2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（八）数学答案_2025年6月_250628云南省云南师范大学附属中学2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（八）（全科）

2024~2025 学年高二年级教学质量监测卷（八） 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B A C B A 【解析】 23i (23i)(1i) 1 5 5 1．z    i，故复数z的虚部为 ，故选B． 1i (1i)(1i) 2 2 2 2．集合A{x|log (x1)0}{x|x2}，B{x|3x 9}{x|x2}，即AB，故选D． 3 1 a 2ab a b a 3．由b12a，a0，b0，得    2  ≥4，当且仅当ab且2ab a b a b a b 1 1，即ab 时取等号，故选C． 3 4．根据题意可得正四棱台的斜高为 32 42 5 ，所以正四棱台的表面积为 1 161004 (410)5256，所以该零部件的防腐处理费用是2560.5128元，故 2 选B．      5．设b(x，y) ，因为ab ，所以 6x8y0 ，又|b| x2  y2 5，解得b(4，3)或     b(4，3)，b与c(1，0)的夹角是钝角，则b(4，3)，故选A． 6．根据题意， f(2x) f(x) ，则正态密度函数 f(x) 关于 x1对称，即1 ，则 P(1≤X≤2)P(0≤X≤1)0.5P(X≤0)0.50.20.3，故选C． 1 2 7．圆(x1)2  y2  的圆心坐标为(1，0)，半径是 ，而原点 2 2 1 O(0，0) 在圆外，如图 1 所示，则与圆(x1)2  y2  相 2 切，且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两 图1 高二数学参考答案·第1页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}条；当直线不过原点时，可设切线方程为 x ym ，即 x ym0(m0)，可得 |1m| 2  ，即m0（舍去）或m2，当m2时，直线方程为x y20．综上 2 2 1 可知，与圆(x1)2  y2  相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有3条，故选B． 2 1 π  π 7π 1 π 1 8．由于x[0，4π]，故 x    ，  ，故由题意转化为sin x  在区间[0，4π] 2 4  4 4  2 4 2 1 π  π 7π 1  π 7π 上有两个不相等的实数根x，x ，令t x   ， ，则sint 在  ， 上有 1 2 2 4   4 4   2   4 4   1 π 1 π 1  π 7π 两个不相等的实数根，故t  x  ，t  x  ，则函数ysint与y 在  ， 1 2 1 4 2 2 2 4 2   4 4   π t t π 上有两个不同的交点，由正弦函数的性质 ysint关于t 对称，则 1 2  ，解得 2 2 2  1 3π t t π，故 x  x  ，即x x 3π，所以 f(x)的所有零点之和为3π，故选A． 1 2 2 1 2 2 2 1 2 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多 项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AD BCD ABD 【解析】 9．对于 A，由题意b  f(3n)a ，b  f(3n3)a ，设a qa ，则b q3b ，故 n 3n n1 3n3 n1 n n1 n A正确；对于B，n为奇数则无意义，故B错误；对于C，b  f(n2)a ，b a n n2 n1 n22n1 q2n1b ，故 C 错误；对于 D，b [f(n)]2 a2，b a2 q2a2 q2b ，故 D 正确，故 n n n n1 n1 n n 选AD． 10．对于 A，数据从小到大排列为 1，1，2，2，3，4，4，5，因为845%3.6，所以数据 的第 45 分位数为 2，故 A 错误；对于 B，若线性相关系数的绝对值|r|越接近 1，则两 个变量的线性相关性越强，故B正确；对于C，令x6，得 y0.161.42，则所求 3 1 3 残差为2.120.1，故 C 正确；对于 D，可得4p(1 p) ，解得 p 或 p ，当 4 4 4 高二数学参考答案·第2页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}1 1 2  1 2 27 3 p 时 ， 可 得 P(X 2)C2   1   ， 当 p 时 ， 可 得 4 4 4  4 128 4 3 2  3 2 27 27 P(X 2)C2   1   ，综上可得， P(X 2) ，故 D 正确，故选 4 4  4 128 128 BCD． 11．对于 A，对任意的 x，yR 有 f(xy) f(x)f(y) f(x) f(y) ，令 x y1 ，则有 f(1)[f(1)]2  f(1) f(1) f(1)0 或 者 f(1)1 ， 但 是 当 f(1)1 时 ， f(x1) f(x)f(1) f(x) f(1) f(x) f(1)1 ，与 f(x) 不是常值函数矛盾，故 f(1)0，故 A 正确；对于 B，对任意的x，yR有 f(xy) f(x)f(y) f(x) f(y)，令 1 f   1 1 1 x 1 y ，x0，则 f(1) f(x)f   f(x) f   ，f(x) 1 ，当 x x x 1 1 1 f   1 f   x x 1 1 1 1 x(0，1)，则 1，故 f  0，1 f  1，故 f(x)1 (1，0)，故 B x x x 1 1 f   x x 正确；对于 C，任取 x x 0 ，令 t  1 1 ，则 f(t)0，f(x )10 ，于是 1 2 x 2 2 f(x ) f(tx ) f(t)f(x ) f(t) f(x ) f(t)[f(x )1] f(x ) f(x ) ， 故 f(x) 在 1 2 2 2 2 2 2 (0，) 上 单 调 递 增 ， 故 C 错 误 ； 对 于 D ， 令 y1 可 得 ： f(x) f(x)f(1) f(x) f(1) f(x) ， 于 是 函 数 f(x) 是 偶 函 数 ， 又 f(9) f(3)f(3) f(3) f(3)8，于是原不等式可转化为 f(|x1|) f(9)，又由 f(x)在 (0，)上单调递增可得：|x1|9，解得：8x10，不等式 f(x1)8的解集为 {x|8x10}，故D正确，故选ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 1 2 3 y2x4；3 高二数学参考答案·第3页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}【解析】 12．多项式的展开式中含 x3 的项为 axC3x2(2)3 1C2x3(2)2 (80a40)x3 ，所以 5 5 80a4040，解得a1． π sin 1 sinx π 3 13．函数 f(x) ，则 f(x) ，故 f   2 3． cosx cos2 x 3 cos2 π 3 14．由焦点为 F(1，0) ，得 p2 ，则 y2 4x ，设直线 AB 的方程为 xmy2 ， A(x，y )，B(x，y )，y 0，则y 0，由|AF|5，得x 15，解得x 4，因为点 1 1 2 2 1 2 1 1 A 在抛物线上，所以y2 4x 16，解得y 4，则A(4，4)，将点 A 的坐标代入直线方 1 1 1 1 1 程，得4m24，解得m ，故直线 AB 的方程为 x y2，即 y2x4；将 2 2 1 x y2 代入 y2 4x 中， 得 y2 2y80 ，则 y y 8 ，所以 y 2 ，故 2 1 2 2 1 1 S  |FM ||y  y | 1|42|3． △ABF 2 2 1 2 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） a2 b2 解：（1）∵acosBbsinA ， c a2 c2 b2 a2 b2 ∴由余弦定理的推论得，a bsinA ， 2ac c ………………………………………………………………………………（1分） 化简整理得，b2 c2 a2 2bcsinA，………………………………………………（2分） 又b2 c2 a2 2bccosA，……………………………………………………………（3分） ∴2bcsinA2bccosA，………………………………………………………………（4分） ∴sinAcosA，即tanA1， ………………………………………………………（5分） π 又A(0，π)，∴A ． ……………………………………………………………（6分） 4 高二数学参考答案·第4页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}π （2）∵a2，A ，S 2， 4 △ABC 1 2 ∴ bcsinA bc2，即bc4 2①， …………………………………………（8分） 2 4 由余弦定理得，a2 b2 c2 2bccosA，……………………………………………（9分） ∴4b2 c2  2bc ………………………………………………………………（10分） (bc)2 (2 2)bc②， …………………………………………………………（11分） 联立①②得(bc)2 128 2 (2 22)2，………………………………………（12分） ∴bc2 22． …………………………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：连接EF， 易证四边形ADEF是正方形，则AEDF， ………………………………………（1分） 由正四棱柱的性质可知CD平面ADD A ， ………………………………………（2分） 1 1 因为AE平面ADD A ，所以CD AE， …………………………………………（3分） 1 1 因为DF 平面CDF，CD平面CDF ，且DFCDD， ……………………………………………………………………………………（4分） 所以AE平面CDF ． ………………………………………………………………（5分） （2）解：由正四棱柱的性质可知AB，AD，AA两两垂直， 1    则以 A 为坐标原点，AB，AD，AA 的方向分别为 x，y，z 轴的正方 1 向，建立如图2所示的空间直角坐标系． ……………………………………………………………（6分） 因为AA 2AB2AD2， 图2 1 则A(0，0，0)，A(0，0，2)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，1，1)， 1 …………………………………………………………………………………（7分） 高二数学参考答案·第5页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}   故AE(0，1，1)，AB(1，0，2)，BD(1，1，0)， 1 …………………………………………………………………………………（8分）  设平面ABD的法向量为n(x，y，z)， 1    n ABx2z0， 则 1 令x2，得y2，z1， nBDx y0，  则n(2，2，1)，………………………………………………………………………（10分） 由（1）可知AE⊥平面CDF，  则AE(0，1，1)是平面CDF的一个法向量， …………………………………（12分） 设平面CDF与平面ABD的夹角为θ， 1     |n AE| 21 2 则cos|cosn，AE|     ， |n||AE| 441 11 2 ………………………………………………………………………………（14分） π π 因为0≤ ，所以 ， 2 4 π 即平面CDF与平面ABD的夹角为 ．……………………………………………（15分） 1 4 17．（本小题满分15分） 3 （1）解：当a3时， f(x)lnx 1， x 1 3 所以 f(x)  ， …………………………………………………………………（1分） x x2 则 f(1)2，f(1)2， ………………………………………………………………（2分） 则y f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y22(x1)， ………………………………………………………………………………（3分） 即2x y40． ……………………………………………………………………（4分） （2）证明：由已知， f(x)的定义域为(0，)， ………………………………………………………………………………（5分） 高二数学参考答案·第6页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}1 a xa f(x)   ，令 f(x)0，解得xa， x x2 x2 ………………………………………………………………………………（6分） 当x(a，)时， f(x)0，则 f(x)在(a，)上单调递增； ………………………………………………………………………………（7分） 当x(0，a)时， f(x)0，则 f(x)在(0，a)上单调递减； ………………………………………………………………………………（8分） 所以 f(x)  f(a)lna， …………………………………………………………（9分） min a 1 a 1 要证 f(x)  ，只需证lna  ， ………………………………………（10分） 2 2a 2 2a x 1 设g(x)lnx  ，则只需证当0x1时，g(x)0， 2 2x ……………………………………………………………………………（11分） 1 1 1 (x1)2 因为g(x)    0在x(0，1)时恒成立， x 2 2x2 2x2 所以g(x)在(0，1)上单调递减， ……………………………………………………（13分） a 1 所以当0x1时，g(x)g(1)0，即lna  ， 2 2a ……………………………………………………………………………（14分） a 1 所以 f(x)≥f(a)lna  ，得证． …………………………………………（15分） 2 2a 18．（本小题满分17分） （1）解：因为双曲线的一条渐近线方程为 3x y0，右焦点F(2，0)， b  3，  a   所以 c2， ……………………………………………………………………（1分）   a2 b2 c2， 解得a2 1，b2 3，……………………………………………………………………（3分） y2 故双曲线的标准方程为x2  1． ………………………………………………（4分） 3 高二数学参考答案·第7页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}（2）易知A(1，0)， 由题可设直线l的方程为xmy2，P(x，y )，Q(x，y )， 1 1 2 2 ………………………………………………………………………………（5分） xmy2  由 y2 ，得(3m2 1)y2 12my90， ……………………………………（6分） x2  1  3 ∵直线l与Γ的右支交于P，Q两点， 12m 9 ∴3m2 10，y  y  ， y y  ， ………………………………（7分） 1 2 3m2 1 1 2 3m2 1 4 x x m(y  y )4 0， ………………………………………………（8分） 1 2 1 2 3m2 1 ∴3m2 10． ………………………………………………………………………（9分） 9 y y y y 3m2 1 （i）证明：k k  1  2  1 2  9， 1 2 x 1 x 1 m2y y m(y  y )1 9m2 12m2 1 2 1 2 1 2  1 3m2 1 3m2 1 故k k 为定值9．…………………………………………………………………（10分） 1 2 1 1 （ii）解：由题意可得S  |AF|| y  y | | y  y |， …………………………（11分） 1 2 1 2 2 1 2 y y 1 y 直线AP的方程为y 1 (x1) 1 (x1)，则y   1 ， x 1 my 1 M 2 my 1 1 1 1 1 y 同理可得y   2 ， ………………………………………………………（12分） N 2 my 1 2 1 1 1 y y 1 | y  y | ∴S   | y  y | 1  2  1 2 ， 2 2 2 M N 8 my 1 my 1 8|m2y y m(y  y )1| 1 2 1 2 1 2 ………………………………………………………………………………（13分） S 4 ∴ 1 4|m2y y m(y  y )1| ， ……………………………………（14分） S 1 2 1 2 |3m2 1| 2 ∵1≤3m2 10，∴0|3m2 1|≤1， …………………………………………（15分） S 4 ∴ 1  ≥4，当且仅当m0时等号成立，………………………………（16分） S |3m2 1| 2 S 故 1 的取值范围为[4，)． ……………………………………………………（17分） S 2 高二数学参考答案·第8页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}19．（本小题满分17分） 解：（1）根据题设条件可知a 1，a，，a 为公差为1的等差数列， 1 2 10 根据等差数列的通项公式可得a a 910，……………………………………（2分） 10 1 又a ，a ，，a 为公差为d的等差数列， 10 11 20 根据等差数列通项公式的推广公式可得a a 10d 50， 20 10 ………………………………………………………………………………（4分） 解得d 4．……………………………………………………………………………（5分） （2）由题可知：a 1，a，，a 为公差为1的等差数列， 1 2 k 根据等差数列的通项公式可得a a (k1)k ， k 1 ………………………………………………………………………………（6分） a，a ，，a 为公差为d的等差数列， k k1 2k 故a a kd k(1d)，……………………………………………………………（7分） 2k k a ，a ，，a 为公差d2的等差数列， 2k 2k1 3k  1 2 3 3 故a a kd2 k(1d d2)kd    ≥ k， 3k 2k  2 4 4 ………………………………………………………………………………（9分） 3 3 又k为正整数，故 k 0，即a 的最小值为 k．………………………………（10分） 4 3k 4 （3）记n除以k的整数部分为s，余数为t，则nkst，………………………（11分） 当s≥1时，a ，a ，，a 是公差为ds的等差数列， ks ks1 k(s1) 而a a kds， k(s1) ks 依次类推得a a kds，a a kds1，，a a k1， k(s1) ks ks k(s1) k 1 累加得a k(1d d2 ds)， ……………………………………………（13分） k(s1) 高二数学参考答案·第9页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}当d 1时，a k(s1)， k(s1) 1ds1 当d 1，根据等比数列的求和公式可得a k  ， k(s1) 1d ks，d 1，  也即a  1ds ………………………………………………………（15分） ks k  ，d 1，  1d kst，d 1，  由题，t[0，k)，则a a tds  1ds kst ks k  tds，d 1，  1d 当s0时，a a t ，仍然满足上式， ………………………………………（16分） kst t n，d 1，  综上，数列{a }的通项公式为a  1ds n n k  tds，d 1.  1d …………………………………………………………………………………（17分） 高二数学参考答案·第10页（共10页） {#{QQABCQ4UggAAQAIAAQhCUQWKCgEQkBCAAQoOBAAQIAABCAFABAA=}#}