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理想树联考
高三数学 强化卷
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A A D A C C A ACD AC BD
( )
12. 13.13 14. 15 因为F′ x f′ x g′ x 1 1 m 1 m 在
-2
2 2
,+∞ ( )= ( )- ( )=
2
x +
2(2-
x
)
- =x
(2-
x
)
-
x 上单调递增 且F′ m 分
15.( )A π或A 2π( 分) ∈[1,2) , (1)=1- , …………………… 8
1 = = 6 第三步:分m 和m 讨论
3 3 ≤1 >1
( )b 或b ( 分) 当m 时 F′ m 所以F′ x 在 上恒成立
2 =1 =2 7 ① ≤1 , (1)=1- ≥0, ( )≥0 [1,2)
【解】 第一步:用正弦定理边化角 且不恒为 所以F x 在x 上单调递增 所以当x
(1) 0, ( ) ∈[1,2) , ∈[1,
a c 时 F x F 满足题意 分
由 c a C及正弦定理 2) , ( )≥ (1)=0, ; ………………………… 10
3 =2 sin A= C,
sin sin 当m 时 F′ 当x 时 F′ x 所以存在x
② >1 , (1)<0, →2 , ( )→+∞, 0∈
得 3sin C =2sin A sin C. ……………………………………… 2 分 (1,2), 使得F′ ( x 0)=0, 当x ∈(1, x 0) 时 , F′ ( x )<0, 所以F ( x ) 在
第二步:求角A的值
x 上单调递减 所以当x x 时 F x F 与题
(1, 0) , ∈(1, 0) , ( )< (1)= 0,
干矛盾 不满足题意. 分
因为C 所以 C 所以 A 3. 分 , ……………………………………… 14
∈(0,π), sin >0, sin = …………… 4
2 第四步:得出结论
因为A 所以A π或A 2π 易错:忽视正弦值在( , ) 综上所述 实数m的取值范围是 . 分
∈(0,π), = = ( 0 π , (-∞,1] ……………… 15
3 3 17.( )证明见解析( 分)
内对应两个角,从而导致漏解 . 分 1 6
) …………………………… 6
第一步:根据题意求b c ( ) 21( 分)
(2) + 2 9
7
由题意得a b c 因为a 所以b c . 分
+ + =3+ 3, = 3, + =3 ………… 7 【证明】第一步:作辅助线取DE的中点F
(1)
第二步:用余弦定理求bc与 A的关系
cos 如图 取DE的中点F 连接MF NF
①, , , ,
在 △ ABC中 , 由余弦定理得a2 = b2 + c2 -2 bc cos A =( b + c ) 2 -2 bc (1+cos A ), 第二步:证明MF 平面ABE,NF 平面ABE
∥ ∥
解得bc 3 . 分 因为M N分别是棱AD EC的中点 所以MF AE NF CD.
= A …………………………………………… 8 , , , ∥ , ∥
1+cos 又因为AB CD 所以NF AB. 分
第三步:分类讨论求b ∥ , ∥ ……………………………… 1
因为MF AE MF 平面ABE AE 平面ABE
∥ , ⊄ , ⊂ ,
当A 2π时 A 1 所以bc 分 所以MF 平面ABE. 分
= ,cos =- , =6, ……………………… 9 ∥ ………………………………………… 3
3 2
同理可证NF 平面ABE. 分
联立b c 得b2 b 此方程无实数解 分 ∥ …………………………………… 4
+ =3, -3 +6=0, ;…………… 10
第三步:证明结论
当A π时 A 1 所以bc 分
= ,cos = , =2,………………………… 11 因为MF NF F MF NF 平面MFN 所以
3 2 ∩ = , , ⊂ ,
联立b c 得b2 b 解得b 或b . 分 平面MFN 平面ABE.
+ =3, -3 +2=0, =1 =2 ………… 12 ∥
综上 b 或b . 分 又因为 MN 平面 MFN 所以 MN 平面
, =1 =2 ………………………………………… 13 ⊂ , ∥
16.( )y x ( 分) ABE. 分
1 = -1 4 …………………………………… 6
( )( , ]( 分) 【解】第一步:作辅助线取DC的中点G, 图
2 -∞ 1 11 (2) ①
【解】 第一步:求导数 连接CM ME 取DC的中点为G 连接AG AC
(1) , , , , ,
第二步:证明MD,ME,MC两两垂直
因为f x 1 x 1 x
( )= ln - ln(2- ),
2 2 因为AB CD且AB 1 CD AB BC 所以AB CG 所以四边
∥ = =1, ⊥ , ,
所以f′ x 1 1 分 2
( )= x+ x ,…………………………………… 1 形ABCG为矩形
2 2(2- ) ,
第二步:代值求f′( ) 所以AG GD DG .
1 ⊥ , =1
所以f′ . 分 又因为 ADC ° 所以AD 所以 ADC为等边三角形
(1)=1 ……………………………………………… 2 ∠ =60 , =2, △ ,
第三步:求切线方程 所以CM AD CM .
⊥ , = 3
因为f 所以所求切线方程为y x . 分
(1)=0, = -1 ……………… 4 因为 ADE为等边三角形 所以DE EM ME AD
△ , =2, = 3, ⊥ ,
第一步:构造函数
分
(2)
……………………………………………………………… 8
令F ( x )= f ( x )- g ( x ), 则由题意可得F ( x )≥0 在x ∈[1,2) 上恒 在 △ CDE 中 , 由余弦定理可得 CE2 = DC2 + DE2 - 2 DC ·
成立 且F
, (1)=0, DE CDE 1
第二步:求导并转化 cos∠ =4+4-2×2×2× =6,
4
D 1所以CM2 ME2 CE2 所以 CME ° 即CM ME 设P x y Q x y 由 OP OQ 得 O→P O→Q 即 x x
+ = , ∠ =90 , ⊥ , ( 1, 1), ( 2, 2), ⊥ , · =0, 1 2+
所以MD ME MC两两垂直. 分 y y
, , ……………………………… 10 1 2=0,
第三步:建立空间直角坐标系并写出相关点的坐标 第二步:求直线PQ的斜率不存在时,圆E的面积
以M为坐标原点 MD ME MC所在直线分别为x轴 y轴 z轴 当直线PQ的斜率不存在时 设直线PQ x t t
, , , 、 、 , , : = ,-2< <2,
建立如图 ② 所示的空间直角坐标系 , 则C (0,0, 3), E (0, 3,0), {x = t , ì ï ï x 1= t , ì ï ï x 2= t ,
D (1,0,0), A (-1,0,0), 由 x
4
2
+
y
3
2
=1
得
î
í ïïy
1= 3-
4
3 t2
,î
í ïïy
2=- 3-
4
3 t2
,
( )
所以x x y y t2 3 t2 得t2 12 分
1 2+ 1 2= - 3- =0, = , ……………… 8
4 7
( ) 2 ( )
所以圆E的面积为π
|
PQ
|
2
=
π
2 3-
3 t2
=π 3-
3 t2
=
4 4 4 4
( ( PQ ) 2
12π 提示:因为 PQ 是直径,故圆的面积为 | |
π =
7 2
图 )
② π PQ 2 分
第四步:求平面BCE和平面ADE的法向量 | | ;…………………………………………………… 9
4
( ) 第三步:讨论直线PQ的斜率存在时, PQ 的最小值
由→AB 1 D→C 得 B 3 3 则 E→C ( ) E→B | |
= - ,0, , = 0,- 3, 3 , = 当直线PQ的斜率存在时 设直线PQ y kx m
2 2 2 , : = + ,
( ) {y kx m
3 3 . = + ,
- 2 ,- 3, 2 {n E→C 由 x2 y2 得 (3+4 k2 ) x2 +8 kmx +4 m2 -12=0,…………… 10 分
设平面 BCE 的法向量为 n x y z 则由 · =0, 得 + =1
= ( , , ), 4 3
n E→B
· =0 km m2
所以x x 8 x x 4 -12 分
ì ï
ï- 3
y
+ 3
z
=0,
1+ 2=-
3+4
k2, 1 2=
3+4
k2 , ……………………… 11
í 令 z 则 y x 3 所以 n
î ïï - 3 x - 3 y + 3z =0, = 1, = 1, = - 3 , = 所以x 1 x 2+ y 1 y 2= x 1 x 2+( kx 1+ m )( kx 2+ m )=( k2 +1) x 1 x 2+ km ( x 1+
2 2 m2 km k2 m2
( 3 ) . 分 x 2)+ m2 =( k2 +1) 4 3+4 - k 1 2 2 - km 3 8 +4 k2 + m2 = -12 3+ + 4 7 k2 -12 =0,
- ,1,1 ……………………………………………… 13
3 所以 k2 m2 即 m2 k2 分
-12 +7 -12=0, 7 =12 +12,………………… 13
取平面ADE的一个法向量为m
=(0,0,1), 代入Δ k2m2 k2 m2 k2 m2 所以
=64 -4(3+4 )(4 -12)=16(12 +9-3 )>0,
第五步:求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值
k2 m2
记平面BCE与平面ADE的夹角为θ 则 PQ k2 x x 2 x x k2 16(12 +9-3 )
, | | = 1+ ( 1+ 2) -4 1 2 = 1+ k2 =
3+4
m n
cos
θ
=|cos〈
m
,
n
〉|=
|
m
·
||
n
|
=
7
21
, 48
1+
k2 16
k2
k
+
2
9
=
48
1+
k2
k2 2≥
48
,…… 15
分
7 3+4 7 (3+4 ) 7
即平面BCE与平面ADE夹角的余弦值为 21. 分
………… 15
7 当且仅当k2 时 PQ 取得最小值 48
=0 ,| | ,
x2 y2 7
18.( ) ( 分)
1 + =1 7 第四步:求圆E的面积的最小值
4 3
( )
2
( )12π( 分) 所以圆E的面积的最小值为π PQ 2 π 48 12π.
2 10 | | = × =
7 4 4 7 7
【解】 第一步:根据内切、外切表示 MC 和 MC
(1) | 1| | 2| 综上 圆E面积的最小值为12π. 分
设圆M的半径为r 易知圆C 的圆心为C 半径为 圆 , …………………………… 17
, 1 1(-1,0), 3, 7
C 的圆心为C 半径为 由题意知 MC r MC 解法二(同构) 第一步:当OP,OQ中有一条斜率不存在时,求圆
2 2(1,0), 1, ,| 1|=3- ,| 2|= :
r 分 E的面积
1+ , …………………………………………………………… 2
第二步:根据椭圆定义证明点M的轨迹为椭圆 因为以PQ为直径的圆经过坐标原点O 所以OP OQ 分
, ⊥ , … 8
所以 MC MC C C 因此点M的轨迹为以C C 当OP OQ 中有一条斜率不存在时 另一条斜率为 此时
| 1|+| 2|=4>2=| 1 2|, 1, 2 ① , , 0,
为焦点 长轴长为 的椭圆 分
, 4 , ………………………………… 3 PQ 2 a2 b2 圆E的面积为π PQ 2 7π 分
第三步:求a,b,c的值以及标准方程 | | = + =7, | | = ;…………… 9
4 4
所以 a c 所以a b2 a2 c2 分 第二步:直线OP,OQ的斜率均存在时,先求 PQ 2
2 =4, =1, =2, = - =3, ………………… 5 | |
x2 y2 若直线OP OQ的斜率均存在 设直线OP y kx 直线OQ y
故曲线C的方程为 . 分 ② , , : = , : =
+ =1 ……………………………… 7
4 3
1 x P x y Q x y
解法一 第一步:用坐标表示OP OQ - k , ( 1, 1), ( 2, 2),
(2) : ⊥
D 2由
{y
x = 2
kx
y , 2 得x2 1= k 1 2 2 , 同理可得 x2 2= 12 k k 2 2 ( 提示:将 k 用 因为点P ( m cos α , m sin α ) 在椭圆上 , 所以
m2
c 4 os
2α
+
m2
s 3 in
2α
=1,
+ =1 4 +3 4+3 2α 2α
4 3 即 1 cos sin 分
m2 = + , ………………………………………… 10
4 3
-
1
k
替换,即可得到 x2
2
的表达式,这是同构法在解析几何中的
( ) ( )
2 α π 2 α π
) cos + sin + 2α 2α
同理可得1 2 2 sin cos 分
应用
, ……………………………………………………… 11
分 n2 =
4
+
3
=
4
+
3
, …… 11
( ) 2α 2α 2α 2α
所以 1 1 cos sin sin cos 7 分
所以 | PQ | 2 =| OP | 2 +| OQ | 2 =(1+ k2 ) x2 1+ 1+k 1 2 x2 2 m2 +n2 = 4 + 3 + 4 + 3 = 12 ,……………… 13
k2 ( ) k2 k2 第三步:求 | PQ | 2 的最小值
12(1+ ) 1 12 7 分
=
4
k2
+3
+ 1+k2
4+3
k2 =7-
(4
k2
+3)(4+3
k2
)
……… 13
所以 PQ 2 m2 n2 12 m2 n2
(
1 1
)
第三步:求 PQ 2 的最小值
| | = + =
7
( + ) m2 +n2
| | ( n2 m2 ) ( n2 m2 )
12 12 48
=7- 7 ≥7- 7 = 48 , …………… 15 分 = 7 2+m2 +n2 ≥ 7 2+2 m2·n2 = 7 ,
12
k2
+
1
k
2
2 +25 2 12
k2
·
1
k
2
2 +25
7
当且仅当m n时 等号成立 此时α (2 k -1)π k Z
= , , = , ∈ ,
4
当且仅当k2 =1 时 ,| PQ | 2 取到最小值48 , 分
7 …………………………………………………………… 15
第四步:求圆E的面积的最小值 第四步:求圆E的面积的最小值
此时 圆E的面积的最小值为π 48 12π 所以圆E的面积的最小值为π 48 12π. 分
, × = , × = ……………… 17
4 7 7 4 7 7
因为7π 12π 所以圆E的面积的最小值为12π. 分 19.( ) 1 ( 分)
> , ………… 17 1 4
4 7 7 12
解法三(坐标法)
:
第一步:用坐标表示OP
⊥
OQ ( 2 )P(X 2=0 ) < P(X 2=3 ),理由见解析( 6 分)
b
设P ( x 1, y 1), Q ( x 2, y 2), 由OP ⊥ OQ , 得O→P · O→Q =0, ( 3 )P(S 20= j) = 2 j 0 (j =1 , 2 , 3 ,…, 120 ),其中b 0= b 1= b 2= … = b 19=
即x x y y 分 6
1 2+ 1 2=0, ……………………………………………… 8
第二步:利用椭圆方程消去y ,y ,P(X ) 1 1 ( 分)
1 2 0 20=0 = - 11 9 7
4 6 ×3
把P Q的坐标分别代入椭圆方程 可得y2 3 x2 y2 3 x2 【解】 提示:抛掷两次骰子,可以得到 个
, , 1=3- 1, 2=3- 2, (1)4=3+1=2+2=1+3( 2
4 4 数据,此时和为 的情况包含( , ),( , ),( , )共 种情况
分 4 1 3 3 1 2 2 3 ),
…………………………………………………………… 10 ( )
( )( ) 所以P S 1 2 1 . 分
所以 y y 2 3x2 3x2 9 x2 x2 9x2x2 x2x2 ( 2=4)=3× = …………………………… 4
( 1 2) = 3- 1 3- 2 =9- ( 1+ 2)+ 1 2= 1 2, 6 12
4 4 4 16 第一步:求P(X )
分 (2) 2=0
…………………………………………………………… 11 X 的情形 关键:
第三步:用基本不等式求x2 x2 的最小值 2=0 :4=3+1=2+2,8=6+2=5+3=4+4,12=6+6(
1+ 2 列出所有可能情形是求解问题的关键
(x2 x2 ) 2 ),
所以 9 x2 x2 7 x2x2 7 1+ 2
9- ( 1+ 2)= 1 2≤ , 所以P X 1 1 . 分
4 16 16 2 ( 2=0)= 2(2+1+2+2+1+1)= ………………… 7
6 4
解得x2 x2 24 当且仅当x2 x2 12时 等号成立 分 第二步:求P(X )
1+ 2≥ , 1= 2= , , …… 13 2=3
7 7
X 的情形
第四步:求 PQ 2 的最小值 2=3 :3=2+1,7=6+1=5+2=4+3,11=6+5,
| |
PQ 2 x x 2 y y 2 x2 x2 y2 y2 x x y y x2 x2 因此P X 1 10 5 .
| | =( 1- 2) +( 1- 2) = 1+ 2+ 1+ 2-2( 1 2+ 1 2)= 1+ 2+ ( 2=3)= 2(2+2+2+2+2)= =
( ) ( ) 6 36 18
3 x2 3 x2 1 x2 x2 1 24 48 第三步:比较得结论
3- 1 + 3- 2 =6+ ( 1+ 2)≥6+ × = ,
4 4 4 4 7 7
所以P X P X . 分
分 ( 2=0)< ( 2=3) ………………………………… 10
…………………………………………………………… 15 第一步:根据展开式求P(S j)
第五步:求圆E的面积的最小值 (3) 20=
x x2 x3 x4 x5 x6 20 b b x b x2 b x120
( + + + + + ) = 0+ 1 + 2 +…+ 120 ,
所以圆E的面积的最小值为π 48 12π. 分
4 × 7 = 7 ……………… 17 P S j b j j 其中b b b b .
解法四(基本不等式) 第一步:用三角函数知识设P,Q的坐标
( 20= )=
6
20( =1,2,3,…,120), 0= 1= 2=…= 19=0
:
分
设 OP m P m α m α 因为OP OQ …………………………………………………………… 12
| |= , ( cos , sin ), ⊥ ,
第二步:在多项式中令x ,相加求b b b b … b b
( ( ) ( )) =±1 0+ 2+ 4+ 6+ + 118+ 120
所以可设 OQ n Q n α π n α π 分
| |= , cos + , sin + , ……… 9 令x 得 20 b b b b b b
2 2 =1, 6 = 0+ 1+ 2+ 3+…+ 119+ 120,
第二步:利用椭圆方程消去α 令x 得 b b b b b b 提示:一般地,要使展
=-1, 0= 0- 1+ 2- 3+…- 119+ 120(
D 3开式中项的关系变为系数的关系,令x 得常数项,令x 可得 所以 10 b b b b 难点:利用复数的运算法则求出
=0 =1 -2 = 0- 2+ 4-…+ 120(
所有项系数和,令x 可得偶数次项系数之和与奇数次项系数 b b b … b 的值
=-1 0- 2+ 4- + 120 ),
之和的差
), 所以b b b b 1 20 9 分
0+ 4+ 8+…+ 120= ×6 -2 , ……………………… 16
4
故 1 20 b b b b b b . 分
×6 = 0+ 2+ 4+ 6+…+ 118+ 120 …………………… 14 第四步:求P(X )
2 20=0
第三步:令x =i ,由复数的运算求b 0+ b 4+ b 8+ … + b 120 所以P X 1 2 9 1 1 . 分
令x =i, 得 (-1+i) 20 =( b 0- b 2+ b 4-…+ b 120)+( b 1- b 3+ b 5- b 7+…+ ( 20=0)= 4 - 6 20 = 4 - 6 11 ×3 9 …………………… 17
b b 又因为 20 10 10
117- 119)i, (-1+i) =(-2i) =-2 ,
D 4
