文档内容
2019年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 13000亿美元．
用科学记数法表示13000是（ ）
A．0.13×105 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102
2．（2分）计算（a2b）3的结果是（ ）
A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3
3．（2分）面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
4．（2 分）实数 a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）下列整数中，与10﹣ 最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2分）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C还可以看作是△ABC经过
怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；
④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）﹣2的相反数是 ； 的倒数是 ．
8．（2分）计算 ﹣ 的结果是 ．
1 / 249．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是 ．
10．（2分）已知2+ 是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵
，∴a∥b．
12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，
木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．
13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区 500名初中学生进行调查．
整理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 ．
14．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，
则∠A+∠C＝ ．
15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝
2，BD＝3，则AC的长 ．
2 / 2416．（2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）
18．（7分）解方程： ﹣1＝ ．
19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：
△ADF≌△CEF．
20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．
（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选
择两天参加活动．
3 / 24（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．
23．（8分）已知一次函数y＝kx+2（k为常数，k≠0）和y＝x﹣3．
1 2
（1）当k＝﹣2时，若y＞y，求x的取值范围．
1 2
（2）当x＜1时，y＞y．结合图象，直接写出k的取值范围．
1 2
24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道
EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D
处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后
的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和
扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充
后广场的长和宽应分别是多少米？
26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D
在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．
4 / 242．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．
3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D的位置变化而变化……请你继
续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
27．（11分）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直
角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A
（x，y）和B（x，y），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x﹣x|+|y﹣y|．
1 1 2 2 1 2 1 2
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点
B的坐标是 ．
（2）函数y＝ （x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d
（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最
小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，
再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面
直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
5 / 242019年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法
表示13000是（ ）
A．0.13×105 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，
n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：13000＝1.3×104
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）计算（a2b）3的结果是（ ）
A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3
【分析】根据积的乘方法则解答即可．
【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．积的乘方，等于每个因式乘方
的积．
3．（2分）面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是 ，即为4的算术平方根；
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键．
4．（2分）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B．
6 / 24C． D．
【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
【解答】解：因为a＞b且ac＜bc，
所以c＜0．
选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．
选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的
正负．
5．（2分）下列整数中，与10﹣ 最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由于9＜13＜16，可判断 与4最接近，从而可判断与10﹣ 最接近的整数为6．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴与 最接近的是4，
∴与10﹣ 最接近的是6．
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
6．（2分）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变
化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正
确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使△ABC与△A'B'C'重合．
【解答】解：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，
即可得到△A'B'C'；
先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折，即可得到
△A'B'C'；
故选：D．
7 / 24【点评】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平
行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线
的夹角等于旋转角．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上）
7．（2分）﹣2的相反数是 2 ； 的倒数是 2 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣2的相反数是 2； 的倒数是 2，
故答案为：2，2．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
8．（2分）计算 ﹣ 的结果是 0 ．
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣2 ＝0．
故答案为0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘
除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是 （ a +b ） 2 ．
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2．
故答案为：（a+b）2．
【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10．（2分）已知2+ 是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ 1 ．
【分析】把x＝2+ 代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2+ 代入方程得（2+ ）2﹣4（2+ ）+m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
8 / 24程的解．
11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ∠ 1+ ∠ 3 ＝
180° ，∴a∥b．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为：∠1+∠3＝180°．
【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行．
12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在
杯子外面的部分至少有 5 cm．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为： ＝15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数
据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 720 0 ．
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．
9 / 24【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000× ＝7200（人），
故答案为：7200．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、
中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，
这时对总体的估计也就越精确．
14．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝
219° ．
【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝
（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．
【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝ （180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解
题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则
AC的长 ．
10 / 24【分析】作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出 ＝ ＝ ，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平
分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝ x，得出MN∥AE，得出 ＝ ＝ ，NE＝x，BE＝BN+EN＝ x，CE＝CN
﹣EN＝ x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴ ＝ ＝ ，
设AC＝2x，则BC＝3x，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN⊥BC，BN＝CN＝ x，
∴MN∥AE，
∴ ＝ ＝ ，
∴NE＝x，
∴BE＝BN+EN＝ x，CE＝CN﹣EN＝ x，
由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，
即52﹣（ x）2＝（2x）2﹣（ x）2，
解得：x＝ ，
∴AC＝2x＝ ；
故答案为： ．
11 / 24【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理
等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16．（2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 4 ＜ B C ≤ ．
【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝ ；当∠BAC＝∠ABC时，
△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝ AC＝4，
∴AC＝ ，
∴BC＝ ；
当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC长的取值范围是4＜BC≤ ；
故答案为：4＜BC≤ ．
【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接
12 / 24圆进行推理计算是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】解：（x+y）（x2﹣xy+y2），
＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，
＝x3+y3．
故答案为：x3+y3．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
18．（7分）解方程： ﹣1＝ ．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，
x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，
即x2+x﹣x2+1＝3，
解得x＝2
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，
∴x＝2是原方程的解，
故原分式方程的解是x＝2．
【点评】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化
为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
19．（7 分）如图，D是△ABC的边 AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点 F．求证：
△ADF≌△CEF．
【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，
∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
13 / 24【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相
等的两个三角形全等．
20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．
（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这
个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝ [（x﹣ ）2+（x﹣ ）2+…+（x﹣ ）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）．
1 2 n
【解答】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
14 / 24＝ ＝24， ＝ ＝18，
方差分别是
＝ ＝0.8，
＝ ＝8.8，
∴ ＜ ，
∴该市这5天的日最低气温波动大；
（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气
质量改善了．
【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一
个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，
稳定性越好．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活
动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6个，由概率公
式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期
三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为 ＝ ；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期
三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ；
15 / 24故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从
中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．
【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出 ＝ ，进而得出 ＝ ，根据等弧所对的圆周角
相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
【解答】证明：连接AC，
∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，即 ＝ ，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理
是解题的关键．
23．（8分）已知一次函数y＝kx+2（k为常数，k≠0）和y＝x﹣3．
1 2
（1）当k＝﹣2时，若y＞y，求x的取值范围．
1 2
（2）当x＜1时，y＞y．结合图象，直接写出k的取值范围．
1 2
16 / 24【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；
（2）先计算出x＝1对应的y的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y＝kx+2（k为常数，k≠0）的
2 1
图象在直线y＝x﹣3的上方确定k的范围．
2
【解答】解：（1）k＝﹣2时，y＝﹣2x+2，
1
根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，
解得x＜ ；
（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，
1
当﹣4≤k＜0时，y＞y；
1 2
当0＜k≤1时，y＞y．
1 2
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的
值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上
（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点
相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．
求隧道EF的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
【分析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．
【解答】解：延长AB交CD于H，
则AH⊥CD，
在Rt△AHD中，∠D＝45°，
∴AH＝DH，
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝ ，
∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，tan∠BCH＝ ，
∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，
由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，
解得，CH＝300，
17 / 24∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，
∴AH＝AB+BH＝153，
∴DH＝AH＝153，
∴HF＝DH﹣DF＝103，
∴EF＝EH+FH＝323，
答：隧道EF的长度为323m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函
数的定义是解题的关键．
25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场
长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，
铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解
答．
【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000
解得x＝30，x＝﹣30（舍去）．
1 2
所以3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．
【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中
的数量关系是关键．
26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点
E、F在边AB上，点G在边BC上．
小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．
18 / 242．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．
3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接
写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可．
【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，
∴DG＝EF，
∵DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形．
（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
则CD＝ x，AD＝ x，
∵AD+CD＝AC，
∴ + x＝3，
∴x＝ ，
19 / 24∴CD＝ x＝ ，
观察图象可知：0≤CD＜ 时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG∥AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝ ，
∴CD＝3﹣ ＝ ，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG∥AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴n＝ ，
20 / 24∴CG＝4﹣ ＝ ，
∴CD＝ ＝ ，
观察图象可知：当0≤CD＜ 或 ＜CD≤ 时，菱形的个数为0，当CD＝ 或 ＜CD≤ 时，菱形的
个数为1，当 ＜CD≤ 时，菱形的个数为2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关
键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
27．（11分）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方
式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点A（x，y）和B（x，
1 1 2
y），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x﹣x|+|y﹣y|．
2 1 2 1 2
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ 3 ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是
（ 1 ， 2 ） ．
（2）函数y＝ （x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的
点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处
拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示
意图并简要说明理由）
【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d（A，B）
21 / 24＝|x﹣x|+|y﹣y|及点B是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B
1 2 1 2
的坐标；
（2）由条件知x＞0，根据题意得 ，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存
在点C，使d（O，C）＝3．
（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向
平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案
是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．
【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x+y＝3，
∴ ，
解得： ，
∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）；
（2）假设函数 的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
根据题意，得 ，
∵x＞0，
∴ ， ，
∴ ，
∴x2+4＝3x，
∴x2﹣3x+4＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）设D（x，y），
22 / 24根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，
∵ ，
又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴
正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到
E处．
理由：设过点E的直线l与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线
1
l∥l，l与x轴相交于点G．
2 1 2
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
【点评】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质等．
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