2005考研数学一真题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题 中横线上) x2 (1)曲线y  的斜渐近线方程为 _____________. 2x1 1 (2)微分方程xy2y  xlnx满足y(1)   的解为____________. 9 x2 y2 z2  1 (3) 设 函 数 u(x,y,z) 1   , 单 位 向 量 n  {1,1,1}, 则 6 12 18 3 u =.________. n (1,2,3) (4)设是由锥面z  x2  y2 与半球面z  R2 x2  y2 围成的空间 xdydz ydzdx zdxdy  区 域 ,是 的 整 个 边 界 的 外 侧 , 则  ____________. (5)设α ,α ,α 均为3维列向量,记矩阵 1 2 3 A(α ,α ,α ),B(α α α ,α 2α 4α ,α 3α 9α ), 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 如果 A 1,那么 B  . (6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X , 再从1,2,  ,X 中任取一 个数,记为Y , 则P{Y  2}=____________. 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的 四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的 括号内)(7)设函数 f(x)  limn 1 x 3n ,则 f(x)在(,)内 n (A)处处可导 (B)恰有一个不 可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个 不可导点 (8)设F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,"M  N"表示"M 的充 分必要条件是N",则必有 (A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数 (B)F(x)是 奇 函 数  f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数 f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数  f(x)是单调函数 xy (9)设函数u(x,y) (x y)(x y) (t)dt , 其中函数具有二 xy 阶导数, 具有一阶导数,则必有 2u 2u 2u 2u (A)   (B)  x2 y2 x2 y2 2u 2u 2u 2u (C)  (D)  xy y2 xy x2 (10)设有三元方程xyzln yexz 1,根据隐函数存在定理,存在点 (0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z  z(x,y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和z  z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y  y(x,z)和z  z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和y  y(x,z)(11)设,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别 1 2 为α ,α ,则α ,A(α α )线性无关的充分必要条件是 1 2 1 1 2 (A)  0 (B)  0 1 2 (C) 0 (D) 0 1 2 (12)设A为n(n2)阶可逆矩阵,交换A的第 1 行与第 2 行得矩阵 B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第 1 行 与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换 A*的第 1行与第2行得B* (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 X 0 1 Y 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X 0}与{X Y 1}相互独立,则 (A)a 0.2,b0.3 (B)a 0.4,b0.1 (C)a 0.3,b0.2 (D)a 0.1,b0.4 (14)设 X 1 ,X 2 ,  ,X n (n  2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为 样本均值,S2为样本方差,则 (A)nX ~ N(0,1) (B)nS2 ~2(n) (n1)X2 (n1)X 1 ~ F(1,n1) (C) ~ t(n1) (D) n S X2 i i2三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设D {(x,y)x2  y2  2,x 0,y 0},[1 x2  y2]表示不超过1 x2  y2 xy[1 x2  y2]dxdy. 的最大整数. 计算二重积分 D (16)(本题满分12分)  1 求幂级数(1)n1(1 )x2n 的收敛区间与和函数 f(x). n(2n1) n1(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为 y  f(x),点(3,2)是它的一个拐点, 直线l 与l 分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点 1 2 为 (2,4).设函数 f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 3  (x2  x)f (x)dx. 0(18)(本题满分12分) 已知函数 f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)0, f(1)1. 证 明: (1)存在(0,1), 使得 f() 1. (2)存在两个不同的点,(0,1),使得 f ()f () 1.(19)(本题满分12分) 设函数 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲 (y) 线 上,曲线积分 (y)dx2xydy 的值恒为同一常数. L   L 2x2  y4 (1)证明:对右半平面 内的任意分段光滑简单闭曲线 有 x0 C, (y)dx2xydy .  0  C 2x2  y4 (2)求函数 的表达式. (y)(20)(本题满分9分) 已知二次型 的秩为 f(x ,x ,x ) (1a)x2 (1a)x2 2x2 2(1a)x x 1 2 3 1 2 3 1 2 2. (1)求a的值； (2)求正交变换 ,把 化成标准形. xQy f(x ,x ,x ) 1 2 3 (3)求方程 =0的解. f(x ,x ,x ) 1 2 3(21)(本题满分9分) 已 知 3 阶 矩 阵 的 第 一 行 是 不 全 为 零 , 矩 阵 A (a,b,c),a,b,c 1 2 3 B  2 4 6 ( k 为常数),且 ABO ,求线性方程组 Ax0 的通解.   3 6 k  (22)(本题满分9分) 设二维随机变量 的概率密度为 1 0 x1,0 y2x (X,Y) f(x,y) 0 其它 求:(1) 的边缘概率密度 . (X,Y) f (x), f (y) X Y (2) 的概率密度 Z  2X Y f (z). Z(23)(本题满分9分) 设 为来自总体 的简单随机样本, 为样本 X 1 ,X 2 ,  ,X n (n  2) N(0,1) X 均值,记 Y  X  X,i 1,2, ,n. i i  求:(1) 的方差 . Y DY ,i 1,2, ,n i i  (2) 与 的协方差 Y Y Cov(Y,Y ). 1 n 1 n2005年考研数学一真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 的斜渐近线方程为 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a= ， ， 于是所求斜渐近线方程为 （2）微分方程 满足 的解为 . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 的通解公式： ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 ， 于是通解为 = ， 由 得C=0，故所求解为 （3）设函数 ，单位向量 ，则 = . 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量 }的方向导数为： 因此，本题直接用上述公式即可. 【详解】 因为 ， ， ，于是所求方向导数为 = （4）设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域， 是 的 整个边界的外侧，则 . 【分析】本题 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】 = （5）设 均为3维列向量，记矩阵 ， ， 如果 ，那么 2 . 【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 = ， 于是有 （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从 中任取一个数，记为Y, 则 = . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不 相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 = + + + = 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 ，则f(x)在 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当 时， ； 当 时， ； 当 时，即 可见f(x)仅在x= 时不可导，故应选(C). （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数， 表示“M的充分必要条件是 N”，则必有 (A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ，且 当F(x)为偶函数时，有 ，于是 ，即 ， 也即 ，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则 为偶函数， 从而 为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)= , 排除(D); 故 应选(A). （9）设函数 , 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) . （B） . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 先分别求出 、 、 ，再比较答案即可. 【详解】 因为 ， ， 于是 ， ，， 可见有 ，应选(B). （10）设有三元方程 ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻 域，在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ] 【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)= , 分别求出三个 偏导数 ，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数. 【详解】 令F(x,y,z)= , 则 ， ， ， 且 ， ， . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和 y=y(x,z). 故应选(D). （11）设 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 ，则 ， . 由于 线性无关，于是有 当 时，显然有 ，此时 ， 线性无关；反过来，若 ， 线性无关，则必然有 (,否则， 与 = 线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ， 可见 ， 线性无关的充要条件是 故应选(B). （12）设A为n（ ）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为 A,B的伴随矩阵，则 (A) 交换 的第1列与第2列得 . (B) 交换 的第1行与第2行得 . (C) 交换 的第1列与第2列得 . (D) 交换 的第1行与第2行得 . [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的 关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵 （交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可见应选(C). （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 与 相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式， 由此可确定a,b的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件 与 相互独立，于是有 ， 即 a= , 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). （14）设 为来自总体N(0,1)的简单随机样本， 为样本均值， 为 样本方差，则 (A) (B) (C) (D) [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和 分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可. 【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， ，可排除(A);又 ，可排除(C); 而 ，不能断定 (B)是正确选项. 因为 ，且 相互独立， 于是 故应选(D). 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设 ， 表示不超过 的最大整 数. 计算二重积分 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可. 【详解】 令 ， . 则 = = （16）（本题满分12分） 求幂级数 的收敛区间与和函数f(x). 【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到. 【详解】 因为 ，所以当 时，原级数绝 对收敛，当 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1） 记 则由于 所以 又 从而 （17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 与 分别是曲线C在点 (0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、 二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部积分，知 = = （18）（本题满分12分） 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在 使得 ； （II）存在两个不同的点 ，使得 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考 虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【详解】 （I） 令 ，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,应用 零点定理，存在 使得 ，即 .（II） 在 和 上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 ，使得 ， 于是 （19）（本题满分12分） 设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分 的值恒为同一常数. （ I ） 证 明 ： 对 右 半 平 面 x>0 内 的 任 意 分 段 光 滑 简 单 闭 曲 线 C ， 有 ； （II）求函数 的表达式. 【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相 联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求 的表达式，显然应用 积分与路径无关即可. Y 【详解】 （I） l C 2 o X l 3 如图，将C分解为： ，另作一条曲线 围绕原点且与C相接，则 . （II） 设 ， 在单连通区域 内具有一阶连续偏导数，由 （Ⅰ）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 时，总有 . ① ②比较①、②两式的右端，得 ③ ④ 由③得 ，将 代入④得 所以 ，从而 （20）（本题满分9分） 已知二次型 的秩为2. （I） 求a的值； （II） 求正交变换 ，把 化成标准形； （III） 求方程 =0的解. 【分析】 （I）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（II）是 常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III）利用第 二步的结果，通过标准形求解即可. 【详解】 （I） 二次型对应矩阵为 ， 由二次型的秩为2，知 ，得a=0. （II） 这里 ， 可求出其特征值为 . 解 ，得特征向量为： ， 解 ，得特征向量为： 由于 已经正交，直接将 ， 单位化，得： 令 ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形： =（III） 由 = 0，得 （k为任意常数）. 从而所求解为：x=Qy= ，其中c为任意常数. （21）（本题满分9分） 已知3阶矩阵A的第一行是 不全为零，矩阵 （k为常 数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解. 【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所 含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩. 【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且 （1）若k , 则r(B)=2, 于是r(A) , 显然r(A) , 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系 所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为： 为任意常数. (2) 若k=9，则r(B)=1, 从而 1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为： 为任意常数. 2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为： ,不妨设 ,则其通解为 为任意常数. （22）（本题满分9分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 ； （II） 的概率密度 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用 分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度. 【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度 = == 关于Y的边缘概率密度 = = = （II） 令 ， 1） 当 时， ； 2） 当 时， = ; 3) 当 时， 即分布函数为： 故所求的概率密度为： （23）（本题满分9分） 设 为来自总体 N(0,1)的简单随机样本， 为样本均值，记 求：（I） 的方差 ； （II） 与 的协方差 【分析】 先将 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求 与 的协方差 ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算 性质.【详解】 由题设，知 相互独立，且 ， （I） = = （II） = = = = =