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2025年普通高中学业水平选择性考试（模拟）数学答案
A D A C D B B D
9．ABD 10．AB 11．BC
【详解】当 时， 可化为 ，
为椭圆 的两个焦点，则
，A错误.当 时， 可
化为 ， 为双曲线 的两个焦
点，则 ，B正确.当 时， 可化为 ，所以
点 不可能在第三象限.当 时， 可化为 ，所以 曲线由三段曲
线组成，其图形如图所示，因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以直线
与曲线 无公共点.将 代入 ，得
，
由图可知直线 与曲线 有2个交点，则这2个交点的横坐标之和
为 ，其中1个交点为 .将 代入 ，得 ，由图可知直
线 与曲线 有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为 ，其中
1个交点为 ，
所以直线 +4与 曲线的所有交点的横坐标之和为 ，C正确.
1
学科网（北京）股份有限公司结合双曲线 与 的渐近线的斜率，由图可知直线 与曲线
有2个公共点，与曲线 只有1个公共点，与曲线
没有公共点，所以直线 与 曲线恰有3个公共点，D错误.故
选：BC
12．【答案】
f(x ) 1
1 =
13．【答案】[
e+
1
,+∞
)【详解】由
f(x )g(x )=x x
得
x g(x )
，设
e 1 2 1 2 1 2
x
2
F(x)=
f(x)
=
lnx
−a，x∈(0,+∞)，则F' (x)=
1−lnx
，当00，则F(x)
x x x2
在 上单调递增；当 时， ，则 在 上单调递减；所以
(0,e) x>e F' (x)<0 F(x) (e,+∞)
1
F(x) =F(e)= −a.且当x→0时，F(x)→−∞；当x→+∞时，F(x)→−a，故F(x)的值
max e
域为(
−∞,
1
−a
]；设
G(x)=
g(x)
=
ex
−a
，
x∈(0,+∞)
，则
G' (x)=
ex (x−1)，
e x x x2
当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 在
01 G' (x)>0 G(x)
(1,+∞)上单调递增；所以G(x) =G(l)=e−a，且当x→0时，G(x)→+∞；当x→+∞时，
min
G(x)→+∞，
1
故G(x)的值域为[e−a,+∞)；依题意，F(x)的值域是 的值域的子集.显然a≠e，若ae
G(x) e−a G(x)
( 1 ] ，则需 的值域( 1 ] ( 1 ] ，则 ，解
−∞, ∪(0,+∞) F(x) −∞, −a ⊆ −∞, ∪(0,+∞) ¿
e−a e e−a
1 [ 1 )
得a≥e+ .综上，实数a的取值范围为 e+ ,+∞ .
e e
14．【答案】 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有 种按法．
2
学科网（北京）股份有限公司与 相邻的灯区为 ；与 相邻的灯区为 ，故将9个灯区分为三类：第一类 灯区，
第二类 灯区，第三类 灯区．若要使得 灯区最终仍处于“点亮”状态，则需
在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． 若先后按下的是 两个灯区，则 灯区最终仍处
①
于“点亮”状态，共有 种按法； 若先后按下的是 灯区中的两个，则 灯区
②
最终仍处于“点亮”状态，共有 种按法；
若先后按下的是 灯区中的两个，则 灯区最终仍处于“点亮”状态，共有 种
③
按法．故 灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．故答案为： ．
15．【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得
，（1分）
，（2分） ， ，（3分）
，即 ，（4分）
即 ，∴ ．（5分）又B∈(0,π)， ；（6分，不写B的范围扣
1分）
（2）因为 的角平分线 与边 相交于点 ，所以 ，（7分）
即 ，（8分）所以 ，所以 ，
（9分）
又由余弦定理 ，即
3
学科网（北京）股份有限公司，（10分）
所以 ，（11分）解得 或 （舍去），（12分）
所以 .（13分）
16．【解】（1）如图，连接 交 于点 ，连接 .
因为 ，所以 ∽ ，所以 . ………2
分
因为 为 上靠近点 的四等分点，所以 .因为
，所以 . ………4分因为 平面 平面 ，所以
平面 . ……6分
（2）因为 平面 ，所以 为 与底面 所成的角，所以 .因为
，所以 .由题意得 ，又 平面
，所以 两两垂直. ………7分
故以 为坐标原点，以 所在直线分别为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
所以 . …………9分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则
.11分
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ， 令 ，则 . 13分因为 ，……
14分
4
学科网（北京）股份有限公司所以二面角 的余弦值为 .…15分
17．【答案】(1)平均值为 ，上四分位数为 ；(2)分布列见解析，数学期望为 ；(3)
.
【详解】（1）依题意，平均值 ，
，
上四分位数落在区间 ，且等于 .
（2）由样本数据可知，训练成绩在 之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在 中随机抽取了6次成绩，
在 之内的4次，在 之内的抽取了2次，
所以 可取的值有：0，1，2， ， ，
，
0 1 2
分布列为：
.
（3）法一：设事件 分别表示动作优化前成绩落在区间 ， ， ，则
相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率 ，
设事件B为＂动作优化成功＂，则 ，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为： ，且事件 相互互斥，
5
学科网（北京）股份有限公司所以在一次资格赛中入围的概率
，
故 ，
由 解得 ，又 的取值范围是 .
法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概
率为： ，进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区
间 或 的成绩，当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标
准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率 ，
由 ，得 ，又 的取值范围是 .
18．【答案】（1）证明见解析； （2）（i）0；（ii）证明见解析.
【小问1详解】令 ，定义域为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，当 时， 恒成立， 在 上单调递
增，
当 时， 恒成立， 在 上单调递减，故 的最大值为
，所以 ，所以 .
【小问2详解】（i） ，定义域为 ，
a 2 (a−2)x+a
ℎ '(x)= − = ,x(x+1)>0，因为 ，所以当 时，
x x+1 x(x+1)
6
学科网（北京）股份有限公司恒成立， 在 上单调递增，当 时， 恒成立，
在 上单调递减，故 的最大值为
，
所以 ，
因为函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调
递增，
因为 ，所以当 时， 恒成立， 在 上单调递
减，
当 时，m′(a)>0恒成立， 在 上单调递增，
故 的极小值为 .
（ii）因为 ，
所以 .
证明22×33×44×⋯×(2n−1) 2n−1>n2n2−n等价于证明
.
当 时， ，假设当 时，
7
学科网（北京）股份有限公司(1) 1 (2) 2 (3) 3 (2k−1) 2k−1
× × ×⋯× >1，
k k k k
则当 时，
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (2k−1) 2k−1 (2k) 2k (2k+1) 2k+1 (2k) 2k (2k+1) 2k+1
× × ×⋯× × × >1× × >1
k k k k k k k k
，所以当 ， 时，
11×22×33×44×⋯×(2n−1) 2n−1 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (2n−1) 2n−1
= × × ×⋯× >1，所以
n2n2−n n n n n
22×33×44×⋯×(2n−1) 2n−1>n2n2−n.
19．【答案】(1) (2)证明见解析，面积为 (3)证明见解析
【详解】（1） ，所以直线 的斜率为 ，所以 ，
所以椭圆C的离心率 ；
（2）证明：直线 的方程为 ，
化简得 ，所以原点O到直线 的距离
而 所以
．同理可得
8
学科网（北京）股份有限公司所以多边形 的面积为 ；
（3）证明：设 ，所以
所以 ，即 所以M的轨迹方程为一个椭圆，A，B是该椭圆的焦
点，
设 点 的坐标可化为
所以
，
又因为 所以
，
，
，
因为 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
