文档内容
2016 年四川省甘孜州中考数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．3D．﹣3
2．使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
[来源:Z§xx§k.Com]
A．x≠1B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1
3．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时间内来该州风景区
游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ）
A．36×103 B．0.36×106C．C、0.36×104 D．3.6×104
5．在直角坐标中，点P（2，﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分别为：6，7，7，8，
9．这组数据的众数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．下列计算正确的是（ ）
A．4x﹣3x=1 B．x2+x2=2x4C．（x2）3=x6D．2x2•x3=2x6
8．将y=x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（
）A．2B．3C．4D．5
10．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针
旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径 的长为（ ）
A．πB．2π C．4π D．8π
二、填空题：每小题4分，共16分
11．分解因式：a2﹣b2= ．
12．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是 ．
13．直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 ．
14．如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣
x+b的解是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共44分
15．（1）计算： +（1﹣ ）0﹣4cos45°．（2）解方程组： ．
16．化简： + ．
17．某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类型的套餐．实行一段
时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一
种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数．
18．如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶C，仰角为30°，已
知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，参考
数据： ≈1.73）19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相
交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点C的坐标及△AOB的面积．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点
D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，cosC= ，求AE的长．四、填空题：每小题4分，共20分
21．若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为 ．
22．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，
若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于 ，则m的值为
．
23．如图，点P ，P ，P ，P 均在坐标轴上，且P P ⊥P P ，P P ⊥P P ，若点P ，P 的坐标分别为
1 2 3 4 1 2 2 3 2 3 3 4 1 2
（0，﹣1），（﹣2，0），则点P 的坐标为 ．
4
24．在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= （x＞0）的图象上的动点，则线段OP长
度的最小值是 ．
25．如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半圆上，连接AC，BC，
则 = ．五、解答题：本大题共3小题，共30分
26．某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型
两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
A型客车 B型客车
载客量（人/辆） 45 28
租金（元/辆） 400 250
经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的代数式填写下表：
车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元）
A型客车 x 45x 400x
B型客车 13﹣x
（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？
27．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，
连接BG，AE．
（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）
①求证：BG⊥CE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求 的值．
28．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），
与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的
面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2016 年四川省甘孜州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．3D．﹣3
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的定义，即可解答．
【解答】解：|﹣3|=3，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的定义，解决本题的关键是熟记负数的绝对值等于它的相反数．
2．使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故选A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此
题的关键．
3．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、球的俯视图是圆，故本选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故本选项正确；
C、圆锥的俯视图是圆，故本选项错误；
D、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4．某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时间内来该州风景区
游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ）
A．36×103 B．0.36×106C．C、0.36×104 D．3.6×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：36000用科学记数法表示为3.6×104．
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．在直角坐标中，点P（2，﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】探究型．
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特点，可以确定点P的位置，本题得以
解决．
【解答】解：∵在直角坐标中，点P（2，﹣3），
∴点P在第四象限，
故选D．
【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是明确直角坐标系中各象限内点的坐标符号．6．某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分别为：6，7，7，8，
9．这组数据的众数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点】众数．
【分析】由于众数是一组数据中次数出现最多的数据，由此可以确定数据的众数．
【解答】解：依题意得，7出现了二次，次数最多，
所以这组数据的众数是7．
故选B．
【点评】此题考查了众数的定义，注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一
组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
7．下列计算正确的是（ ）
A．4x﹣3x=1 B．x2+x2=2x4C．（x2）3=x6D．2x2•x3=2x6
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项的法则只需把系数相加减，字母和字母的指数不变得出A和B不正
确；根据幂的乘方底数不变、指数相乘得出C正确；根据同底数幂的乘法底数不变，指数相加
得出D不正确．
【解答】解：A、4x﹣3x=x，故本选项错误；
B、x2+x2=2x2，故本选项错误；
C、（x2）3=x6，故本选项正确；
D、2x2•x3=2x5，故本选项错误；
故选C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式、合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则
是本题的关键，是一道基础题．
8．将y=x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），由于点（0，0）向上平移2个单位得到的点的
坐标为（0，2），则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y=x2+2．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标
为（0，2），所以平移后的抛物线的解析式为y=x2+2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所
以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的
坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（
）
A．2B．3C．4D．5
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得
∠CBD=∠BDE，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出△AED
的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，
∵AB=3，AD=1，
∴△AED的周长=3+1=4．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记性质并推导出BE=DE是
解题的关键．10．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针
旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径 的长为（ ）
A．πB．2π C．4π D．8π
【考点】弧长的计算；旋转的性质．
【分析】由每个小正方形的边长都为1，可求得OA长，然后由弧长公式，求得答案．
【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴OA=4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，
∴∠AOA′=90°，
∴A点运动的路径 的长为： =2π．
故选B．
【点评】此题考查了旋转的性质以及弧长公式的应用．注意确定半径与圆心角是解此题的关
键．
二、填空题：每小题4分，共16分
11．分解因式：a2﹣b2= （ a + b ）（ a﹣ b ） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解的知识，解题的关键是能够牢记平方差公式，难度不
大．12．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是 ．
【考点】概率公式．
【专题】计算题；概率及其应用．
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，
则P（正面朝上）= ，
故答案为：
【点评】此题考查了概率公式，概率=发生的情况数÷所有等可能情况数．
13．直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 6 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据直角三角形的斜边与一条直角边，可利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再
根据三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，
∴另一直角边长为 =4．
该直角三角形的面积S= ×3×4=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，解题的关键是根据勾股定理求出另一
条直角边的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出直角三
角形的三边关系是关键．
14．如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣
x+b的解是 x= 2 ．【考点】一次函数与一元一次方程．
【分析】函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解．
【解答】解：∵已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），
∴关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是x=2，
故答案为：x=2．
【点评】考查了一次函数与一元一次方程的知识，解题的关键是了解函数的图象的交点与方
程的解的关系，难度不大．
三、解答题：本大题共6小题，共44分
15．（1）计算： +（1﹣ ）0﹣4cos45°．
（2）解方程组： ．
【考点】解二元一次方程组；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）由a0=1以及特殊角的三角函数值，可得出（1﹣ ）0=1，cos45°= ，将其代入算
式中即可得出结论；
（2）根据用加减法解二元一次方程组的步骤解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）原式= +1﹣4× ，
=2 +1﹣2 ，
=1．
（2）方程①×2+②得：3x=9，
方程两边同时除以3得：x=3，将x=3代入①中得：3﹣y=2，
移项得：y=1．
∴方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组、实数的运算、零指数幂以及特殊角的三角函数值，解
题的关键是：（1）代入（1﹣ ）0=1，cos45°= ；（2）熟练掌握用加减法解二元一次方程组的
步骤．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握实数的运算法则以及解二元
一次方程组的步骤是解题的关键．
16．化简： + ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】线通分变为同分母分式，然后再相加即可解答本题．
【解答】解： +
= +
=
= ．
【点评】本题考查分式的加减法，解题的关键是明确分式的加减法的计算方法．
17．某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类型的套餐．实行一段
时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一
种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统计图．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 10 0 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据喜爱A种套餐的人数和百分比求解即可；
（2）依据总人数等于各部分的和可求得喜爱C套餐的人数；
（3）先求得喜欢D套餐人数所占的百分比，然后用总人数乘百分比即可．
【解答】解：（1）40÷40%=100人，
这次调查中一共抽取了100人．
故答案为：100．
（2）100﹣40﹣20﹣10=30人．
补全条形统计图如图所示：
（3）10÷100=10%，1200×10%=120人．
全校喜欢D套餐的学生的人数大约为120人．
【点评】本主要考查的是条形统计图、扇形统计图的应用，能够从统计图中获取有效信息是解
题的关键．18．如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶C，仰角为30°，已
知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，参考
数据： ≈1.73）
[来源:学科网ZXXK]
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过点A作AD⊥CE于点D，根据矩形的判定定理证出四边形ABED为矩形，由此即
可得出AD=5，DE=1.65，在Rt△ACD中通过解直角三角形以及特殊角的三角函数值即可得
出CD的长度，再根据线段间的关系即可得出结论．
【解答】解：过点A作AD⊥CE于点D，如图所示．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥DE，
∴四边形ABED为矩形，
∴AD=BE=5，DE=AB=1.65．
在Rt△ACD中，AD=5，∠CAD=30°，
∴CD=AD•tan∠CAD=5× ≈2.88，
∴CE=CD+DE=2.88+1.65=4.53≈4.5．
答：这棵树大约高4.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定以及特殊角的三角
函数值，解题的关键是求出点的CD的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，
通过构建直角三角形，再利用解直角三角形求出边的长度是关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相
交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点C的坐标及△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比
例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利
用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）令一次函数表达式中x=0求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点
A、B的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣2）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=﹣4×（﹣2）=8，
∴反比例函数的表达式为y= ；
∵点B（m，4）在反比例函数y= 的图象上，∴4m=8，解得：m=2，
∴点B（2，4）．
将点A（﹣4，﹣2）、B（2，4）代入y=﹣ax+b中，
得： ，解得： ，
∴一次函数的表达式为y=x+2．
（2）令y=x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∴S = OC×（x ﹣x ）= ×2×[2﹣（﹣4）]=6．
△AOB B A
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以
及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分
割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出
点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点
D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，cosC= ，求AE的长．【考点】圆的综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性
质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，
然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等
腰三角形的性质得到CH=EH；
（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC=5 ，在Rt△CDH中可计算出CH= ，
则CE=2CH=2 ，
然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．
【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH=EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD= BC=5，
∵cosC= = ，
∴AC=5 ，
在Rt△CDH中，∵cosC= = ，
∴CH= ，
∴CE=2CH=2 ，
∴AE=AC﹣CE=5 ﹣2 =3 ．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形的判定
与性质；会利用三角函数的定义解直角三角形．
四、填空题：每小题4分，共20分
21．若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为 8 ．
【考点】代数式求值．
【分析】原式可以化成2（x2﹣3x），代入求值即可．
【解答】解：原式=2（x2﹣3x）=2×4=8．故答案是：8．
【点评】本题考查了代数式的求值，正确对所求的代数式进行变形是关键．
22．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，
若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于 ，则m的值为
3 ．
【考点】概率公式．
【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于 可得
方程，继而求得答案．
【解答】解：根据题意得： = ，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，点P ，P ，P ，P 均在坐标轴上，且P P ⊥P P ，P P ⊥P P ，若点P ，P 的坐标分别为
1 2 3 4 1 2 2 3 2 3 3 4 1 2
（0，﹣1），（﹣2，0），则点P 的坐标为 （ 8 ， 0 ） ．
4
【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【分析】根据相似三角形的性质求出P D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP 的
3 4
长，得到答案．
【解答】解：∵点P ，P 的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），
1 2
∴OP =1，OP =2，
1 2∵Rt△P OP ∽Rt△P OP ，
1 2 2 3
∴ = ，即 = ，
解得，OP =4，
3
∵Rt△P OP ∽Rt△P OP ，
2 3 3 4
∴ = ，即 = ，
解得，OP =8，
4
则点P 的坐标为（8，0），
4
故答案为：（8，0）．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的
判定定理和性质定理是解题的关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y= （x＞0）的图象上的动点，则线段OP长
度的最小值是 2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意得出：当P为直线y=x与反比例函数y= （x＞0）的交点时线段OP长度的
最小，再求出P点的坐标，从而得出则线段OP的长度的最小值．
【解答】解：根据题意可得：当P为直线y=x与反比例函数y= （x＞0）的交点时则线段OP长
度的最小，
由 得： 或 （舍去），
则P点的坐标为（ ， ），
则线段OP= =2，故答案为：2．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点是反比例函数的图象与
性质、勾股定理，关键是求出何时OP的长度最小．
25．如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半圆上，连接AC，BC，
则 = ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】首先设正方形CDEF的边长是a，应用勾股定理，求出半圆的半径是多少；然后应用圆
周角定理并解直角三角形，求出 的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接CO， ，
设正方形CDEF的边长是a，
则DO= ，
在Rt△CDO中，
CO=
== a
∴AO=CO= a，
∴AD= a﹣ = a，
∵∠ACB=90°，
∴ =tan∠BAC= = = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了正方形的性质和应用，以及圆周角定理的应用，要熟练掌握．
五、解答题：本大题共3小题，共30分
26．某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型
两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
A型客车 B型客车
载客量（人/辆） 45 28
租金（元/辆） 400 250
经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的代数式填写下表：
车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元）
A型客车 x 45x 400x
B型客车 13﹣x 2 8 （ 13﹣ x ） 25 0 （ 13﹣ x ）
（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据“B型车的载客量=租的辆数×满载人数”以及“租B型车应付租金=每辆
的租金×租的辆数”即可得出结论；（2）设租车的总费用为W元，根据“总租金=租A型车的租金+租B型车的租金”即可得出
W关于x的函数关系式，再根据共500人参加社会实践活动，列出关于x的一元一次不等式，
解不等式即可得出x的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【解答】解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（13﹣x）辆，
B型车的载客量28（13﹣x），租金为250（13﹣x）．
故答案为：28（13﹣x）；250（13﹣x）．
（2）设租车的总费用为W元，则有：W=400x+250（13﹣x）=150x+3250．
由已知得：45x+28（13﹣x）≥500，
解得：x≥8．
∵在W=150x+3250中150＞0，
∴当x=8时，W取最小值，最小值为4450元．
故租A型车8辆、B型车5辆时，总的租车费用最低，最低为4450元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出代数式；（2）根据
数量关系找出W关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根
据数量关系找出一元一次不等式（或函数关系式）是关键．
27．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，
连接BG，AE．
（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）
①求证：BG⊥CE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求 的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】综合题．【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得
∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得
到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG= GE= x，由
（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到
∠4=45°，BD= AB= x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM=
x，所以GM= x，于是可计算出 的值．
【解答】（1）证明：如图①，
∵AD为等腰直角△ABC的高，
∴AD=BD，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠GDE=90°，DG=DE，
在△BDG和△ADE中
，
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
（2）①证明：如图②，
∵四边形DEFG为正方形，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°，
由（1）得△BDG≌△ADE，
∴∠3=∠2=45°，
[来源:学科网ZXXK]∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，
∴BG⊥GE；
②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，
∴DG= GE= x，
∵△BDG≌△ADE，
∴BG=AE=4x，
在Rt△BGA中，AB= = =5x，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴∠4=45°，BD= AB= x，
∴∠3=∠4，
而∠BDM=∠GDB，
∴△DBM∽△DGB，
∴BD：DG=DM：BD，即 x： x=DM： x，解得DM= x，
∴GM=DG﹣DM= x﹣ x= x，
∴ = = ．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和正方形的性质；会运
用全等三角形的知识解决线段相等的问题；利用代数式表示线段可较好得表示线段之间的
关系；会运用相似比求线段的长．
28．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），
与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
[来源:学#科#网]
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的
面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即
可；
（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出
S =S ，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．
△ABN △BCM
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，
∴x =﹣3，x =1，
1 2
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的
顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3 ，CM= ，∴S = BC×CM= ×3 × =3，
△BCM
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S +S =S +S ，
△ABN △ABC △BCM △ABC
∴S =S =3，
△ABN △BCM
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S = ×AB×n= ×4×n=2n=3，
△ABN
∴n= ，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，
∴m2+2m﹣3= ，
∴m =﹣1+ ，m =﹣1﹣ ，
1 2
∴N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）．
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
联立①②得 （舍）， ，
∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1+ ， ）或N（﹣1﹣ ， ）或N（﹣2，﹣3）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，直角三角形的判断，
图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM是直角三角形，难点是要两个四边形面积
相等，点N分在x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决（3）
的关键，也是初中阶段常用的方法．
