得 （负值舍去）．
4．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销
售额 （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是
如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点．
(1)求出成本 关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额 成本）
【答案】(1)
(2)销售产品所获利润是 万元；
(3)当销售量 吨时，获得最大利润，最大利润为： 万元；
【分析】（1）设抛物线为： ，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求解当 时，成本的最小值为 ，再计算销售额，从而可得答案；
（3）设销售利润为 万元，可得 ，再利用二次函数的性质解题即可；
【详解】（1）解：∵成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中
是其顶点．
∴设抛物线为： ，
把 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，成本最小值为 ，
∴ ，
∴销售产品所获利润是 （万元）；
（3）解：设销售利润为 万元，∴
，
当 时，获得最大利润，
最大利润为： （万元）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟
练的建立二次函数的关系式是解本题的关键．
5．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始
祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿
直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于
地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．其中，当火箭
运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为 ．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
【答案】(1)① ， ；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）①将 代入即可求解；②将 变为 ，即可确定顶点坐标，得出
，进而求得当 时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为 ，求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线 和直线 均经过点
∴ ，
解得 ， ．
②由①知， ，
∴
∴最大值
当 时，
则
解得 ，
又∵ 时，
∴当 时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离 ．（2）解：当水平距离超过 时，
火箭第二级的引发点为 ，
将 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴ ．
6．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 ，从点O处抛出一个小球，落
到点 处．小球在空中所经过的路线是抛物线 的一部分．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)这棵树的高为2
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的
求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明 ，利用相似三角形的性质求得 ， ，
据此求解即可．
【详解】（1）解：∵点 是抛物线 上的一点，
把点 代入 中，得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由（1）得： ，
∴抛物线最高点对坐标为 ；
（3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵点B是 的三等分点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ，
∴点C的横坐标为1，
将 代入 中， ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
答：这棵树的高为2．
7．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃
的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下
表：
B樱桃园
单价 销售量
（元/盒） （盒） 第x天的利润 （元）与x的关系可以近似地用二次函数
刻画，其图象如图：
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关
系，已知每天的固定成本为745元．(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润 （元）与x的函数关系式；（利润 单价 销售量 固定成本）
(3)① 与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润 比A樱桃园的利润 大．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②第10天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是4800元；
(4)4
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求结合利润 单价 销售量 固定成本进行求解即可；
（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出 的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式 ，求出不等式的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：第 天的单价与 满足的一次函数关系式为 ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
∴第 天的单价与 满足的一次函数关系式为 ，
∴A樱桃园第x天的单价是 元/盒，
故答案为： ；（2）解：由题意得，
（3）解：①把 代入 中得： ，
解得 ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴
，
∵ ，且 （x为正整数），
∴当 时， 有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是4800元；
（4）解：当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润 比A樱桃园的利润 大．
8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学
问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾
空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量
和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距离为3
米，则水滑道 所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离 米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离
不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距
地面4米的点M处竖直支撑的钢架 ，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架 ．现在需要在水滑
道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在
钢架 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是 米，解析式为 ；②此人腾空飞出后的落点D在安全
范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为 米
【分析】（1）根据题意得到水滑道 所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设水滑道所在抛物线的解析式为 ，将 代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，由抛物线的顶点为
，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为： ，令
，求出 的值，即点 的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得 点的纵坐标为4，令 中 ，求出符合实际的x值，得到点M的坐
标，求出 所在直线的解析式为 ，设这条钢架为 ，与 交于点G，与地面交于H，根
据这条钢架与 平行，设该钢架所在直线的解析式为 ，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联
立 ，根据方程组有唯一解，求出 ，即该钢架所在直线的解析式为 ，点H与
点O重合，根据 ， ， ，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得到水滑道 所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，
设水滑道 所在抛物线的解析式为 ，
将 代入，得： ，即 ，
，
水滑道 所在抛物线的解析式为 ；
（2）解：① 人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，人腾空后的路径形成的抛物线 的顶点坐标与抛物线 的顶点坐标 关于点 成中心对
称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线 的顶点坐标为 ，即 ，
∴此人腾空后的最大高度是 米，人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为： ；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为： ，
令 ，则 ，即
或 （舍去，不符合题意），
点 ，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得 点的纵坐标为4，
令 ，即 ，
（舍去，不符合题意）或 ，
，
设 所在直线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
所在直线的解析式为 ，如图，设这条钢架为 ，与 交于点G，与地面交于H，
这条钢架与 平行，
设该钢架 所在直线的解析式为 ，
联立 ，即 ，
整理得： ，
该钢架 与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为 ，
点H与点O重合，
， ， ，
，
这条钢架的长度为 米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函
数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
【中考模拟即学即练】
9．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动
过程中距离地面的高度 （米）关于水平距离 （米）的函数解析式为 ，当实心球运动到
点 时达到最高点，那么实心球的落地点 与出手点 的水平距离 为 米．【答案】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与 轴交点问题，熟练掌握二
次函数的顶点式和二次函数与 轴交点求法是解题的关键．先利用顶点 结合顶点式得出
，再令 ，即可求解．
【详解】解：∵当实心球运动到点 时达到最高点，且抛物线函数解析式为 ，
∴抛物线函数解析式为 ，
令 ，得 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴实心球的落地点 与出手点 的水平距离 为 米，
故答案为： ．
10．（2025·甘肃·模拟预测）一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线 ， 为某一抛物线的一
部分，杯口 ，杯底 ，且 ，杯深 ，如图②若盛有部分水的水杯倾斜
（即 ），水面正好经过点B，则此时点P到杯口 的距离为 ．
【答案】
【分析】先以 的中点 为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线 、 所在抛物线的解析式，再求解直线 的解析式，最后求解抛物线与直线 的交点 的坐标即可．
【详解】解：如图，以 的中点 为原点， 所在直线为x轴，垂直 的直线为y轴，建立平面直角
坐标系，
∴ ， ， ， ，
设轮廓线 、 所在抛物线的解析式为 ，记 与 轴的交点为 ，
把 、 代入抛物线解析式，得：
，
解得： ，
∴轮廓线 、 所在抛物线的解析式为： ，
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 、 代入直线 的解析式，得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
解方程组 得： ， ，
∴ ，
此时点P到杯口 的距离为 ，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角
三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌
握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
11．（2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方
式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系
，击球点 到球网 的水平距离 ．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度 （单位： 与水平距离 （单位： 近似满足函数关系
．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度 （单位： 与水平距离 （单位： 的几组数据如下：
水平距离
0 1 2 3 4
飞行高度
1.1 1.6 1.9 2 1.9
根据上述信息，回答下列问题：
(1)直接写出击球点的高度；(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度 与水平距离 满足的函数关系式；
(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为 ， ，则 （填“ ”，“
”或“ ” ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）令 中 ，求出 的值即可（或由表格信息直接得出）；
（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为 ， ，
再比较即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
故击球点的高度为 ；
（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为： ，
过点 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为： ，
（3） 第一次练习时，当 时， ．
解得 ， （舍去），
，第二次练习时，当 时， ．
解得 ， （舍去），
，
，
，
故答案为：
12．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训
练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷
中，实心球从 轴上的点 处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点 的坐标为
，落在 轴上的点 处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某市男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
(3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是
否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
【答案】(1)
(2)小强在这次训练中的成绩为 分
(3)小朋友有危险，理由见详解【分析】本题主要考查二次函数的运用，
（1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为 ，把点 代入，运用待定系数
法即可求解；
（2）令 时，求出点 的坐标，进行比较即可求解；
（3）当 时，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为 ，把点 代入得，
，
解得， ，
∴抛物线的解析式 ；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式 ，
令 ，则 ，整理得 ，
解得， ，
∵点 在 轴的正半轴上，
∴小强掷的距离为 米，
∵ ，
∴小强在这次训练中的成绩为 分；
（3）解：小朋友有危险，理由如下，
当 时， ，
∵ ，
∴小朋友有危险．
13．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线
型，大棚的一端固定在墙体 上，另一端固定在墙体 上，其横截面有2根支架 ，相关数据如
图1所示，其中支架 ， ，这个大棚用了400根支架．为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，
调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过
32000元．
(1)分别以 和 所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当 米，求 的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出 的最大值．
【答案】(1)① ；② 米
(2)1.6米
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）①设改造前的函数解析式为 ，根据所建立的平面直角坐标系得到 ， ，
，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到 、 的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出 、 的坐标得到a的不等式，进而得到 的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面
直角坐标系，
由题意可知： ， ， ，
设改造前的抛物线解析式为 ，
，解得： ，
∴改造前的抛物线的函数表达式为 ；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
设改造后抛物线解析式为： ，
∵调整后C与E上升相同的高度，且 ，
∴对称轴为直线 ，则有 ，
当 时， ，
，
， ，
改造后抛物线解析式为： ，
当 时，
改造前： ，
改造后： ，米，
∴ 的长度为 米；
（2）解：如图，设改造后抛物线解析式为 ，
∵当 时， ，
当 时， ，
， ，
，
由题意可列不等式： ，
解得： ，
，
要使最大，需a最小，
∴当 时， 的值最大，最大值为 米．
14．（2024·云南怒江·一模）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 称跨度，桥面最高点到
的距离 称拱高，如图，已知这座桥的跨度 米，拱高 米，且设计方案为抛物线型．
(1)建立合适的平面直角坐标系，并确定这座桥的函数表达式；
(2)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键．
（1）以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，结合题意得出 ， ，
，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时的 的值，比较即可得解．
【详解】（1）解：以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，
米，
， ，
米，
，
设抛物线的解析式为： ，
代入点 得： ，解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）解：抛物线型方案货船不能顺利通过该桥，理由如下：
当 时， ，
米 米，
货船不能顺利通过该桥．
15．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图 ，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，因
渭水绕灞陵（汉文帝陵墓）通长安而得名，是世界上唯一的纯木质悬臂梁与叠梁拱结构相结合的木质拱桥，又名握桥或卧桥．著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”，
奠定了它在桥梁史上的重要地位．如图 ，桥拱截面 可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内
的水面宽约 米，桥拱顶点 到水面的距离为 米．
(1)模型建立：如图 ，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的线为
轴建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的表达式；
(2)问题解决：现有两艘宽为 米，高为 米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘
小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)两艘小舟能同时从桥下穿过，理由见解析
【分析】（ ）根据题意可知点点 和点 的坐标分别为 和 ，顶点为 ，然后利用待定
系数法求解即可；
（ ）求出当 时 的值，然后计算比较即可；
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
【详解】（1）解：由题意得点 和点 的坐标分别为 和 ，
∵ 为抛物线的顶点，
∴ ，
设抛物线的表达式为 ，
将点O(0,0)代入表达式可得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：两艘小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
将 代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴小舟高度为 米时，最大的通行宽度为 （米）．
∵两艘小舟宽为 米， ，
∴两艘小舟能同时从桥下穿过．
16．（2024·四川泸州·一模）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．
当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标
系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高 为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
【答案】(1)
(2)球能射进球门
【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解题的的关键．
（1）求出抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线 ，把点 代入求得 ，即可得
到抛物线的函数表达式；
（2）求出抛物线与y轴交点的纵坐标，与球门高度比较后即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ （米），
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线 ，把点 代入得：
，
解得 ，∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴球能射进球门．
17．（2024·贵州·模拟预测）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在
枯水期测得河道宽度 米，河水水面截痕 米，水面到河岸水平线 的距离为7.5米，以点
为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：
(1)求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？
(2)在丰水期，测得水面到 的距离为 米，求此时水面截痕DE的长；
(3)在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点
处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上
（即点 右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题题意，建立函数模型是解题的关键．
（1）利用抛物线对称性求出 点坐标，在用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由题意可以推出点 和点 的纵坐标为 ，代入 值求出 和 的横坐标，从而求出 长度；
（3）先求出船在 中间时小球的运动轨迹抛物线解析式，再设向右划行 米，然后将 点代入即可求出
值．
【详解】（1）解：如解图，过点 作 轴于点 ，由二次函数图象的对称性可得 ．
，
，∵ ，
．
设二次函数表达式为 ，
将 代入得
，
解得 ，
二次函数表达式为 ．
，
二次函数图象的顶点纵坐标为 ，此时最大水深为 （米）．
（2）解： 丰水期时水面到 的距离是3.6米，
令 ，
即 ，
解得 ， ，
，
此时水面截痕DE的长为16米．
（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设DE的中点为 ，小球轨迹的顶点是点 ，
．
由（2）知 ，
小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过 ， 两点，， 两点关于对称轴对称，
．
设小球的轨迹抛物线的表达式为 ，
将 代入得 ，
解得 ，
．
设向右划行 米，小球落到 点，此时抛物线表达式为 ，
将 代入可得 ，
解得 （舍去）或 ．
答：小红的小船至少要向右划行 米．
18．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，
有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部
分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 图象的一
部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 与坐标轴交于 ， 两点，抛物线与
轴交于另一点 ，点 ， 是叶片上的一对对称点， 交直线 于点 ．求叶片此处的宽度 ；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数
图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直
线 （点 为叶尖）与水平线的夹角为 ，求幼苗叶片的长度 ．
【答案】（1） ，顶点 的坐标为 ；（2） ；（3）
【分析】（1）把原点 代入解析式 ，求得 值，将抛物线化成顶点式即可确定顶
点坐标；
（2）先求出点 的坐标为 ，再求出 的解析式为： ．然后求出点 的坐标为 ，最
后求出结果即可；
（3）作 抛物线的对称轴于点 ，则 ，设点 的横坐标为 ，得出 ，根据
点 在抛物线上，列出方程 ，得出点 的坐标为 ，最后求出 即可．
【详解】解：（1） 抛物线经过原点，
．
解得： ．
抛物线的解析式为： ．
顶点 的坐标为 ；
（2）取 ， ，解得： ， ，
点 的坐标为 ，
心形叶片的对称轴是直线 ，点 ， 是叶片上的一对对称点，
设 的解析式为： ．
经过点 ，
．
解得： ．
的解析式为： ．
，
解得：
点 的坐标为 ．
．
．
（3）作 抛物线的对称轴于点 ，则 ，
直线 与水平线的夹角为 ，
．设点 的横坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
．
顶点 的坐标为 ，
点 的纵坐标为 ．
点 在抛物线上，
．
解得： ．
点 的坐标为 ．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称
思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实
现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上
起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线．
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点 处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起
跳到入水的过程中，运动的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）之间有怎样的函数关系．
【分析问题】
在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度 与水平距离 的几组数据如下：
水平距离 3 4
竖直高度 10 10（1）根据表中数据， _____， 关于 的函数解析式为_____．
【解决问题】
（2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度
与水平距离 近似满足函数关系 ．
①用 ， 分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则 _____ ；（填“ ”“ ”
或“ ”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调
整好入水姿势时，水平距离恰好是 米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）① ；②不会失误，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到 的值；
（2）①将 代入两个函数解析式，求出 ， 的值即可；
②将 代入 求出 ，即可进行判断．
【详解】解：（1）由表中数据可知，经过 ，
故对称轴
顶点坐标为
设 关于 的函数解析式为 ，
将 代入，
得
解得
故 关于 的函数解析式为 ，
将 代入， ，，
故答案为： ， ；
（2）①将 代入 ，
解得 （舍去）或 ，
，
将将 代入 ，
解得 （舍去）或 ，
，
，
故答案为： ．
②不会失误，理由如下：
将 代入 ，
即 ，
，
，
全红婵本次训练不会失误．
20．（2024·山西晋城·三模）如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及
点 ， 所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；隔离栏 长为 ，隔离栏 被12根栏杆等分
成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度 ．
请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)请以点 为坐标原点，线段 所在直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为 ，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
【答案】(1)见解析， ；
(2)第7根与第8根或第5根与第6根
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系、求出函数解析式成为解题的关键．
（1）如图：建立的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为 ，然后利用待定系数法求解
即可；
（2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图．
∵ ，
∴ ．
由题意得， ， ，
∴ ．
∵图象必过原点 ，
∴设抛物线的函数表达式为： ，
把 ， 分别代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为： ．（2）解：由题意，相邻两栏杆的间距是： ．
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第 根，
由题意，得： ．
∴ ．
∴第7根与第8根涂色部分的高度差为 ．
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间．
由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为 ．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
