文档内容
2025 年普通高中学业水平选择性考试（模拟）
数 学 试 卷
本试题卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时150分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位
置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B=¿，则B∩∁ A=（ ）
U
A．{4} B．{2,4} C．{1,2} D．{1,3,5}
2．设 ，向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在正三棱台 中， ， ， 与平面ABC所成角为 ，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．设 是数列 的前 项和，且 ， ，则
1
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．已知 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点 ，与 及其准线依次交于 三点（其中点
O l D:y2=2px(p>0) F D A,B,C
B在A,C之间），若|AF|=4，|BC|=2|BF|,则△OAB的面积是（ ）
4❑√3 8❑√3
A．❑√3 B． C．2❑√3 D．
3 3
8．对于函数y=f (x)与y=g(x)，若存在 ，使 ，则称 ， 是 与
图象的一对“隐对称点”．已知函数 ， ，函数 与 的图象恰好存在两对
“隐对称点”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若随机变量 ，则
C．若随机变量 服从 分布，且 ，则
D．若随机变量 满足 ，则
10．已知函数 的定义域为 ， 的导函数为 ， ， ，当
时， ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 中心对称
C． D．
2
学科网（北京）股份有限公司11． 曲线的形状类似希腊字母“ ”，其方程为 .若点 在 曲线上，
，则（ ）
A．当 在第一象限时，
B．当 在第四象限时，
C．直线 与 曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D．直线 与 曲线恰有4个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
13．已知 ， ，若对任意 ，都存在 ，使得
f(x)=lnx−ax g(x)=ex−ax x ∈(0,+∞) x ∈(0,+∞)
1 2
f(x )g(x )=x x ，则实数a的取值范围为 .
1 2 1 2
14．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状
态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状
态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则
灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）在 中，内角 所对的边分别为 ．已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的角平分线 与边 相交于点 ， ，求 的周长．
3
学科网（北京）股份有限公司16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
，点 在棱 上.
(1)当 为 上靠近点 的四等分点时，求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，当 为 的中点时，
求二面角 的余弦值.
17．（本小题满分15分）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100
分）统计如下表所示.
成绩区间
频数 100 200 300 240 160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从 的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，
设成绩落在区间 的次数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原
高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为 ．在一次资
格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围.
18. （本小题满分17分）已知函数 .
（1）求证： .
（2）若 ， ， 为 的最大值，
（i）求 的极小值；
4
学科网（北京）股份有限公司（ii）设 ， ，求证： .
19．（本小题满分17分）已知椭圆E的标准方程为： ，在这个椭圆上取 个
点，这些点的坐标分别为 ，连接 ．
(1)若直线 的斜率为 ，求椭圆E的离心率；
(2)证明 的面积为定值，并求多边形 的面积（用n表示）；
(3)若 ，线段 的中点为M，证明： ．
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