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江苏省扬州市 2021 年中考数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 实数100的倒数是（ ）
A. 100 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据倒数的定义求解．
【详解】解：100的倒数为 ，
故选C．
【点睛】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为 ．
2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）
A. 五棱锥 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 六棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，
则该几何体为五棱锥，
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．
3. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A. 3天内将下雨 B. 打开电视，正在播新闻
C. 买一张电影票，座位号是偶数号 D. 没有水分，种子发芽【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件；
B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；
故选D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
4. 不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则 ≠0，故符合题意；
D、当x=-1时， ，故不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）
分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
5. 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接 、 、 、 、 ，若 ，则
（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的
和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
6. 如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得
是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC
其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合
的思想是数学解题中很重要的解题思想．
7. 如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线 绕点B顺时针旋转 交
x轴于点C，则线段 长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作
CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出
BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
8. 如图，点P是函数 的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为
点A、B，交函数 的图像于点C、D，连接 、 、 、 ，其中 ，
下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①
【答案】B
【解析】
【分析】设P（m， ），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断 和
的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC 的面积，可判断③；再利用
计算△OCD的面积，可判断②．
【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在 上，点C，D在 上，
设P（m， ），则C（m， ），A（m，0），B（0， ），令 ，
则 ，即D（ ， ），
∴PC= = ，PD= = ，
∵ ， ，即 ，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积= = = ，故③正确；
=
=
=
=
= ，故②错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上）
9. 2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺
博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为______．
【答案】3.02×106
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．
故答案为：3.02×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 计算： __________．
【答案】4041
【解析】
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：
=
=
=4041
故答案为：4041．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．
11. 在平面直角坐标系中，若点 在第二象限，则整数m的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
∴整数m的值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
12. 已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平均数的定义先算出a的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位
数．
【详解】解：∵这组数据的平均数为5，
则 ，
解得：a=3，
将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7，
观察数据可知最中间的数是5，
则中位数是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，
最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的
数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二
日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马
几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．
【答案】20
【解析】
【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，
依题意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，
∴快马20天追上慢马，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14. 如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为 的正方形，该果罐侧面积为_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积．
【详解】解：∵果罐的主视图是边长为10cm的正方形，为圆柱体，
∴圆柱体的底面直径和高为10cm，
∴侧面积 为= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据．
15. 如图，在 中， ，点D是 的中点，过点D作 ，垂足为点E，连接
，若 ， ，则 ________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到 AB=10，利用勾股定理求出 AC，再说明 DE∥AC，得到，即可求出DE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC= =6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴ ，即 ，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比
例式．
16. 如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若 ， ，则
的面积为________．
【答案】50
【解析】
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线
的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= = =50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识
点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
17. 如图，在 中， ，矩形 的顶点D、E在 上，点F、G分别在 、 上，
若 ， ，且 ，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得 ，证明△ADG≌△BEF，得到
AD=BE= ，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【详解】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴AD+BE=AB-DE= = ，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE= = ，
在△BEF中， ，
即 ，
解得：x= 或 （舍），
∴EF= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边
对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．
18. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所
有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275
【解析】
【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第 n个图形中的黑色圆点的个数为
，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3
整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为： =3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为： =6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为： =10，
...
第n个图形中的黑色圆点的个数为 ，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=16...1，
16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即 =1275，
故答案为：1275．
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或化简：
（1） ； （2） ．【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；
（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
=
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是
熟练掌握运算法则．
20. 已知方程组 的解也是关于x、y的方程 的一个解，求a的值．
【答案】
【解析】
【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：方程组 ，
把②代入①得： ，解得： ，代入①中，
解得： ，
把 ， 代入方程 得， ，
解得： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程
成立的未知数的值．
21. 为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身
操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：
抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图
A．非常喜欢 B．比较喜欢 C．无所谓 D．不喜欢
抽样调查各类喜欢程度人数统计表
喜欢程度 人数
A．非常喜欢 50人
B．比较喜欢 m人
C．无所谓 n人
D．不喜欢 16人
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是______；
（2）扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为_____ ，统计表中 ______；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包
含非常喜欢和比较喜欢）．【答案】（1）200；（2）90，94；（3）1440名
【解析】
【分析】（1）用D程度人数除以对应百分比即可；
（2）用A程度的人数与样本人数的比值乘以360°即可得到对应圆心角，算出B等级对应百分比，乘以样
本容量可得m值；
（3）用样本中A、B程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可．
【详解】解：（1）16÷8%=200，
则样本容量是200；
（2） ×360°=90°，
则表示A程度的扇形圆心角为90°；
200×（1-8%-20%- ×100%）=94，
则m=94；
（3） =1440名，
∴该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动．
【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2
个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是_________；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
【答案】（1） ；（2）
【解析】【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵丙坐了一张座位，
∴甲坐在①号座位的概率是 ；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为 = ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现
在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂
疫苗？
【答案】40万
【解析】
【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所
用的时间少0.5天可得方程，解之即可．
【详解】解：设原先每天生产x万剂疫苗，
由题意可得： ，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，
∴原先每天生产40万剂疫苗．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须
严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
24. 如图，在 中， 的角平分线交 于点D， ．（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 ，且 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线
的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD= ，
∴AF=DF=DE=AE= =2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是
掌握特殊四边形的判定方法．25. 如图，四边形 中， ， ， ，连接 ，以点B为圆心， 长
为半径作 ，交 于点E．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S -S 求出阴
△ABD 扇形ABE
影部分面积．
【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF= ，
∴AD=DF= =2，
∴阴影部分的面积=S -S
△ABD 扇形ABE
=
= ．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角
函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于点． 、 ，
与y轴交于点C．（1） ________， ________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且 ，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且 ，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）-2，-3；（2）（ ，6）或（ ，6）；（3）（4，5）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出△ABC的面积，设点D（m， ），再根据 ，得到方程求出m值，
即可求出点D的坐标；
（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
【详解】解：（1）∵点A和点B在二次函数 图像上，
则 ，解得： ，
故答案为：-2，-3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）， ，
∴S = =6，
△ABC
∵S =2S ，设点D（m， ），
△ABD △ABC∴ ，即 ，
解得：x= 或 ，代入 ，
可得：y值都为6，
∴D（ ，6）或（ ，6）；
（3）设P（n， ），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜-1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜-1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴ ，不成立；
当点P 在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y=kx+p，
则 ，解得： ，
则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，
则-1+q=0，解得：q=1，
则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n， ）代入，即 ，
解得：n=4或n=-1（舍），
，
∴点P的坐标为（4，5）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，
一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．
27. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段 ，使用作图工具作 ，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以 为弦的圆弧上（点B、C
除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为___________；② 面积的最大值为_________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们
记为 ，请你利用图1证明 ；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 的边长 ，
，点P在直线 的左侧，且 ．
①线段 长的最小值为_______；
②若 ，则线段 长为________．
【答案】（1）①2；② ；（2）见解析；（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，证明△OBC是等边三角
形，可得半径；
②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积
最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；
（2）延长BA′，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；
（3）①根据 ，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心， PD为半径画圆，可得点
P在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P′，可得BP′即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相
减即可得到BP′；
②根据AD，CD和 推出点P在∠ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作
CF⊥PD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP．
【详解】解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC=2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE=CE=1，DO=BO=2，
∴OE= = ，
∴DE= ，
∴△ABC的最大面积为 = ；
（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如图，当点P在BC上，且PC= 时，
∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，
∴tan∠DPC= = ，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心， PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC= ，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE= CD=1，PE=CE= PC= ，
∴BE=BC-CE=3- = ，
∴BQ= = ，
∵PD= = ，
∴圆Q的半径为 ，
∴BP′=BQ-P′Q= ，即BP 的最小值为 ；②∵AD=3，CD=2， ，
则 ，
∴△PAD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，
过点C作CF⊥PD，垂足 为F，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，
∴CF=DF= = ，
∵tan∠DPC= = ，
∴PF= ，
∴PD=DF+PF= = ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，
解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P
的轨迹．
28. 甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费
每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计
1850元．
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______
辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利
润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最
大，求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）
【解析】
【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月
利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y ，y ，月利润差为y，同（1）可得y 和y 的表达式，再分甲公司的利
甲 乙 甲 乙
润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x
的范围求出最值，再比较即可；
（3）根据题意得到利润差为 ，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为
17辆，结合x为整数可得关于a的不等式 ，即可求出a的范围．
【详解】解：（1） =48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出 的汽车为x辆，
由题意可得： ，
解得：x=37或x=-1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y ，y ，月利润差为y，
甲 乙
则y = ，
甲
y = ，
乙
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y=y -y =
甲 乙
= ，
当x= =18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y=y -y =
乙 甲
= ，
∵对称轴为直线x= =18，
当x=50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为 = ，
对称轴为直线x= ，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关
系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．
