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2019年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的。请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分。
1．（3分）数2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）据统计，龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次．
用科学记数法可将238000表示为（ ）
A．238×103 B．23.8×104 C．2.38×105 D．0.238×106
3．（3分）计算 + ，正确的结果是（ ）
A．1 B． C．a D．
4．（3分）已知∠ ＝60°32′，则∠ 的余角是（ ）
A．29°28′ α B．29°68′α C．119°28′ D．119°68′
5．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．60 cm2 B．65 cm2 C．120 cm2 D．130 cm2
6．（3分）π已知现有的10瓶饮料π中有2瓶已过了保质期，π从这10瓶饮料中任取π1瓶，恰好取
到已过了保质期的饮料的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于 O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
⊙
A．60° B．70° C．72° D．144°
8．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝
4，则四边形ABCD的面积是（ ）
第1页（共21页）A．24 B．30 C．36 D．42
9．（3分）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直
线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4
个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，
把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．2 B． C． D．
10．（3分）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2+bx与
1
一次函数y ＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
2
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分)
11．（4分）分解因式：x2﹣9＝ ．
12．（4分）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 ．
13．（4分）学校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班的平均
得分是 分．
第2页（共21页）14．（4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整
晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹
角∠BOD＝ ．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当 ＝74°时，较长支撑杆的端点A离
地面的高度αh约为 cm．（参考数据：sin37°≈α0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，
cos53°≈0.6．）
15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点
B，分别交反比例函数y ＝ （k＞0，x＞0），y ＝ （x＜0）的图象于点C和点D，过点C
1 2
作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是
．
第3页（共21页）16．（4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4 的正方
形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如
图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH
上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：（﹣2）3+ ×8．
18．（6分）化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．
19．（6分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理
由．
20．（8分）我市自开展“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动以来，受到各校的广泛关
注和同学们的积极响应，某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某
一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．
某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表
文章阅读的篇数（篇） 3 4 5 6 7及以上
人数（人） 20 28 m 16 12
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
第4页（共21页）（1）求被抽查的学生人数和m的值；
（2）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；
（3）若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为
4篇的人数．
21．（8分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
22．（10分）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去
学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还
车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行
的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）
与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行
时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．
根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题
卷相对应的图上）
第5页（共21页）23．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l 分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，
1
3）．
（1）如图1，已知 P经过点O，且与直线l 相切于点B，求 P的直径长；
1
（2）如图2，已知直⊙线l
2
：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点⊙D，点Q是直线l
2
上的一
个动点，以Q为圆心，2 为半径画圆．
当点Q与点C重合时，求证：直线l 与 Q相切；
1
①设 Q与直线l
1
相交于M，N两点，连结⊙QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得
②△QM⊙N是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴
和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝ ，D是BC的中点．
（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝ OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，
B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐
①
第6页（共21页）标；
以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M
②时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
第7页（共21页）2019年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的。请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分。
1．【分析】直接利用倒数的定义求2的倒数是 ；
【解答】解：2的倒数是 ；
故选：D．
【点评】本题考查倒数；熟练掌握倒数的求法是解题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：238000＝2.38×105
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝ ＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．【分析】根据余角的概念进行计算即可．
【解答】解：∵∠ ＝60°32′，
∠ 的余角是为：9α0°﹣60°32′＝29°28′，
故α选：A．
【点评】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如
果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
5．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半
第8页（共21页）径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算．
【解答】解：这个圆锥的侧面积＝ ×2 ×5×13＝65 （cm2）．
π π
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以
所有可能出现的结果数．
7．【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的
性质求出∠CBD，计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝ ＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝ ＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多
边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．
8．【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根
据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD +S△BCD ＝ AB•DH+ BC•CD＝ ×6×4+ ×9×4＝30，
故选：B．
第9页（共21页）【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的
关键．
9．【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM＝AB，利
用勾股定理即可求得．
【解答】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM＝PB，
∴PM＝AB，
∵PM＝ ＝ ，
∴AB＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的
性质是解题的关键．
10．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，
然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而
可以解答本题．
【解答】解： 解得 或 ．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x
轴上为（﹣ ，0）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣ ＜0，a+b
第10页（共21页）＞0，故选项A有可能；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则
a+b＞0，故选项B有可能；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选
项C有可能；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则
a+b＜0，故选项D不可能；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次
函数图象的特点．
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分)
11．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，
即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，
∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
13．【分析】直接利用条形统计图以及结合加权平均数求法得出答案．
【解答】解：该班的平均得分是： ×（5×8+8×9+7×10）
＝9.1（分）．
故答案为：9.1．
【点评】此题主要考查了加权平均数以及条形统计图，正确掌握加权平均数求法是解题关
键．
14．【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得
到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定
第11页（共21页）义求出h即可．
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝ ∠BOD＝ ×74°＝37°，
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB•cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，
故答案为：120
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
15．【分析】求出直线y＝ x﹣1与y轴的交点B的坐标和直线y＝ x﹣1与y ＝ （x＜0）
2
的交点D的坐标，再由△COE的面积与△DOB的面积相等，列出k的方程，便可求得k的
值．
【解答】解：令x＝0，得y＝ x﹣1＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
∴OB＝1，
把y＝ x﹣1代入y ＝ （x＜0）中得， x﹣1＝ （x＜0），
2
解得，x＝1﹣ ，
∴ ，
∴ ，
第12页（共21页）∵CE⊥x轴，
∴ ，
∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴ ，
∴k＝2，或k＝0（舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的
图象与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，
关键是根据两个三角形的面积相等列出k的方程．
16．【分析】如图2中，连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．
在Rt△EMG中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，
∴EG＝ ＝ ＝4 ，
∴EH＝ ＝4 ，
故答案为4 ．
【点评】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．【分析】先求（﹣2）3＝﹣8，再求 ×8＝4，即可求解；
【解答】解：（﹣2）3+ ×8＝﹣8+4＝﹣4；
【点评】本题考查有理数的计算；熟练掌握幂的运算是解题的关键．
第13页（共21页）18．【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
多项式的每一项，再把所得的积相加．进行求解即可．
【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，解答本题的关键在于熟练掌握单项式与多项式相乘
的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相
加．
19．【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可
求解；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，
∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m＜n；
【点评】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是
解题的关键．
20．【分析】（1）先由6篇的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他篇数的人数求
得m的值；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）用总人数乘以样本中4篇的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）被调查的总人数为16÷16%＝100人，
m＝100﹣（20+28+16+12）＝24；
（2）由于共有100个数据，其中位数为第50、51个数据的平均数，
而第50、51个数据均为5篇，
所以中位数为5篇，
出现次数最多的是4篇，
所以众数为4篇；
第14页（共21页）（3）估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数为800× ＝224人．
【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定
定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到DF＝DB＝DA＝ AB＝3，推出四边形BEFD是菱形，于
是得到结论．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝DB＝DA＝ AB＝3，
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∵DB＝3，
∴四边形BEFD的周长为12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形的斜边中
线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路
程；
（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x＝18代入OA的函数解
析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙
两人之间的距离；
（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．
【解答】解：（1）由图可得，
甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），
乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），
答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；
第15页（共21页）（2）设直线OA的解析式为y＝kx，
30k＝2800，得k＝80，
∴直线OA的解析式为y＝80x，
当x＝18时，y＝80×18＝1440，
则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），
∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），
∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），
当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），
∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），
答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；
（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和
数形结合的思想解答．
23．【分析】（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则 P的直径长＝BC＝AB，即可求解；
⊙
（2）证明CM＝ACsin45°＝4× ＝2 ＝圆的半径，即可求解；
（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求
解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，
第16页（共21页）∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，
∵ P与直线l 相切于点B，
1
∴⊙∠ABC＝90°，而OA＝OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则 P的直径长＝BC＝AB＝3 ；
（2⊙）过点作CM⊥AB，
由直线l ：y＝3x﹣3得：点C（1，0），
2
则CM＝ACsin45°＝4× ＝2 ＝圆的半径，
故点M是圆与直线l 的切点，
1
即：直线l 与 Q相切；
1
（3）如图3，⊙
当点M、N在两条直线交点的下方时，
①
第17页（共21页）由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，
设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），
则NQ＝m+3﹣3m+3＝2 ，
解得：m＝3﹣ ；
当点M、N在两条直线交点的上方时，
②
同理可得：m＝3 ；
故点Q的坐标为（3﹣ ，6﹣3 ）或（3+ ，6+3 ）．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键
要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．
24．【分析】（1）由OA＝3，tan∠OAC＝ ＝ ，得OC＝ ，由四边形OABC是矩形，得
BC＝OA＝3，所以CD＝ BC＝ ，求得D（ ， ）；
（2） 由易知得ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落
在AC①上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，所以∠BDB'＝60°，∠BDF＝∠B'DF
＝30°，所以BF＝BD•tan30°＝ ，AF＝BF＝ ，因为∠BFD＝∠AEF，所以∠B＝
∠FAE＝90°，因此△BFD≌△AFE，AE＝BD＝ ，点E的坐标（ ，0）；
动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x，因此E（ ，0），直线DE：
②
y＝﹣ x+ ，F（3， ）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式
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第18页（共21页）为y＝﹣ x2+ x+ ，所以E（6，0），直线DE：y＝﹣ x+ ，所以F（3，
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）；所以点F运动路径的长为F F ＝ ＝ ，即G运动路径的长为 ．
1 2
【解答】解：（1）∵OA＝3，tan∠OAC＝ ＝ ，
∴OC＝ ，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝3，
∵D是BC的中点，
∴CD＝ BC＝ ，
∴D（ ， ）；
（2） ∵tan∠OAC＝ ，
①
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACB＝∠OAC＝30°，
设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，
则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，
∴∠DB'C＝∠ACB＝30°
∴∠BDB'＝60°，
∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，
∵∠B＝90°，
∴BF＝BD•tan30°＝ ，
∵AB＝ ，
∴AF＝BF＝ ，
∵∠BFD＝∠AEF，
∴∠B＝∠FAE＝90°，
∴△BFD≌△AFE（ASA），
∴AE＝BD＝ ，
第19页（共21页）∴OE＝OA+AE＝ ，
∴点E的坐标（ ，0）；
动点P在点O时，
②∵抛物线过点P（0，0）、D（ ， ）、B（3， ）
求得此时抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x，
∴E（ ，0），
∴直线DE：y＝﹣ x+ ，
∴F （3， ）；
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当动点P从点O运动到点M时，
∵抛物线过点P（0， ）、D（ ， ）、B（3， ）
求得此时抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+ ，
∴E（6，0），
∴直线DE：y＝﹣ x+ ，
∴F （3， ）；
2
∴点F运动路径的长为F F ＝ ＝ ，
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如图，当动点P从点O运动到点M时，点F运动到点F'，点G也随之运动到G'．
连接GG'．当点P向点M运动时，抛物线开口变大，F点向上线性移动，所以G也是线性
移动．
即GG'＝FF'．
第20页（共21页）∵△DFG、△DF'G'为等边三角形，
∴∠GDF＝∠G'DF'＝60°，DG＝DF，DG'＝DF'，
∴∠GDF﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，
即∠G'DG＝∠F'DF
在△DFF'与△FGG'中，
，
∴△DFF'≌△FGG'（SAS），
∴GG'＝FF'＝
即G运动路径的长为 ．
【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等
的判定与性质是解题的关键．
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