文档内容
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li版权专有侵权必究
图书在版编目（CIP）数据
张宇考研数学真题大全解.专题分册.数学三/张
宇，高昆轮主编.一北京：北京理工大学出版社，
2022. 5（2023. 6 重印）
ISBN 978- 7 - 5763 - 1323 - 9
I.①张… 口.①张… ②高…ni.①高等数学-研
究生-入学考试-习题集IV.①013 - 44
中国版本图书馆CIP数据核字（2022）第079267号
出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司
社 址/北京市海淀区中关村南大街5号
邮 编 / 100081
电 话 / (010)68914775(总编室)
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经 销/全国各地新华书店
印 刷/三河市良远印务有限公司
开 本/ 787毫米X1092毫米 1/16
印 张/ 7 责任编辑/多海鹏
字 数/ 175千字 文案编辑/多海鹏
版 次/ 2022年5月第1版2023年6月第2次印刷 责任校对/周瑞红
定 价/ 199. 90元（共3册） 责任印制/李志强
图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线,本社负责调换2024版《张宇考研数学真题大全解》如期与读者见面了，本书完整地收集了 1987—2023
年考研数学真题及其详细解析,是对考研数学的一个完整见证！
真题是最好的指挥棒，特别是新大纲下的试题(2021—2023年)更是研究当下考试规律的
宝贵材料.关于真题的使用给出如下两点建议.
一、 使用时间上，从9月份开始练习真题即可，因为在做真题前，考生需要经过一轮或两
轮的完整知识点复习与题型训练,所以建议考生在完成《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数
9讲》《张宇概率论与数理统计9讲》和《张宇考研数学题源探析经典1000题》之后再使用真
题，这样效果会更佳.
二、 使用方式上，建议考生一套一套地去做，一套一套地去练(尤其是近些年的试卷)，希
望考生通过反复地练习能积累经验、把握重点、突破计算.
值得一提的是，我们对近10年(2014-2023年)的真题录制了完整的视频讲解，书中配有
二维码，考生可以扫码观看.另外，本书还专门配备了专题分册,此分册完整地汇总了考研数
学每个专题的重要定理、性质与公式等，方便考生做模考后的总结使用.
希望大家能够通过真题的练习完善自己的知识结构与解题方法，更期待和大家在冲刺阶
段的《考研数学命题人终极预测8套卷》《张宇考研数学最后4套卷》相见！
俩矛/
2023年5月于北京淄•第一部分微积分&
函数极限与连续..............................................................（3）
数列极限....................................................................⑹
一元函数微分学的概念................ （9）
:题叫
一元函她分学的计算 ................................................. （11）
他/L
一元函数微分学的应用（一）——几何应用.........................................（14）
^题六
一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与at分不等式......................（18）
一元函数微分学的应用（三）——经济应用.........................................（22）
心I
一元函数积分学的概念与性质................................................... （24）
一元函数积分学的计算....................................................... （27）弄乡考研数学真题大全解（数学三）
一元函数积分学的应用（一）——几何应用.........................................（30）
弓题|・
一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式......... （32）
他I
一元函数积分学的应用（三）——经济应用 ....................................... （34）
V题|・
多元函数微分学..............................................................（35）
丝I叫
二重积分............................................. （39）
题 I %
微分方程..................................................................（42）
。•题I•六
无穷级数......................... （44）
导第二部分线/性代敷&
U地
行列式.................................................................. （51）
余子式和代数余子式的计算 ................................................... （54）
。题
矩阵运算..................................................................（56）
//题四
矩阵的秩..................................................................（60）百
L1
弓题/l
线性方程组..................................................................（63）
:题六
向量组....................................................................（66）
；题L
特征值与特征向量............................................................（69）
&题八
相似理论..................................................................（72）
号题九
二次型....................................................................（75）
常第三部分 椎率论与数理统计@
。•题
随机事件和概率..............................................................（81）
/<•题
一维随机变量及其分布....................................................... （84）
一维随机变量函数的分布..................................................... （87）
弓题四
多维随机变量及其分布....................................................... （89）
题 /L
多维随机变量函数的分布..................................................... （91）
;题六
数字特征..................................................................（95）萨乡考研数学真题大全解（数学三）
大数定律与中心极限定理........................................... （98）
&题八
统计量及其分布 ......................................................... （100）
题九
参数估计............ (103)第
一
部
分
微
积
分第•部分微积分
O函数极限的局部保号性(不等式脱帽法与戴帽法)
(1) 若lim/Cr) = A > 0(或 V 0)=>f(x)〉0(或 V 0).
X-*-*
(2) 若 x -►•时2。(或 W 0)且lim/(j：) = A，则 A 2 0(或 M 0).
❷函数极限的等式脱帽法
lim/(^) = = A + a,其中 lima = 0.
【注】"1"与"2”要求考生“脱帽”“戴帽”的技能娴熟，脱戴自如.
❸泰勒公式(熟记以下十大公式)
2
oo
(1) ex = ] +z + 念 + …+ 今 + …=、％
2! n\ 盆〃！
1 1 二 ”2讦1
(2) sin x = x — —j? + …+ (— 1Y ( 4_i、产* H--------、(— 1)” e 工 i
3! (2n + D! = (2n + l)!
i i m 2”
(3) cos X = 1— yrX2 H------ F (— l)n \f^2n H-------习(—1)”
2! (2n)! 藉 (2n)!
- oo
(4) ln(l +z) = x — x2 + …+ (— l)i — + ••• =、(— I)71-】些，_ 1 v z W 1.
2 n
8
(5) -------= ] +% + 了2 + …+ 寸 +，・・=、寸，| x | V L
1—] 盆
8
(6) y-7— = 1 —x + x2 —]3 + …+ (— lYxn + …=、(一 1)史，\ x |< 1.
i+z M
(7) (1 +z)a = 1 + az + 从土.'」二2 +o(j；2)0 f 0).
(8) tan x = x~\~ §史 + o(W)(j; -► 0).
(9) arcsin x = x~Y + o(j?) (% —► 0).
6
(10) arctan x = x-- j?3 + o(史)(jc —► 0).
o
【注】 每天起床头件事，先背一遍展开式.
❹无穷小比阶
卬， ①
lim^ —
c夭0, ②
• g(z)
18. ③砰乡考研数学真题大全解(数学三)
① 称六工)是比g(z)高阶的无穷小.
② 称/(X)与g(x)是同阶无穷小.
③ 称f(x)是比g(z)低阶的无费小.
((\ f(t)dt r(、
【注】常考带参数或带积分号的式子，比如lim岑Jlim ---------,lim ./(x)等，
z ” — g(Qd£ f gG)dz
J a J a
无穷小比阶本质上是考极限计算，这一点对考生要求较高.
&函数极限的夹逼准则
若给出具体函数求极限，但极限不满足使用洛必达法则三个条件中的至少一个：(1)“¥”
或，，竺，，型；⑵ 分子、分母均可导;⑶ 结果为O,c(c尹0) ,8,则洛必达法则失效.
OO
此时，可考虑用夹逼准则:若①g(x) 8
②当 if 0 时，取 z” =上，即若 lim/(a:) = A,则 ) = A.
n a>->0 n-*oo \ n /
【注】事实上，当工f。时，亦可取= 4,4等，即只要工”—0就可满足，考生见
n n
到相应的题目时，要能够准确识别.
e数列极限的单调有界准则
若S,｝单调增加（减少）且有上界（下界），则limz" = a（存在）.
n—*oo
（1）证什么.
①单调是证:与工”的大小关系.可考虑,a.作差而中一石,与0比大小;b.在同号时，亦
可考虑作商丑旦，与1比大小;C.当Z* —Tn与工，一工„_1同号时，｛工.｝单调等.
②有界是证：3M>0, | 了“ IWM.
【注】①与②本质上都是建立不等关系.
（2）怎么证.
主要有两种证法.
① 用已知不等式.
a. Vz 2 O,sin x V z,如考而中=sin工-W工n，仕”｝单调减少；
b・ 2z + 1,如考 = exn — I 2 而《,｛%｝单调增加；
c. Vx > 0,i— 1 > In z,如考而中=In + 1 W 石，｛%｝单调减少；
d・ a,b > 0, >/ab < ，如考 *1 = /x„（3~x„） M 冬土|一— = *, ｝有上界.
乙 Lj U
② 题设给出条件来推证，比如证明不等式或求函数的最值，均可能会有不等关系产生，从
而得出单调或有界的结论.
❸数列极限的夹逼准则
若①必 M 工.W Z” ；② limy” = a, limz„ = a,贝Ijlimx” = a.
n~^oo *-oo n-^oo
这里,a.①中不需要验证等号;b.②中a可为0 ,c（c尹0）,8.
（1）证什么.第一部分微积分
① 对Xn放缩：y, W而，W Zn.
② 取极限.
【注】石的放缩是难点，只要证明了 取极限很容易.
（2）怎么证.
主要有两种证法.
if ① 用基本放缩方法.
n
J • Umin < "1 + “2 + …+ "■ W " . "max ,
>。时，
1 • Umax < "1 + “2 ----------"" W " • Wmax.
② 题设给出条件来推证，比如证明不等式或求函数的最值.这一点与“2”的情形一样.
❹数列极限的相关综合题
数列极限的存在性与计算问题可与很多经典知识综合，故常作为压轴题出现在试卷中，考
生应多做总结，看看这些综合的点在哪里，打通它们,建立知识结构，便有思路了，比如可
做如下总结.
（1） 用导数综合.
（2） 用积分综合.
（3） 用中值定理综合.
（4） 用方程（列）综合.
（5） 用区间（列）综合.
（6） 用极限综合.弄臂就乡考研数学真题大全解（数学三）第-部分微私
欢专题三一元函数微分学的概念或
§解题要点司
。导数定义（导数在一点处的问题）
f 5 = lirn ■/6+顼一3 = lim 六"八功)
Aa^-*O AAZz X —
Xq
【注】（1）广（孔）= 是指/■对工在工。处的（瞬时）变化率.
工=工o
(f2) (x0)存在 <=>/!(x0) = /+(x0).
疔3 =临竺也上竺也
（3） 高阶导数
AZ0
（4） 常考题型:
①分段函数 （含绝对值函数）在分段点;
J
特指点Xo,
②抽象函数在一点
1.
泛指点X；
,„ J. J/= /1 +为，
（太复杂的点，
③四则运算中的特殊点 U = ' h.........f"，
'不成立的点.
&学习笔记屈
•整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
L ----------------:---------------------------------------------------------"
2 ▲著乡考研数学真题大全解（数学三）
--------------:
考研电子版网站:www. pdf2book. com0
第一部分微耘芬
W❶反函数求导
（1） 设;y = f （工）可导，且f （工）# 0,则存在反函数工=（p（y），且
亲=盅,即"3）=方.
dr
（2） 在v = f（jc）二阶可导的情况下，记f （工）=我0（少=i；O；尹。），则有
/ dy ］ 1 〃 cFy '（dr） '（&） >（w） 1 一 &
必=贰=五=£眼=京=-dZ" = = 寸 • M = 渺・
dy
反过来测有 私=才,&= （♦矛
【注】反函数求导，不仅可以单独考题，亦可能在微分方程的求解中起到关键作用，
考生应注意.
❷分段函数（含绝对值）的求导规则
对于 f（工）x^a,或 r（g）=| 甲危）_a | 等.
S（z）, x （“&） >0,0（工）壬1）,可以先化成指数函数
u（z）妇〉=好，山心，
然后对了求导得［“（了）仙丁 =［理部心丁 =“（工）心"（工）ln“（.）+pO）・《展］.
L. “I工）」
【注】“（①心是命题热点，比如尸，（1一z）i等.
❹参数方程确定的函数求导
设函数L"）由参数方儡研电子版网站zw.pdf2book.com）均二阶可导，"（，。°，其中
1 ［ ▲—弄弩彳考研数学真题大全解(数学三)
是参数则迪=如佃="),d2、= Ml) _
_ 矿Q)矿 Q) — / (t)&(t)
是参敏'则丑=&/& _矿Q) '&2 _ 一矽 dx/dt 0'Q)]3
【注】 参数方程求导也是命题热点，一般是送分题.
❺高阶导数
(1) 用归纳法.
比如，设:y = 3工，则 y = 3xln 3,了“ = 3x(ln 3)2,--.
得出通式 3,6)V 0时，则/(X)在Xo处取得极大值；
② 当”为偶数且卢"> (Xo)>O时,JBIJ /(x)在Xo处取得极小值.
❸凹凸性与拐点的判别
(1) 判别凹凸性的充分条件.
设函数六z)在I上二阶可导.
① 若在I上f'(H)> 0,则/(X)在I上的圈形是凹的；
② 若在I上广'&) V 0,则/(X)在I上的BH形是凸的.
(2) 二阶可导点是拐点的必要条件.
设y〃(z。)存在，且点6/6))为曲线上的拐点，则r(x0)= 0.
(3) 判别拐点的第一充分条件.
设V = /(x)在点X — Xo处连续，在点x = Xo的某去心邻域疗So ,8)内二阶导数存在，且
在该点的左、右邻域内/7X)变号(无论是由正变负，还是由负变正)，则点6,f5)为
曲线y = f(工)上的拐点.
【注】 6/6))为曲线> = /U)±的拐点时，并不要求,&)在点&的导败存在，
如/ = &在工=0的情形.
-
(4) 判别拐点的第二充分条件.
设六*)在工=以的某邻域内三阶可导，且=0,/*3>)尹0,则3/3)))为携点.
(5) 判别拐点的第三充分条件.
设 了(工)在工。处”阶可导，且/m)(xo) =O(m = 2,-,n-l),/")(Xo)#O(n>3),则当
n为奇数时，(血,/(x0))为拐点.
【注】拐点的判别是命题的热点，近年来常出现«(x)^>或［7(t)dt形式的研究对
J a
象,增加了考题的难度.
O渐近线
(1) 铅垂渐近线.
若lim/(x) = 8(或lim/(x) = 8),则x = x0是曲线y = /(x)的一条铅垂渐近线.
【注】此处的工。一般是函数的无定义点•
(2) 水平渐近线.
若lim/(x)= /I，则y = yi是曲线y = /(x)的一条水平渐近线：
x-H-oo
若lim /(x) = y2，贝q y = y2是曲线y = f (工)的一条水平渐近线；
x~»
~~oo
若lim f(jc) = lim f(i) = 'o ,则y = No是曲线y = /(x)的一条水平渐近线.
X~^
T~OO —*oo
(3) 斜渐近线.
若lim =妇s lim 考研电字版网站：ww.pdf2bOok: com」"缶是曲线了 = /XQ的一条斜渐
X
x-*-h» x-*4-o°砰乡考研数学真题大全解(数学三)
近线;
若lim = k2, lim ［行上)一处工丁 = b2，则y = k2x + b2是曲线y =，(z)的一条斜渐
x X.
»—oo x-*■—00
近线；
若 lim §0)= lim ^--- = k. lim ［/(x)—fcc］= lim ［/(z)—fee］=。,则;y = fcr+6是
X X
J^-H-OO X-*—oo X-*—oo
曲线y= M 的一条斜渐近线.
【注】 ①按顺序求渐近线：先(1)后(2)再(3),便可不重不漏•
②求渐近线本质上也是极限计算问题,近年来常出现心"心或p7(Qdt形式的研究
Ja ■
对象,对考生计算能力提出了较高要求.
❸最值(值域)
(1)求闭区间［a,们上连续函数/(x)的最大值M和最小值加.
① 求出/(x)在(a,5)内的可疑点——驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值.
② 求出端点的函数值/(a)和f(b).
③ 比较以上所求得的所有函数值，其中最大者为阳)在［a,们上的最大值M,最小者为
f(H)在［a,妇上的最小值m.
【注】有时这类问题也可命制为“求连续函数/U)在闭区间也前上的值域
⑵求开区间(a,b)内连续函数六z)的最值或者取值范围.
① 求出/(x)在(a,6)内的可疑点——驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值.
② 求(a ,3)两端的单侧极限:若a,6为有限常数，则求lim/(x)与1皿『(£)；若a为一8测
x~*a+ x-^b .
求」四/(了)；若b为+ 8,则求记以上所求左端极限为A,右端极限为B.
③ ［匕较①，②所得结果，确定最值或取值范围.
【注】这类问题有时没有最大值、最小值.
R整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
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16第-部分微秒宓彳考研数学真题大全解(数学三)
J
I专题六 一元函数微分学的应用(二)
篇——中值定理、微芬莓式与微分不等式诵
❶介值定理
设六Z)在［a,切上连续当时，存在［a,们,使得/XQ = p.
常用于找 f(c)=“(由 /(a) = A,/(6) =B,A<^ (£) = 0,"刀 2.
【注】 关键是证f(a) = f(b).
&拉格朗日中值定理
、…,、皿：口(①［a,6］上连续，曲/ ..
设/■(£)满足/ .、占-re.则存在(a,b),使得
l(2)(a,6)内可导，
/(6)-/(a) = /(e)(6-a),
或者写成 /(e) = f(b*(a).
b — a
常用于
(1) 题设中有/■与r的关系或
(2) 证 7^($) > (或 V)0.
(3) 证 F<”> (Q > (或 V)0,” 2 2.
(4) 证 F(/(v),/(r)) = 0.
(5) /(x)可考到单调性.
O泰勒公式及其应用
(1) 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
设/(x)在点五的某个邻域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任一点z,有
f(H)= /(Xo ) + y7 (x0 ) (x — Xo ) H------F 4■产,(x0)(x —Xo)" + # (x —Xo)"4-1»
n\ (〃十 JJ!
其中f介于了，工0之间.
(2) 带佩亚诺余项的n阶泰勒公恙一川.上
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180
第一部分微积分
设阳)在点西处n阶可导，则存在Z。的一个邻域，对于该邻域中的任一点Z,有
/(x) = y(x0) +//(zo)(7 —Zo) H--^^(xoXx —Xo)n +o((z —Zo)”).
«!
常用于
(1) 题设中有了与产0的关系s>2.
(2) 证 F(n,(e)> (V 或=)0/2 2.
(3) ，(工)可考到凹凸性.
= ❺微分等式问题
(1) 理论依据.
① 零点定理及其推广.
设六工)在［a,6］上连续，且fla)f(b) V。，则/(x) = 0在(a,6)内至少有一个根.
【注】 推广的零点定理：若，(工)在(a,b)内连续，lim/(x) = a, lim/(x) = £，且
jr-*a^ T—^b
a • BVO,则/(x) =0在(a,b)内至少有一个根，这里a,b,a,R可以是有限数，也可以
无穷大.
② 用导数工具研究函数性态.
③ 罗尔原话(罗尔定理的推论).
若/n,(x) =0至多有&个根，则八工)=0至多有k + n个根.
④ 实系数奇次方程衣心+a】〃” + ...+a2nX+a2M = o至少有一个实根.
(2) 考法.
① 证明恒等式.
② 函数的零点个数(方程根的个数、曲线交点的个数).
a. 至少几个.
b. 至多几个.
c. 恰有几个.
【注】 常含参数讨论.
(1) 导数中不含参数，即辅助函数心 中不含参数，于是研究函数性态的过程中不
讨论参数，结果中讨论参数，即根据参数的取值不同，研究曲线与工轴的交点个数.
(2) 导数中含参数，即辅助函数r(x)中含参数，于是研究过程中讨论参数，即根据参
数取值不同，研究曲线不同的性态，从而确定其与工轴的交点个数.
③ 方程(列)问题.
④ 区间(列)问题.
。微分不等式问题
(1)用单调性.
①如果 limF(z) 20,且当工e (a,5)时F'(z) 2。，则在(a,6)内F(x)>0.若存在工=a
的右侧一个小邻域有F'a)> 0,则结论中的不等式是严格的(即FGc) > 0).若在z = a
处F(/)右连续，贝U可用F'，考研电子版网站：ww.pdf2book.Com
jr-*a'r
19成乡考研数学真题大全解(数学三)
②如果 limF(x) N0,且当工£ (a,6)时F(z) <0,则在(a,6)内F(x) >0,若存在了=b
的左侧一个小邻域有F'(z) V0,则结论中的不等式是严格的(即F(x)>0),若在工=6处
F(x)左连续，则可用F(b) > 0代替limF(x) > 0.
x-^-b
上面讲的区间(a,5)改为半开区间、闭区间、无穷区间、半无穷区间，结论仍成立.
(2)用拉格朗日中值定理.
如果所给题中的F&)在区间［a0］上满足拉格朗日中值定理条件,并设当工E(a，b)时
^(x) >A(或 A(b 一 a)(或 F(b) 一 F(a) < A(6 — a)).第-部分微积分
-----—
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21放乡考研数学真题大全解（数学三）
专题七 一元函数微分学的应用（三）
0
—— 经济应用 羸
L
从解题要点肾
❶边际分析
在经济学中,若函数y（x）可导，则称r（丁）为六工）的边际函数.r（工。）称为六工）在了。点
的边际值.
边际值,（工。）被解释为:在勾点，当仃改变一个单位时，函数六了）近似（实际问题中，经常
略去“近似”二字）改变I fJ） I个单位. f（工。）的符号反映自变量的改变与因变量的改
变是同向还是反向.
❷弹性分析
（1） 需求的价格弹性.
设需求函数为Q =甲3）3为价格,Q为需求量）,则需求弹性为平=
由于需求函数严格单调递减，故#3）V 0,从而7）d v 0.
其经济意义:当价格为》时,若提价（降价）1%,则需求量将减少（增加）I伽I %.
【注】 若题设要求衍＞o,则取出=—- "3）.
（2） 供给的价格弹性.
设供给函数为Q = 03）3为价格,Q为供给量），则供给弹性为华=忒"P）.
由于供给函数严格单调增加，故03）＞ o,从而％ ＞ o.
其经济意义:当价格为P时,若提价（降价）1%,则供给量将增加（减少）％%.
&学习笔记别
V整理错题，总结经验，查漏补缺,完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响第一部分微积分
23彳考研数学真题大全解(数学三)
专题八一元函数积分学的概念与性质云
。“祖孙三代"的7条关系
(D/a)为奇函数愆)为偶函数.
(2) /(^)为偶函数=>/(了)为奇函数.
(3) /(x)是以T为周期的周期函数=/G)是以T为周期的周期函数.
(/•Q)出为偶函数，
(4) /(x)为奇函数7 °
7(0为偶函数(a/0).
IJ a
为奇函数，
(5) /(x)为偶函数q ：
(J f (Odt不确定(a尹0).
r/(x)是以T为周期的周期函数，[J/(r)dr是以T为周期的周期函数，
(6) < fT , °
Uo六"& = ° J7(r)dr是以T为周期的周期函数(a # 0).
CT r^H-T
(7) f成)是以T为周期的周期函数》/(x)dc = ya)dr,V常数a.
J 0 J a
【注】考生要熟记以上七条，常考客观题或大题中的某一关键环节.
&定积分定义
(1)基本形(能凑成Z).
n
若数列通项中含下面四种形式：
①n + iCan +bi ,ab 尹。方②必 ③〃2 + 而；④
n
则能凑成三，比如
n
① 〃 + , = "(1 + j)；②〃之 + / = 〃2 [] + (：)]；③〃 2 + 无=〃2(1+§).
于是可直接写定积分定义
削 亨 工地，
g/(0 + z・)M=j)(
或 回£/(°+壬勺守
=j：gw・
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24第-部分微积分
（2） 放缩形（凑不成Z）.
n
① 夹逼准则.
如通项中含n2+i,则凑不成三,这时考虑对通项放缩,用夹逼准则.
n
② 放缩后再凑2.
n
如通项中含号1,虽凑不成#,但经过放缩 C V V （守）2,则可凑成
（3） 变量形.
若通项中含f,则考虑下面的式子：
削郭。+亨件=）＞）&.
\整理错题，总结经验〉查漏补缺，完善思路 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
25乡考研数学真题大全解（数学三）第一航分微液芬
三❶判别反常积分的敛散性
(1)判别时要求每个积分有且仅有一个奇点.
■p I&'OVPV 1 时,收敛，
z9x p# ° ^ 1/＞21 时， 发散，
(Z)尺度＜
〉］时，收敛，
J1 ， 侦＜1时,发散.
【注】考生应掌握各种变体形式，如『井萨 4：云布血拿
❷华氏公式(点火公式)大全
fi . , 「■? ,
sin x dr = cos% dr
J 0 J 0
-~- • -~I.........寻• L n为大于1的奇数,
n n —乙 3
=Y
气
1 . ....号’专，71为正偶数.
2 • -—- • -—|...........-|- • 1» n 为大于 1 的奇数,
. n n — Z 3
sin% dr = s
2 . --~- • -一-.... y • y» n 为正偶数.
n n ——Z Z Z
〃为正奇数,
w•…土 •号，〃为正偶数•
(0, 〃为正奇数,
r2n f2x
J cos% dr = J sin% dr = < n —] Mi.…身•号，”为正偶数•
n
【注】以上公式必须熟记，这是考试中命题频率极高的知识点.
❸对称性下的定积分问题
考生应能理解并解决
C2n
(1) x(x — 1) (x — 2)…(z — n)*'*(x — 2n)dz；
J o
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27考研数学真题大全解（数学三）
这两种典型问题均使用了对称性命题的手法.
o定积分分部积分法中的“升阶”“降阶”问题
（i）“升阶”问题:如已知则
J（X— I）'/"（工）dr = §（工—l）3f（x） L —［（工一I）3/7（j：）dz.
（2）“降阶”问题：（1）的反向题.
❺求分段函数的变限积分
设 /（x）=巧='""'求 FG） = ［7（t）dt.
［＜pz（x）, x e 板， Ja
对于这种题目考生要熟练掌握两个要点:①分段讨论;②累积函数.
0变限积分的直接求导型
可直接用求导公式（I）,（ n）求导的变限积分称为直接求导型.
(I) /（z）dzj = 顷（工）］. ?'（*）.
（n）［J： 击］=yt 使（工）］,，2（h）—• "1（工）.
❼变限积分的换元求导型
需先用换元法处理,再利用“6”中求导公式（i）,（n）求导的变限积分称为换元求导型.
❻变限积分的拆分求导型
需先拆分区间化成若干个积分,再利用“6”中求导公式（I）,（ n）求导的变限积分（往往带
绝对值）称为拆分求导型.
0变限积分的换序型
积分是一种累次积分（即先算里面一层积分,再算外面一层积分），一般里面一层积分不易
处理，故化为二重积分再交换积分次序,称这种类型的变限积分为换序型，这种题往往也
可利用分部积分法来处理.
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路月 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
28第-部分微积分考研数学真题大全解（数学三）
卜专题十一元函数积分学的应用（一） 几何应用”场
嗯、飞掐........................ ..............................
§解题要点场
o旋转体体积
(1) 绕 z 轴：VX = j 7ry(x)dz.
(2) 绕；y 轴:Vy = j 2nx | j/(x) | dr(柱壳法).
【注】 绕了轴，'轴处理方式不同，考生要注意.
❷平均值
7= 1
匚 | /(x)dz.
b — aJ a
Cb 一
【注】 积分中值定理：y（x）dx = /（?）（&-a）.故r=f（Q,这一考点需注意.
汗习笔记宣
\整理错题，总结经验，查漏补缺,完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
f go0
第一部分微积分
叽，&乡考研数学真题大全解(数学三)
&解题要点动
❶通过证明某特殊积分等式求特殊积分
如证明了J xf{x)Ax = ^2^-jo/(x)dx(n = 1,2,3,…)，则可得
J x | sin x | dr =专j I sin x \ dr = w2k.
e积分不等式
(1) 用函数的单调性.
首先将某一限(取上限或下限)变量化，然后移项构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证
明不等式，此方法多用于所给条件为“/(工)在［a0］上连续”的情形.
(2) 处理被积函数.
① 用分部积分法.
利用分部积分法处理被积函数，再利用已知条件进一步推证.
② 用换元法.
见到复合函数的积分，可考虑换元法.
(3) 曲边梯形面积的连续化与离散化问题.
① 若函数/(x)在［1,招上单调增加，且非负，则有
/(l)+y(2) + - + /(n-l) < W /(2)+/(3) 十 …十 f(n)；
② 若函数/(x)在［1 ,归上单调减少,且非负，则有
/(2)+/(3) + -+/(n) < J ：六工)& < /(I) + /(2) H------ f(n 一 1).
|学习笔记导
\整理错题，总结经％^漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响第一部分微积芬考研数学真题大全解（数学三）
l专题十二一元函数积分学的应用（三）
0
——经济应用
J
❶经济应用求总量
QQ) = QQo) + f Q，(u)du,i > to.
Jt0
考研电子版网站：www.pdf2book.com3
第一部分微积分
乒题十三多元函数微分学“
解题要点号
o多元函数的复合函数求导法
(1)链式求导规则.
设 Z = z(u,v) ,U = ,P = v(x,j/),写成复合结构图为
＜：X；
dz dz du . dz dv
于是 —dj'—C =d u • d x —I—:—dv • dx,
3z dz du dz dv
— —• — —|— —I •—
dy du dy dv dy*
(2)全导数.
若N = = U(J7),P = ,即Z最终只是1的函数，则亲叫全导数.写成复合结
构图为
dz _ dz t du | t dv
于是
dr du ir Sv clr'
❷多元函数的隐函数求导法
以下设所给函数的偏导数均连续.
(1) 一个方程的情形.
设F(x,y,z) = O,Po(x0,y0，翔)，若满足①F(P())=。:②尺^。)丰0,则在Po的某一邻
域内可确定z = z(x,y~),且有
dz _ Fx dz __ F^y
dx P z
(2)方程组的情形.
冗京；当满嘿斜冲可确定 ” = 其复合结构图为
设
Z = 2(1).
Z
3(F,G) 3(F,G)
d_y _ _ 3(、 z,. z)一 _dz _______ 3 _ (、 一 ,工)
且有 &二匚2(F，G)'五――3(F,G)・
若耕电子版唠有厂垩另pdf2book.
35 a：：—乡考研数学真题大全解（数学三）
e多元函数的极值、最值
（1）无条件极值.
设f（x,y）二阶偏导数连续，记XoUo,>o）.
① 取极值的必要条件.
X。（工。必）为极值点，则（乙/）x。= 0，即杪丁°'二：'
、1/y\X（）^yo）— 0.
② 取极值的充分条件.
已有
3供孔（方•
(/i»/0xo = o=>f(x ,y) —f(xo,yo)=夺(Ax
记
/LCc。，'。)— A,
fmye)=幺6必)B 3s= AC — B2.
./^y(xo^o) ==C,
a. 正定.
当>0, T， >0,即△>（）时,fCx,y）>fCx0,y0）,f（.x0,y0）为极小值.
1 Xo j * f W x§
b. 负定.
rll f"
当已| VO,； 匕 >0,即/\>0时V/&。必）,/6必）为极大值.
IX。 J yr J yy xo
" r n
c. 当方 VO,即AVO时，二次型变号，& 3。）非极值点.
J J yy X。
r» r ft
d. 当; * =0,即△ = 0,（西,比）可能为极值点，也可能不是极值点.
J y*： J yy x0
（2）条件最值与拉格朗日乘数法.
求在约束条件（p（x,y） = 0下/（x,jz）的最值.
① 构造辅助函数 F（x,j/,A） = +X（p（x9y）;
f&，y）+ 祁;&,少=0,
② 令< fy^x.y'） +祁；（了,少=0,
（p（.jc9y） = 0；
③ 解方程组得到驻点，比较驻点处函数值的大小，取最大者为最大值，最小者为最小值.特
别地,只有一个值时,根据实际问题，其即为所求最值.
❹已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z = fg）
已知偏导数奈,亲或偏增量△/,△产,求n = f（工,y）.
【注】这种考题需注意在首次积分时，加的是一个函数而不是常数.
.
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36第一部分微积分
0给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(")
如给出少+六工，切=0,求fa,y).这是一道极为重要的题源.
i
|学习笔记
R整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路? 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
Lt.放乡考研数学真题大全解（数学三）
__________________
___________...................
考研电子版网站：www. pdf2book. com土 o二重积分比大小
(1) 用好对称性.
(2) 用好保号性.
【注】 这种题目常考客观题.
❷二重积分的计算
(1)直角坐标系与换序.
① X型积分区域(如图(a)) = J /(右少如.
② 丫 型积分区域(如图(b)) = f /(x,y)dr.
- JJ J c J g (.y)
【注】有一点需要指出，这里的下眼都必须小于等于上限.
(2)极坐标系与换序.
在极坐标系下，按照积分区域与极点位置关系的不同，一般将二重积分的计算分为三种情况.
= j^cWj 2 ^/(rcos 0,rsin 0)rdr(极点。在积分区域jD 外部，如图(a))；
J。/(rcos 0,rsin 0)rdr(极点 O在积分区域D 边界上，如图(b));
D
rr r2n
例顶(了，')也=Jo也Jo y(rcos 0,rsin 0)rdr(极点O在积分区域。内部，如图(c)).
考研电子版网站：www.pdf2book.com弄乡考研数学真题大全解(数学三)
(4)关于积分区域D.
图形变换
直角系方程给出
关于积分区域D〈极坐标方程给出
参数方程给出
、动区域(含其他参数)
(5)关于被积函数
分段函数(含绝对值)
最大值、最小值函数
取整函数
关于被积函数六 符号函数
抽象函数 工
复合函数g，Y
、偏导函数
【注】 以上的(4),(5)是各种题型的总结，考生需通过大量做题掌握各种积分区域D
与各种被积函数/(x,>)的命题.
'\整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思跄三 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
WWW. pi第一部分微居芬
41考研数学真题大全解(数学三)
+Z s
[专题 「微分方程
o一阶微分方程的求解
(1) 齐次型.
① 能写成J = /(^-)=＞令乎=Q•换元后分离变量，即y =虹》* = "+工斧n原方
程化为 h 平 + “ = /•(“)》"平 =—7FT— = [ —•
Ax j (u) — u x J j (u)—u J x
② 能写成A = /(y )=＞令* =奸＞换元后分离变量，即％ =咐》冬=以+ 丁原方
程化为了平+ 〃 = /3Q 洁一=虫M 7TV—=[文
ay j (u) — u y J j {u) — u J y
(2) 一阶线性型(或可换元化为它).
能写成 y +/＞&)、= Q(J：)=＞y = eT四• q(工)cLc + c].
e用变化率建微分方程的应用题
(1) 人口增长问题.
(2) 曳物线问题(追踪问题).
(3) 经济问题.第一部分微积芬乡考研数学真题大全解(数学三)
, 专题十六无穷级板思
I I
解题要点
o数项级数的判敛法
QO
(1)正项级数》＞,必＞0.
n=l
① 吏“”收敛＜=＞｛S,｝有界.
n=l
② 比较判别法.
oo oo
给出两个正项级数习U”和、如果从某项起有成立，则
n=l n=l
OO 8
a. 若、q收敛,则S "■也收敛.
n=l n=l
oo oo
b. 若、"“发散，则、s也发散.
③ 比云判别法的极&艮形式.
设、“■和、S都是正项级数，则
n=l n=l
若收敛，则收敛,
是比少高阶的无穷小T 二
、若、以71发散，则吏4发散;
71=1 n=l
oo oo
性'?］ ［若 收敛，则云q收敛,
朋vn 8=＞功是比Un高阶的无穷小A ":
、若习％发散，贝U力么发散;
n=l n=l
A # 0=＞«„与vn是同阶无穷小以”与、S同敛散.
n=l n=l
［注】(1)比较判别法及其极限形式实质上是跟"别人"比，故需要找到合适的尺度.
(2)四个重要的尺度.
IqlVl,
①等比级数 Y㈤I｛一 ］-q‘
»=°=1 4
I发散，
Aj收敛，力＞1,
②力级数、
乒］发散，力W1.
n~l
考研电子版网站：www. pdf2book. com疗部芬籁两
③ 广义，级数史p>\
^2 nV | 发散，p< 1.
④ 交错0级数如UL1
护i n〔条件收敛，。V/> < 1.
■' ' - ^ ^
1,发散，
«-•<» un
'=1,失效.
<1,收敛，
⑤ 根值判别法（柯西），lim %「= pj>l,发散，
n-*oo
、=1,失效.
OO
（2） 交错级数、（一1）1“，，“” >0.
n=l
莱布尼茨判别法:①limu„ = 0;②“” 2 51（麓=1,2, — ）.则级数收敛.
n-*oo
OO
（3） 任意项级数^un,u„符号无限制.
n=l
8 8
① 若S 1«„1收敛，称、“■绝对收敛.
n=\ n=l
OO OO OO
② 若、I un I发散，习“”收敛，称习条件收敛.
〃=1 n=l n=l
❷数项级数的常用结论
OO
>0时，、记收敛（limu„ = 0,从某项起心< 1,记< Un）9
8 n=l
l°°
（1）设&,收敛，则V
OO OO OO
n=l M„任意时，、讫不定（反例：、（-1）”丰收敛，但、【发散）.
、 n=l n=l V W n=l ”
2°时，史如si收敛. si W “史与郊）,
n=l
00 ]
OO Un任意时，、“”“那不定（反例g = （— 1）"『
（2）设、皿收敛，则< n=l
n=l
=(-D" W (—1)+ ， ] =一 ,1......
unuM
4n /〃 + i J代3 + 1)
级数发散).
Un 2 0 时，、站，2 «2«-1 均1
n=l n=l
⑶设、％收敛，则任意时,、不定（反例：1 — ~ +与—才+亏—
n=l n—1 n=l
1 00 ]
4+- = S （-lr1 - 峻，相其奇数项和与Oc项和都麴）.
16 七 n
⑷若寮收敛,则M #解燧德k志（祥。玷））・
45 ▲弓h&乡考研数学真题大全解（数学三）
00 00
（5）若&“收敛，、q收敛，则
n=l n=l
"◎0必>0时，觉3”收敛S
n=l
f 任意,q 2 0时,觉 3. If 收敛（耍1也y = lim|G = 0),
1)n n-*oo /
»=1 '
un任意必任意时疙“M不定（反例g = q =（-D"丰）.
、 ”=1 VW
【注】以上结论不要死记硬背，而应在做题中逐渐熟悉其分析过程・
❸关于蓦级数的收敛域的抽象型问题
（1） 阿贝尔定理.
当蓦级数吏a„x”在点* = xi（xi 乂0）处收敛时，对于满足|工| V |xi |的一切工,蓦级数绝
n=*0
对收敛;当蓦级数觉a#”在点x=x2（x2^0）处发散时，对于满足01 > & I的一切x,
”=0
蒂级数发散.
（2） 结论1.
OO
根据阿贝尔定理，已知Sa„（x-Xo）B在某点z =zi（zi产工。）处的敛散性,确定该幕级数
n=0
的收敛半径可分为以下三种情况.
① 若在工=心处收敛，则收敛半径R> l^-xol.
② 若在工=与处发散，则收敛半径R< Ixi-xol.
③ 若在工=Z1处条件收敛，则R= Ixj-Xol.【重要考点】
（3） 结论2.
已知、％（工一工1）”的敛散性信息，要讨论»（工一了2）“的敛散性.
① （工一的）,与（x-x2r的转化一般通过初等变形来完成，包括a. “平移”收敛区间；
b.提出或者乘以因式（x-xo）*等. 责
② a,与久的转化一般通过微积分变形来完成，包括&对级数逐项求导;b.对级数逐项积
分等.
③ 以下三种情况,级数的收敛半径不变，收敛域要具体问题具体分析.
a. 对级数提出或者乘以因式（工一工。）*,或者作平移等变换,收敛半径不变.
b. 对级数逐项求导,收敛半径不变,收敛域可能缩小.
c. 对级数逐项积分,收敛半径不变，收敛域可能扩大.
Q幕级数的展开问题
（］）考法
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—兑'①函数展开六工)=»口”.
② 积分展开/(J：)dz =-----u—・
考法, ^ J J a〃 ) Z2 十 1
③ 导数展开夸2 =
CLZ
、④无穷小比阶，工f 0时，八T)= »,*■的无穷小比阶问题.
(2)工具.
① 先积后导 f(z) = [[/'(■!)&].
工具＜ ②先导后积fM) = f3) +「r(z)dr.
J工0
'③重要展开公式.
❺级数的求和问题
(1) 直接套公式.
(2) 用先积后导或先导后积求和函数.
① 、(072 +6)工6先积后导.
② S壬7先导后积.
J an + b
^n~x~o ① ②
(3) 用所给微分方程求和函数.
步骤:①验证v, J, /满足所给微分方程；
② 求微分方程的通解；
③ 一般要根据初始条件定G ,G ,或求Z =视时的数项级数的和(比如z =号，1等).
(4) 建立微分方程并求和函数.
步骤:①求寸(或/,/)，根据所给a“ ,aM ,ai的关系式建立微分方程；
② 求微分方程的通解；
③ 将通解展开并合并成即可求得a“的表达式.
(5) 综合题.
与导数(斜率)、积分(面积)、方程或数列极限等问题结合，亦可命制综合性大题.
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47彳考研数学真题大全解（数学三）
! V整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路二 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
--------------------------*................... r
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0■心忑用 『寸，沌料"Wf鼻戒态扩.’ *：，
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老而,宅 j'W 可祜：www.pdf2book.coii I
48第
二
部
分
线
性
代
数考研电子版网站：www.pdf2book.com第二部分线性代数
j
专题一行列式，
w解题要点w
土 ❶行列式的计算
(1)化为“12 + 1”型行列式.
①主对角线行列式.
Qu a12 …aln an 0 …0 an 0 …0
0 a22 …a2n a2i a 22 0 0 a22 ,,, 0 n
.
.
•・ .
.
.
•
・
,
.
•
—
,
・
•
・
•
• I
£ =
I
1
如
0 0 …am Qn2 ••• Qrm 0 0 …am
②副对角线行列式.
Q11 Ql,n-1 Qin 0 … 0 a\n 0 ••• 0 Qi”
<221 …a2tn-i 0 0 ... a2,„-i a2n 0 ••• Q2,n-1 0
• •
• ・ ~ ・
• • •
ani ••• 0 0 dn\ … 0 0
仁1”弓2,n~1 . ■ *^nl •
③拉普拉斯展开式.
设A为m阶矩阵,B为n阶矩阵，则
④范德蒙德行列式.
1 1 - 1
Zl X2 … Xn
X1 xl ••• 蒙=IT (工,一而).
xF1 XF1 …z 尸
(2)用递推法(高阶-低阶)计算行列式.
① 找出递推公式,即找出D„与Di的关系.
② Di与D„的元素要有完全相同的分布规律，只是Di比D„少了一阶.
【注】递推法是考试的一个难点，也是重点，考生需要重视.
* •'
(3)用行列j式性质计算行歹段电子版网站:www-Pdf2book.com豉^^8^乡考研数学真题大全解(数学三)
用行列式性质将要求的行列式进一步化成已知行列式.
(4) 用矩阵知识计算行列式.
① 设 C = AB,4,B 为同阶方阵,则 |C|= |AB|= \A\ \B\.
② 设C = A+B,4,B为同阶方阵测|C|= \A+B\，作恒等变形，转化为矩阵乘积的行列式.
③ 设A为〃阶矩阵，则|A* |= lAl^1, | (A-)- | = l \A\^A\ = \A\(^2.
【注】③极为重要.
(5) 用相似理论计算行列式.
n
① I A| =
IJa.
t = l
② 若A相似于B,则|A|= |B|.
【注】以上关于行列式计算的公式易记，好用，考生应熟知.第二部分线性代数
53砰孕考研数学真题大全解（数学三）
［专题三二子式和代数余子式的尹算2
o余子式和代数余子式的计算
（1） 用矩阵计算代数余子式.
当⑷尹0时，妃=|A|A-J.由于A，由A„组成，求出A* ,即得到所有的A”但要注意,
此方法要求IA |尹0,这是前提，也是一种限制.
（2） 用特征值计算代数余子式.
设A为3阶矩阵，当A为可逆矩阵时,记其特征值为义1,描,；13 .则A"1的特征值为有1，京,
人丁，且由A，= lAlA"1 = AiA2A3A-1，可知4*的特征值为
A * = Ai A2A3 • Ai1 == A2A3 9A2 =Ai A2A3 , A2 1 = A1A3 9A3 = A1A2A3 * A3 1 =A1A2 9
Ai A21 A3r
故由 A* =A12 A22 A32 9
_A】3 A23 人33_
知 Au + An + A33 = tr(A * ) = A * + Az* + A3 = A2A3 + Ai As + AiA2-
、整理错题，总结箜邕*补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘 必有回响
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▲ 54第二部分线性代数乡考研数学真题大全解(数学三)
［ 1
专题三矩阵运算
4-----------------------------——么
7
解题要点方
。求矩阵A的”次ffA"
(DA为方阵,r(4) = 1且
于是 A"= (apT)(aflT)…(afiT) = a(俨 a) (—a)…(俨 a)/
3
(.为=1 讷)"XA — [trCA)]iA.
⑵试算出(或4),找规律.
① 若 A2 = kA,则 A" = k^A.
4 (A2n = knE(若％ =—1,则 #=E),
② 若上=函，则｛ 有
[A2n+1 = knA.
亦有可能试算/,如A3 =姐,这些次数不会太高.
(A3) —B+C.
若 A = B + C,BC = CJB,则
An = (B + C)" = B” + nfliC+ "(侦 1) 旷2(?2------C".
Z!
① 若 B = E,则 4” =E + nC + w(w~1)C2-|------C".
L!
② 若 BC = CB = O,则 4" = B" +C".
(4) 用初等矩阵知识求PTAP?.
若R ,R均为初等矩阵,m,n为正整数,则HAP?表示对A作了与Pi相同的初等行变换,
且重复汉次;再对作了与P2相同的初等列变换,且重复n次.
(5) 用相似理论求4”.
若A 〜A,即 P^'AP = A,则 A = MPT,A" = PA-P1.
【注】求4”是一类区分度很高的题目，未来很有可能在这五个方面命制考题.
❷关于4*的公式
设A为13 2 2)阶可逆矩阵，则
① AA* = A,A = \A\E.
② |A，| = ML.
③ (AT)- = (A*)T.
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56第二部分线性代数
④ （姐）* = k^1 A' ,（-A）, - （-I）"-1 A'.
⑤ °=出4，・
⑥ A* = | A|A-1.
⑦ （A，）_1 = ]a\a =（妒'）*.
⑧ （A*）* = | A |f.
⑨ | （A*）,| =⑷".
⑩ （AB）* = B'A'.
【注】这些公式要熟记并会用.
❸分块矩阵
「A A2~] 「Bi B21 「Ai+8i A2 +B2
（1）加法:同型，且分法一致，则4 4 + „ D = 4 4
lA3
A4」LB3 B4」 LA3 +B3
a4 + b4
(2)数乘M仁 kB~
ikC kD-
A B' X Y~ AX + BZ 物幻凄可乘、可加•
(3)乘法:
-C D- -Z W- -CX + DZ
【注】对于(3)的运算要注意，分块相乘后，左边的仍在左边，右边的仍在右边.
(4)求逆.
①若A=，其中B是r阶可逆矩阵,C是s阶可逆矩阵，且A可逆，则
-Xz L -
,1 = 「 fl-】 O 1.
A
L—C^DB1 C~i」
②若
FB DI 「O Bl rD B~\
其中B,C可逆，则
-fl-i
A?1 =
-O 一矿皿-'」
A「
Si
A2
③主对角线分块矩阵p= ，副对角线分块矩阵!2 =
A,_ As 一
一
若AG = 1,2，…,s)均可逆，且P,Q均可逆，则
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57考研数学真题大全解（数学三）
【注】考研对分块矩阵的运算要求不太高，掌握以上四种运算公式即能达到要求.
❹初等矩阵的性质
① |码|=一1,国#。）| = 1,|E,0）| = L.
② 琮=E皿（k） = E,t 以）,E?以）=Et（k）.
③ E^=Eij,E§@） = E,,（—b）,E「（k） =E,（+）.
④ Ef = I Ey | E、】=―Ey 9
Eg = | Eij 以）| EF a） = Eij （- R）,
e；，以）=|E,a）|E~1a）
【注】记住④，能很快解决问题.
❸求解矩阵方程
根据题设条件和矩阵的运算规则,将方程进行恒等变形，使方程化成AX = B,XA = B或
AXB = C的形式.
（1） 若A或4且B可逆，则分别可得解为X = ATxB,X = BA1 ,X = A^CB1.
（2） 对于AX=B,若A不可逆，则将X和B按列分块，得
A（&,金，…，&）=（"，••，"＞，即 A& = A3 = 1,2,•••/.
求解上述线性方程组，得解&，从而得X =（盆，如，
（3） 若无法化成上述几种形式，则应该设未知矩阵为X=（向）,直接代入方程得到含未知
量为祐的线性方程组，求得X的元素心，从而求得未知矩阵（即用待定元素法求X）.
【注】（2）与（3）考查较多，若含参数，则易命制大题.
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---------------------------------------"乡考研数学真题大全解(数学三)
o矩阵的秩的15个公式
(1) 设A 是 mXn 矩阵，则 0 < r(A) < min(m,n}(由定义).
(2) 设A是m X n矩阵，则r(kA) = r(A)(^丰0)(由定义).
(3) 设A是mXn矩阵,P,Q分别是m阶、〃阶可逆矩阵，则
r(A) = r(B4)=厂 G40) = r(PAQ).
【注】 若r(AB) Vr(4),B为n阶矩阵，则r(B)V”.
^
(4) 设 A 是m X 7i 矩阵,B 是〃 X s 矩阵，则 r(AB) min(r(A) ,r(B)}.
(5) 设 A,B 为同型矩阵，则 r(A + B)1)阶方阵，则
(1) 当 〃 =2 时，(A*)* == A；
(2) 当n>2,且A是可逆矩阵时,(A*)* = | A \^2A；
(3) 当”>2,且4是不可逆矩阵时,(A-)* =O.
(11) 设4 是〃阶方阵,占=4,则 r(A) + r(A — E) = n.
(12) 设 A 是〃阶方阵，充=E,则 r(A+E) +r(A —E) = n.
(13) Ax = 0,其基础解系所含向量的个数s = n-r(A).
(14) 若A〜A,则rii = n — r(A,E —4)，其中Xi是心重特征根.
(15) 若A〜A,则r(A)等于非零特征值的个数，重根按重数算.
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==£^1^60 ■第二部分线性代数
【注】秩是必考点，考生应多做训练，反复运用以上公式与结论.
V
反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------~放乡研数学真题大全解 （数学三）
JT----
-f ---,---
----------- -J,… •.
-
考研电子版网站：www.pdf2book.com第….部分线性代数
土 O解含参数的具体型线性方程组
(1) 将系数矩阵(齐次方程组)或增广矩阵(非齐次方程组)先用初等行变换化为阶梯形,
再用方程组理论判别、求解.
(2) 对“方形”(方程个数=未知数个数)的方程组.
① IAI尹00方程组有唯一解<=>A不是/(A)的零点.此时可用克拉默法则求解.
② ⑷=00人是了Q)的零点.得出这些零点后，逐个代入方程组，再求解.
③ 注意这个知识点的变体形式:含参数的向量之间的关系.
。求解两个具体型方程组的公共解与同解问题
(1) 求两个方程组的公共解.
① 齐次线性方程组= 0和B^„x = 0的公共解是满足方程组= 0的解,即联立
LjB」
求解.同理，可求仙=a与Bx =p的公共解.这里对读者的计算能力提出较高要求，理论
上没有什么难点.
② 求出4gx = 0的通解M+»+•••+△/,,代入Bmx»x = O,求出定(，=1,2，…,s)之
间的关系，代回= 0的通解，即得公共解.
③ 若给出A^„x = 0的基础解系&&,•••,&与B^nx = 0的基础解系作,争，…，华,则公
共解
r = 话1 + 妫鸵 怎& = Zim +^2可2 H I血,
即 +k2^2 +— If — I2TI2 ~ ,,, — lllfl — 0，
解此式子，求出ki或ZjG = 1,2,•••“；/ = 1,2,•••,£),即可写出y.
(2) 同解方程组.
若两个方程组A承“X = 0和BsXnx = 0有完全相同的解，则称为同解方程组.于是，
Ax = 0,Bx = 0是同解方程组
0 Ax = 0的解满足Br = 0,且Re = 0的解满足Ax = 0(互相把解代入求出结果即可)
<=>r(A) = r(B)，且 Ax = 0 的解满足 Bx =。(或 Br = 0 的解满足 Ac = 0)
0rCA) - r(B) = r([:])(三秩相同，此方法较方便).
❸抽象型方程组的解的判定
主要有以下三条.
(DAx =0： 总有解，至少有零解.
(2)4承小 = 0： r(A)=",只有零解；
r(A) V辆有5睇耕铲 Pdf2book. com
63砰乡考研数学真题大全解(数学三)
(3)4湫“* = b： r(A) # r(A i b),无解;
r(A) = r(A i b)=兀,有唯一*解；
r(A) = r(A : b) = r< n,有无穷多解.
【注】常考如下这些结论.
(1) 若Ar = O只有零解，则r(A)=〃(列满秩)# r(A i b)=n,故如=5可能有解,
可能无解.
(2) 若Ax = 0有无穷多解(有非零解)，则r(A) 唯一解 <=4 唯一表示法.
③ r(4) = r(A I fl) 线性无关.
(3) 若向量个数小于维数，则
儿叭心IT，E , 、初等行变换D r
化阶梯形4 = (ai ,a2 »,••,«„)------------口1_ 1
① r(4) V n<^>线性相关.
② r(4) = n<^>线性无关.
③ 若线性相关，问a,与皿格，…,a,的表示关系,则回到“2”即可.
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亡去8第二部分线性代数
【注】含参数亦常考.
O求极大线性无关组
给出向量组ai ,血，…,a”.
（1） 初等行变换不改变列向量组的线性相关性.
（2） 求此极大线性无关组.
① 构造 A = （ai »a2
② A初等行变换》b（阶梯形）.
③ 算出台阶数r,按列找出一个秩为r的子矩阵即可.
&向量组等价
给出向量组（I ）：ai ,血，・・・血；向量组（口）：$,&,・・・，A・
在a’G = 1,2,— ,5）与A。= 1,2,…"）同维的条件下，若a均可由。1,段，・・・,&线性表
示，且肉均可由a】，a2,…，垢线性表示，则称（I）与（U）等价.
【注】（1）向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念.矩阵等价要同型，当然行数、列
数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等.
（2） 4,B 同型时,A^B<=>r（A） = KB^PAQ = B（P,g 是可逆矩阵）.
（3） 岛（i = 1,2,・・•,$/ = 1,2,・•・,£）同维，则
{ai,a2r-»a5）=
{$，肉，…，A}
0{ai血，…，a$}与{01屈，…道}可以相互表出
<=>r（ai=尸（R，知•••，△）,且可单方向表出，即只需知血，…，。,与，1，
处,…遇这两个向量组中的某一个向量组可由另一个向量组线性表出
0 厂（。
1
血，・・・,亿）=厂（3，$，•••，阳=尸（。
1
，。
2
，・••，4（C …，必驰密豚：册,呼遂见Q邵1,援饥，…,M，），即部；=薄& =
69豉旋乡考研数学真题大全解(数学三)
1,2,•••,”),其中r,= 心0：为非零向量，则依为a的属于特征值兀的特征向量.
(3)AP = PB,P可逆=>P^AP = B=>A 〜B^>Aa = Ab.
一1] rr
\ =k \ =>&是特征值,
(4)若A的每行元素之和均为奴则A 是A的属于特征值
_ij Li.
k的特征向量.
❹用秩命题
若r(A) = 1,则万=…=An-i = 0,A„ = tr(A)，且&，…,是n— 1重特征值义=。的
线性无关的特征向量.Cl
第二部分线性代数
71 —乡考研数学真题大全解(数学三)
❶A的相似对角化
设A为”阶矩阵.
(1) 充要条件.
① 4有〃个线性无关的特征向量或〜A.
② 兀是 重根，则 n, = n — r(A；E — A)<=>A 〜A.
(2) 充分条件.
① A是实对称矩阵=>A〜A.
② A有"个互异特征值=>A〜A.
③ 室=A=>A〜A.
④ 应=E*〜a.
⑤ r(4) = 1 且 tr(A) 乂 0=>A 〜A.
(3) 必要条件.
A~A=>r(A)=非零特征值的个数(重根按重数算).
(4) 否定条件.
① A尹04 = 0(应为大于1的整数)5 不可相似对角化.
② A的特征值全为奴但A尹kE=>A不可相似对角化.
❷A相似于8
设A,B是两个〃阶方阵，若存在71阶可逆矩阵P,使得P- AP = B,则称A相似于B,记成
A〜B.
【注】 若4〜B,B〜C,则A〜C.这个性质(传递性)以后常用.
(1) 四个性质. 百-
若A〜B,则
① I A | = | B I.
② rG4) = r(B).
③ tr(A) = tr(B).
④ 火4 =扁(或 |AE-A|= |AE-B|).
(2) 重要结论.
① 4〜B=>AT〜BT .A"1〜矿1,4*〜B*.(后面两个要求A可逆)
② 4 〜〜B*",，(4)〜/(B).
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72第：部分线性代数
【注】 由 P-lAmP = Bm,p-1f(A)P=f(B'),有妃=PB-"p-i,/(A) =P/(B)PT.
若 B = A,则妃=玖叩-1,/(建)=/y(A)pT.
❸实对称矩阵与正交矩阵
（1） 若A为实对称矩阵，则
① 特征值均为实数，特征向量均为实向量.
② 不同特征值对应的特征向量正交.
（即人1 丰义2乏&1 _1_ = （&，&2）=。）
③ 可用正交矩阵相似对角化.
（即存在正交矩阵P,使 ^AP = PTAP = A）
（2） 若P为正交矩阵，则
pTp = E 0PT = PT
0必由规范正交基组成
0PT是正交矩阵
0PT是正交矩阵
<=>P*是正交矩阵
U>—P是正交矩阵.
（3）若P,Q为同阶正交矩阵，则PQ为正交矩阵.（P + Q不一定）
【注】（2）,（3）结合，若RQ为同阶正交矩阵，则，PTQ,FQT，-P*g等均为正交矩阵.
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73乡考研数学真题大全解（数学三）
74
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第二部分线性代数
稣专题九二次型，诚
1
&解题砌
工❶配方法化二次型
（1） 含平方项.
将某个变量的平方项及与其有关的混合项合并在一起,配成一个完全平方项.如法炮制,
直到配完.
（2） 不含平方项.
创造平方项，如含有而工2项，令
（"Xi = +/2,
1*2 = ，
使工1工2 = yi —ylf出现平方项，再按（D的方法配方.
（3） 常用场合.
① 仅要求求出正、负惯性指数P，q及其反问题.
② 判断A的正定性.
③ 小题居多.
（4） 矩阵语言.
对于实对称矩阵A,必存在可逆矩阵C,使得CAC = A，其中A是对角矩阵.
【注】（1）4（标准形）不唯一，视C而定.
（2） 正、负惯性指数p,q唯一.
（3） r（A） = p + q.
@正交变换法
对于f xTAx.
① 求A的特征值义1 ,人2 ,…，义*;
② 求A的对应于特征值；m，…，如的特征向量Si ，…,备；
③ 将&，冬，…，&正交化（若需要的话）、单位化为％，华，•••，〃”；
④ 令Q=（地，也，…，环），则Q为正交矩阵，且=。秘2 =A.
于是
f = xTAx ===（2y）TA（gy） = yTQTAQy = yTAy.
❸实对称矩阵的合同
（DA,B是同阶实对称矩阵，则
A,B合同<=> 存在可逆矩阵C麝咨腐礴：融伽抵嬴，曲=如.
7J乡考研数学真题大全解(数学三)
【注】 要区分A,B合同与A,B的等价、相似.
(A1,B) 同型，则 A,B 等价 *(A) = r(B).
IA,B相似0存在可逆矩阵P,使P VAP = B,
(2)4,B为同阶方阵，则
IA ■~A ,B 〜A=^*A 〜B.
(2) 已知 4,8,求 C,使得(540 = B.-
(3) A合同于B,B合同于C,则A合同于C.
【注】PTAP = B,QTBQ = C=>eTPTAPe = C=>(P2)tA(P2)= c.
令D = PQ,则DTAD = C,考试可求D.
o正定二次型
n 元二次型/(xi ,ri,'-',xn') = xTAx.若对任意的x — (xi m ,，工.)丁 尹。,均有 xTAx >
0,则称/为正定二次型，称二次型的对应矩阵A为正定矩阵.
(1) 前提.
A =AT(A是对称矩阵).
(2) 二次型正定的充要条件.
n元二次型f = xTAx正定
0对任意x尹0,有xTAx > 0(定义)
<=>A的特征值摭> 0(z = 1,2,…，儿)
Df的正惯性指数p = n
存在可逆矩阵D,使A = I>td
或与E合同
瑚的全部顺序主子式均大于0.
(3) 二次型正定的必要条件.
① a* > 0(，= 1,2,•••,").
② ⑷>0.
(4) 重要结论.
①若A正定，则正定(k>0,m为正整数，|C|/0).
② 若A,B正定，则A + B正定，正定•
-O B」
"2A* O
"1
【注】①与②结合，若A正定，则A3+2A2+3E + 4A-1+5A-正定， ，正
L O A-1 J
定等.
③ 若A,B正定且AB = BA,则期正定.
④ 若A正定且是正交矩阵，则A = E.
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76
—Siir第二部分线性代数
rnwi
v
反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验，查漏补缺,完善思路。
念念不忘必有回响
77心弄彳考研数学真题大全解（数学三）第
三
部
分
概
率
论
与
数
理
统
计
考研电子版网站：www. pdf2book. com考研电子版网站：www.pdf2book.comO重要公式求概率
(1)用对立.
① aTTb = a n b,ab = a u b.(对偶律)
② P(A) = l-P(A).(逆事件概率公式)
【注】①常用于抽象事件，②常用于具体复杂事件而其对立事件简单的情形.
(2)用互斥.
\J B = A \JAB = B \J AB = AB \J AB \JAB.
② B1,B2,B3 为完备事件组,A = AB1 \JAB2 U AB3.
③ P(通)=P(A-B) - P(A)-P(AB).
④ a.F(A + B) = P(A)+P(B)-P(AB).
b. F(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) 一 P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).
c. 若 Ai ,A2 ,''",A„(n > 3)两两互斥，贝。
P(U A')=习P(A,).
t=l »=1
【注】 ①与②很重要，在做题中要注意总结心得.
(3)用独立.
① 若Ai ,也，…,A,相互独立，则
P(A1A2-A„) = P(Ai)P(A2)"・P(A”).
② 若A ,A2，-,A„(n>3)相互独立，则
p(U a,)=i-p(u a,)=i-p(q A)
=l-IlP(A)= 1一丘[1 —P(A)].
t = l i=l
(4)用条件.
① P(A | B)=号辩(P(B) > 0).
r\r>)
② P(AB) = P(B)P(A | B)(P(B) > 0)
=P(A)P(B | A)(P(A)>0)
= P(A) + P(B〕考研岳版网站八
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=P(A)-P(AB).
81乡考研数学真题大全解(数学三)
【注】 当 P(A1&) > 0 时,P(AiA/3)= P(A1)P(A2 I A1)P(A3 I AM.
- :
③ A,&,•••/,为完备事件组,P(A)〉0G = 1,2,•••,"),则
P(B)=宠F(A；)P(B | A,).
i^l
④ 承接③,若已知B发生了，执果索因
P(A, | B)=需=华典毛，顶=],2,...,”.
£p(A,)P(B | A,)
(5) 用不等式或包含.
① 。< P(A) V 1.
② 若 AUB,则 P(A) WP(B).
③ 由于 ABCACA + B,故 P(AB) a} = {X > a} U {V > a};
{min{X,Y} (a} = {XWa} U {Y < a}; {min(X,Y} > a} = (X >a} Q (Y> a}；
(max{X,Y} a} C (max(X,Y} >a}.
【注】最值问题一直是命题重点.
e事件独立性的判定
①A与B相互独立BA与B相互独立肮与B相互独立e月与E相互独立.
【注】将相互独立的事件组中的任何几个事件换成各自的对立事件，所得的新事件
组仍相互独立.
② 对独立事件组不含相同事件作运算，得到的新事件组仍独立，如A,B,C,D相互独立,则
AB与CD相互独立,A与BC-D相互独立.
③ 若P(A)>0,则A与B相互独立0P(B | A) = P(B).
④ 若 0 < P(A) < 1,则 A 与 B 相互独立<=>P(B | A) = P(B | A)
0PCB | A) + P(B | A) =1.
⑤ 若P(A) = 0或P(A) = 1,则A与任意事件B相互独立.
⑥ 若0 VP(A) <1,0/(x) 2 0,且「°六工)血=1.
J ―OO
(4)反问题.
，F(—8)= 0,
F(H-oo)= 1,
用〈 、仑=1, 建方程，求参数.
y(x)dz = 1
、J ―OO
e混合型一维随机变量求分布
X是混合型，则FG) = P{XVz}.这里注意：
①用定义法解决;②读懂题意,分段讨论；③累积过程是Z从一 8到+ 8.
❸用分布求概率及其反问题
(1) X 〜F&),则
① P{X〈a} =F(a).
② P{X V a} = F(a — 0).
③ P{X = a} =F{X =
【注】要会分区域讨论.
(2)求为(常与求F(A)结合).
❸多维随机变量求边缘分布
/(%,少心,片(少=fH ~OO
fx3)=
―OO J —OC
o多维随机变量求条件分布
(1)求 P{Y = yj \ X = Ti),P{X = xi \ Y = yj}.
P{y= v. I X =力} = P{X = 务4,，Y丫 == yX，}=也
1 1 J P{X = xi} Pi.'
P(X = X I y = v } = =.■?； X巨必} = pji_
以《丫 方 P{Y = yi} p.-
⑵求 fY\X(y I x),/x|y(j： I y\
有x33=月G,署y) ，扁心1少=粽2.
❸(X,V)〜fU,y),则 P{(X,Y) G D} =。/(上,少&心
D
0(X,y)为混合型，则用全概率公式
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89\整理错题，总结经验"渥补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响第三部充和亵论与数理不已
最M专题五多维随机变量函数的分布房
工 ❶求(x,y)的函数z = g(x,y)的分布
(1) (离散型，离散型)-离散型.
① (x,y)〜p^z = g(x,y)nz 〜qi.
② X〜山，丫〜qk,X,Y独立且取值在某一集合中，可考Z = X + V,XY,max{X,Y},
min(X,¥}等，这是重点，比如：
a. Z = X+V,且X,Y独立并取非负整数，则
P{Z = k} = P{X+Y=k}
=P{X = 0}P{Y = k} +P{X = 1}P(Y =态 一 1} ------P{X = k}P{Y = 0}
=poqk H------Fptqo ,h — 0,1,2,….
b. Z=max{X,y}且乂,丫独立并取非负整数，则
P{Z = k} = P{max{X,Y} = k)
=P{X = k,Y = k} + P{X = k,Y = k-1} ---- P{X = k,Y = 0} +
P{X = k-l,Y = k} +P{X = k-2,Y = k} + ••• + P{X = 0,Y = k}
=PkQk + Pkqt-i \-pkqo + pLiqx + Piqx ---- 力oq*M = 0,1,2,—.
H---------------
c. Z= min{X,y)且 X,y 独立,0EX = xf (x)Ar
无穷区间积分（反常积分）.
（2）g（X）.
g为连续函数（或分段连续函数）.
①X 〜白,Y = g（X）=>EY = £g3）g
g(X)=>EY = f g(x)/(j;)dz.
② X 〜,Y =
J ―oo
(3) g(x,y).
① (X,Y)〜P.,Z = g(X,V)nEZ =、
i j
② (X,Y)〜六工,、)，Z = g(X,Y)nEZ = r°r°ga，v)ys,少&dy
J — J ―oo
(4) 性质.
① 岛=a,E(EX) = EX.
② E(aX + bY) = aEX + bEY,E(、a,X,)=习 a,EX,(无条件).
t=l t = l
③ 若X,y相互独立，则E(XY) = EXEY.
❷方差
(1) 用公式求DX.
DX —EE(X-EX)2] = EM —(EX)。.
(2) 用定义求DX.
[X 〜p.^DX = EC(X-EX)2] = S(hLEX)F，
[X - /(x)=>DX = E[(X-EX)2] = J二(z — EX)2/&)&.
❸协方差
Cov(X,y)= E(XY) - EXEY.
❹相关系数
△ Cov(X,Y) 1= O0X,y 不相关
P'Y —— TWvW J 0〈气考研电子版网站：www.pdf2book.com
4-
史弄乡考研数学真题大全解(数学三)
❸协方差与相关系数的性质
① Cov(X,y)= Cov(Y,X).
② Cov(aX,3Y) = «6Cov(X,V).
③ Cov(Xi +X2 ,Y) = Cov(Xi ,Y)+Cov(X2，丫).
④ I PXY I W 1-
⑤ pxY = 10P{V = aX + b} = l(a >0);
pxY =— 1<=^P{Y = aX +》} = l(a V 0).
考试时,丫 = aX + 们a > Onpxv = 1;
Y = aX ~\~b,a V O^-pxY =— 1.
⑥ X ,Y 独立 Dpxy = 0.
0独立性与不相关性的判定
(1) 用分布判独立.
随机变量X与丫相互独立，指对任意实数Z，v，事件{X^x}与{Y^y}相互独立，即
(X,Y)的分布等于边缘分布相乘:F(z,y) = Fx(工)• Fy(y).
若(X,V)是连续型的，则X与丫相互独立的充要条件是
f(.x,y) = fxM) /(/)；
若(X,Y)是离散型的，则X与丫相互独立的充要条件是
P{X = = yj} = P{X = Xi} -P{Y = yj).
(2) 用数字特征判不相关.
随机变量X与V不相关，意指x与y之间不存在线性相依性，即pw = 0.
PXY = O eCov(X,Y) = OEE(XY) = EX • EV
0D(X + Y) = DX + DY^DCX-Y) = DX + DY.
(3)程序.
先计算Cov(X,Y),而后按下列程序进行判断或再计算:
oex与V相关与V不独立.
x,y独立，
Cov(X,Y) =E(XY) — EXEY< 分布推断
oex与丫不相关，通过< x, 丫不独立.
〔反证法.
(4)重要结论.
①如果x与v独立，则x,y不相关，反之不然.
② 由①知，如果x与丫相关，则x,y不独立.
③ 如果(x,y)服从二维正态分布，则x,y独立ex,y不相关.
④ 如果x与丫均服从o — 1分布，则x,v独立0X,y不相关.
【注】上述讨论均假设方差存在并且不为零.
O切比雪夫不等式
设随机变量X的数学期望与方差存在，则对任意e>0,
P{\ X-EX |^e} 或 P {| X-EX DX
e2 .
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96第三部分概率论与数理统正
'\整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。
反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
…一
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$专题七大数定律与中心极限定理>
虹―，、__________________________________________________________________________ 府万*
O依概率收敛
设随机变量序列{X„）（n = 1,2,3,-） ,a是一个常数.如果对任意的e > 0,有
limP{ | Xn—a I2e} = 0 或 limP{ | X„—a | V e} = 1»
n-»oo n-»oo
则称随机变量序列{X“}依概率收敛于a,记为
p
limXn = a（P）或 Xn-- a
e辛钦大数定律
设{X。是独立同分布的随机变量序列，如果EX」=〃G = 1,2,…）存在，则
技X,上“，
71 «=1
即对任意e>0,有
❸中心极限定理
n
招 3 近似 习X, _叩n_^oo
设 X,〜F（E ）,〃 = EXi,j = DX,。、t=i Xz 〜N（邵，冰）=> ---------- N（0,l）,即
Jna
Xi —
［史 华
limPs ____ ___V r（J 切（1）・
Vnff
g
学习笔记育
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思电 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响「第三融芬概率论与数理茹E传十考研数学真题大全解(数学三)
专题八统计量及其分布
K
解题豪号
Ox2分布
(1)典型模式.
若随机变量X1,X2, • ••, X”相互独立，且都服从标准正态分布，则随机变量X =史X?服从
1=1
自由度为"的寸分布，记为X〜z2(n).其概率密度/(x)的图形如图(a)所示.特别地,
X? ~/(1).
对给定的a(0 V a V 1)，称满足
「成>%：（”）｝=。 y（z）dz = a
Aa '
的£(")为分布的上a分位点(如图(b)).对于不同的a,”,,(”)分布上a分位点可
通蛀查表求得.
(/2) 分布的性质.
① 若Xi〜加),Xz〜PS),Xi与X2相互独立，则Xi+Xz〜如1+&).
一般地，若X'〜％2(*)(/ = l,2,“・,7n),Xi,X2,“・，X”相互独立，则
m m
习t=l X,〜t=l 佑).
② 若 x 〜,3),则 EX = n,DX = 2n.
分布
(1) 典型模式. “
/(X)
设随机变量X〜N(0,1),丫〜,(”)，X与Y相互独立,则随机 ^^1=00(正态)
变量£ = 产服从自由度为”的£分布，记为t〜t3)・ 'WTO
VY/n / "=\
t分布概率密度/(x)的图形关于x = 0对称(如图)，因此
& = 0(耸 >2). °
(2) ,分布的性质.
由£分布概率密度ya)图形的对称性知
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P{，>—4（〃）}= P{t> ti-aM},
故 z—aS） =—ia（n）.
当a值在表中没有时，可用此式求得上a分位点.
❸F分布
（1） 典型模式.
设随机变量X〜％2（〃］）,v〜％2（〃2）,且X与Y相互独立，则F =
、=
10,〃2=10
服从自由度为（"顷2）的F分布，记为F〜F（”i，如），其中
!=10,”2=4
”1称为第一自由度,”2称为第二自由度.F分布的概率密度/（X） O X
的图形如图所示.
（2） F分布的性质.
① 若 F 〜F（”i ,”2）,则* 〜F（n2 ,“1）.
② Ff S,”2）= g , 1---.
F«（nz，ni）
第2个性质常用来求F分布表中未列出的上a分位点.
o正态总体的常用结论
设Xi,Xz，…,X”是取自正态总体N（g）的一个样本,X,S2分别是样本均值和样本方
差，则
① 工〜N（“，W），即与=亦（土-“）〜N（O,1）；
4n
② 4£（X—Q2 〜％”壮）；
③ （”丁亨=如耳可〜。3_1）（火未知，在②中用X替代“）；
④ 次与S2相互独立，京气—“）〜心一 1） 3未知，在①中用S替代a）,进一步有
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
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101考研数学真题大全解（数学三）
F-----------f
--------
1 r— — - ~ ,
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星02第三部分概率论与数埋统M
U 。矩估计
'①用一阶矩建方程:令M = ex,
（1） 对于一个参数J 1 -
[②若①不能用,用二阶矩建方程:令=E（X3.
一个方程解出一个参数即可作为矩估计.
（2） 对于两个参数，用一阶矩与二阶矩建两个方程，即®X = EX与②4史X?= ECX2）,
两个方程解出两个参数即可作为矩估计.
O最大似然估计
（1） 写似然函数.
'ft pCxi （这是离散型总体X取zi,皿 ，…,n的概率），
j= 1
L（Z1，Z2,…皿；0）
.n 心8）（这是连续型总体x取视见，…的联合概率密度）.
i=l
若似然函数有驻点,则令CK碧7 =0或冬UC7% = 0,解出礼
（2） 求参数]若似然函数无驻点（单调），则用定义求0,
、若似然函数为常数，则用定义求此时0不唯一.
（3） 最大似然估计量的不变性原则.
设2是总体分布中未知参数。的最大似然估计，函数“ =u⑹具有单值反函数。=0（"）,
则L = "Q）是蛔）的最大似然估计.
❸估计量的数字特征
（1） 求感.
（2） 求旋.
（3） 验证0是否依概率收敛于。，即Ve>0,是否有
limP{ | 0 — 0 |^e} = 0 或limP{ | 0 — 0 | •
一,.
.
-----
矿"，
------------------
…二二
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104博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨干
教师”，全国畅销书《张宇考研数学基础3()讲》《张宇考研数学题源
探析经典10()()题》《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数9讲》《张
宇概率论与数理统计9讲》《张宇考研数学真题大全解》《考研数学命
题人终极预测8套卷》《张宇考研数学最后，1套卷》《张宇经济类综合
能力数学通关优题库》作者，高等教育出版社原《全国硕士研究生入
学统一考试数学考试大纲解析》及《全国硕士研究生招生考试经济类
专业学位联考综合能力考试大纲解析》编者之一，北京、上海、广
州、西安等全国著名考研数学辅导班首席主讲。
•
°教材类
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张宇考研数学基础3()讲•高等数学分册
宇
张宇考研数学基础30讲•线性代数分册
监
册 张宇考研数学基础30讲•概率论与数理统i+分册
数 W* 3TX 洪
学 张宇线性代数9谢。H
系 张宇概率论与数理统计9洪
到
从 。题集类
一 B
张宇匕研效亨也源探析华典10()()四
张宇考研数学真题大全解(分数学一、数学二、数学三)<^9
打研故学命，四人次极预测必
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