文档内容
理想树联考
高三数学 强化卷
1.C 【深度解析】由题意知
,
B
={
x
|
x2
-4
x
-5<0}={
x
|(
x
-5)(
x
+1)< f′ x ax
[
a x 1
] (
提示:由于 ax 恒成立,所以只需
( )=e ln( +1)+x e >0
x x .又A 所以A B .故 +1
0}={ |-1< <5} ={1,2,3,4,5}, ∩ ={1,2,3,4}
)
选C. 讨论a (x ) 1 的正负 令g x a x 1 提示:构
ln +1 +x , ( )= ln( +1)+x (
2
+1 +1
2.A 【深度解析】由题知z = 1- i i = (1- i( i) 1+ ( i 1 ) +i) = i+ 2 i =- 2 1 + 2 1 i .故 造函数,研究函数的单调性 ), 若函数f ( x ) 有极值 , 则g ( x ) 在 (-1,
选A. a ax a
上有变号零点 g′ x 1 + -1.
3.A 【深度解析】如图 在正四棱锥 P ABCD +∞) , ( )=x +1 - ( x +1) 2 = ( x +1) 2
, -
中 O为正方形ABCD的中心 连接AC OP AC 当a 时 g x 1 即f′ x 恒成立 所以函数f x 在
, , , , ① =0 , ( )=x >0, ( )>0 , ( )
过点O 则 PAO即为侧棱与底面的夹角 即 +1
, ∠ , 上单调递增 无极值 不符合题意. 当a 时 g′ x
(-1,+∞) , , ② <0 , ( )<
PAO ° 因为 AB 所以 AO 所以
∠ =60 , =2, = 2, 所以函数 g x 在 上单调递减 又当 x 时
0, ( ) (-1,+∞) , →-1 ,
PO AO ° 所以V 1 S g x 当x 时 g x 所以存在x
= tan60 = 6, P - ABCD= 正方形ABCD· ( )→+∞, →+∞ , ( )→-∞, 0∈(-1,+∞),
3
使得g x 提示:虚拟零点的应用 所以函数f x 存在极值
( 0)=0( ), ( ) ;
PO 1 4 6.故选A.
= ×4× 6= 当a 时 令g′ x 得x 1 而 1 当 x 1
3 3 ③ >0 , ( )=0, = a -1, a -1>-1, -1< < a -1
4.D 【深度解析】由a a a 得a q a q3 a q2 即 q3 q2
2+4 4=4 3, 1 +4 1 =4 1 , 4 -4 +
q =0, 整理可得q (2 q -1) 2 =0( 另解:由a 2+4 a 4=4 a 3 ,得a 2+4 a 2 q2 = 时 , g′ ( x )<0; 当 x > a 1 -1 时 , g′ ( x )>0, 所以函数 g ( x ) 在
4
a
2
q,即a
2
(
2
q
-1
)2
=0),
解得q
= 2
1 .故选D. (
-1, 1 a -1
)
上单调递减 , 在
(
1 a -1,+∞
)
上单调递增 , 所以
5.A 【深度解析】(二倍角的余
( )
g x g 1 a a a.设h a a a a a 则h′ a
弦公式)如图
,
设
∠
F
1
B
1
B
2=
θ
,
( )min= a -1 = - ln ( )= - ln ( >0), ( )=
则 θ
c
由 θ 2θ -ln
a
,
当
0<
a
<1
时
,
h′
(
a
)>0;
当a
>1
时
,
h′
(
a
)<0,
所以函数h
(
a
)
在
(0,
tan = b , cos 2 =cos -
上单调递增 在 上单调递减.又h 且 a 时
1) , (1,+∞) (e)= 0, 0< <1 ,
2θ 2θ 2θ
2θ cos -sin 1-tan h a 所以 a 时 g x 此时函数f x 无极值 不符合题
sin = 2θ 2θ = 2θ = ( )>0, 0< ≤e , ( )min≥0, ( ) ,
cos +sin 1+tan
意 当a 时 h a 即g x 且当x 时 g x 当
( c ) 2 ; >e , ( )<0, ( )min<0, →-1 , ( )→+∞;
1- b b2
-
c2
5 得
x
→+∞
时
,
g
(
x
)→+∞,
所以g
(
x
)
有变号零点
,
所以函数f
(
x
)
存在极
( c ) 2 = b2 c2 = - , 值.综上 a的取值范围为 .故选A.
+ 13 , (-∞,0)∪(e,+∞)
1+ b
9.ACD 【深度解析】对于 a b θ θ 1 θ
b2 c2 所以 c2 c2 a2 整理得e2
c2
9 所以e 3 5.故
A, · =2+sin cos =2+
2
sin 2 ≥2-
9 =4 , 4 =9( - ), =a2 = , =
5 5 1 3 所以a b不垂直 故A正确;对于 令 θ θ 得
选A. = , , , B, 2cos -sin =0,
2 2
6.C 【深度解析】设事件D表示
“
这个人患流感
”,
A
1
表示
“
这个人
tan
θ
=2,
此时a
,
b共线
,
故B错误;对于
C,
a
+
b
=(3,sin
θ
+cos
θ
),
来自A地区 A 表示 这个人来自B地区 A 表示 这个人来自 所以 a b θ θ 2 θ 故C正
”, 2 “ ”, 3 “ | + |= 9+(sin +cos ) = 10+sin2 ≤ 11<5,
C地区 则 P A 3 1 P A 2 1 P A 确;对于 θ π时 a b 所以a在b方向上的投
”, ( 1)= = , ( 2)= = , ( 3)= D, = , =(2,1), =(1,0),
3+2+1 2 3+2+1 3 2
a b
1 1 P D A % P D A % P D A % 所以根 影向量为 · b b 故D正确.故选ACD.
= , ( | 1)=6 , ( | 2)=5 , ( | 3)=4 , b 2· =2 ,
3+2+1 6 | |
据全概率公式可得 P D P A P D A P A P D A ( ) ( )
( )= ( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)+ 10.AC 【深度解析】由题可得 f x 2 x π 2 x π
, ( )= sin + +sin + =
12 4
P A P D A 1 % 1 % 1 % 4 .故选C.
( 3)· ( | 3)= ×6 + ×5 + ×4 = [ ( )] [ ( )] ( )
2 3 6 75 1 x π 1 x π 1 x π
7.C 【深度解析】
(
α π
)
1+tan
α
cos
α
+sin
α
α
2 1-cos 2 + 6 + 2 1-cos 2 + 2 =1- 2 cos 2 + 6 +
tan + = α= α α=2(sin + ( )
4 1-tan cos -sin 1 x 1 x π x π 1 x
sin 2 = 1- cos2 cos -sin2 sin + sin 2 = 1-
2 2 6 6 2
α 因为 α π 所以 α α 所以 α α 1
cos ), 0< < , sin +cos ≠0, cos -sin = , ( )
2 2 1 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x
cos2 - sin2 + sin 2 =- cos 2 + sin 2 +
故 α α 2 α 1 解得 α 3 .故选C. 2 2 2 2 4 4
(cos -sin ) =1-sin2 = , sin2 = ( )
4 4
1 x 3 x 3 x 3 x π .
8.A 【深度解析】由题可得 函数 f x 的定义域为 sin2 +1=- cos2 + sin2 +1= sin 2 - +1
, ( ) (-1,+∞), 2 4 4 2 6
D 1( ) g g g g g g g g g
对于 选项 因为f x 3 x π 所以函数f x 的最小 =506( (1) (2)+ (2) (3)+ (3) (4)+ (4) (5))- (2 024)·
A , ( )= sin 2 - +1, ( ) g g g
2 6 (2025)- (2024)+ (1)-2023
g g g g g g g g
正周期T 2π 故A正确; =506[( (2)+ (4))( (1)+ (3))]- (0) (1)- (0)+ (1)-2023
= =π,
2 g g 故D正确.故选BD.
=506×4- (1)-1+ (1)-2023=0,
对于 选项 根据正弦函数的有界性 显然函数f x 的最大值是
B , , ( ) 12. 【深度解析】设幂函数f x xa a 为常数 由 f 得
-2 ( )= ( ), (2)= 4
( )
2
3
+1,
故B错误;
2
a
=4,
解得a
=2,
所以f
(
x
)=
x2
,
则
log2
f 1
2
=log2
1
4
=-2
.
对于 选项 令π k x π 3π k k Z 得π k 13.13 【深度解析】由S a a 得 当n 时 易错:在根据递推
C , 2 +2 π≤2 - 6 ≤ 2 +2 π( ∈ ), 3 + π≤ 2 n= n n +1 , ≥2 (
关系求S 时,一定要注意前提条件n S a a 以上两
x ≤ 5π + k π( k ∈ Z ), 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 n -1 ≥2), n -1= n -1 n,
6 式相减 得a a a a .因为a 所以a a 即
[ ] [ ] , n= n( n +1- n -1) n≠0, n +1- n -1=1,
π k 5π k k Z 令k 则函数f x 在 π 5π 上单
+ π, + π ( ∈ ), =0, ( ) , d 解得 d 1 . 又 S a a a 所以 a 所以 a a
3 6 3 6 2 =1, = 1= 1= 1 2, 2=1, 13= 2+
( ) [ ] ( 2
调递减 又 π 2π π 5π 所以函数 f x 在区间 π
, , ⊆ , , ( ) , d 1 13.
3 3 3 6 3 11 =1+11× =
2 2
)
( )
2π 上单调递减 故C正确;
, 14. 15 【深度解析】由题可得 x2 ax ax2 x x
3 ,+∞ |4 -2 +1|+ - =0( >
2
k
对于 选项 令 x π k k Z 得x π π k Z 则函数 ( ) 2
D , 2 - = π( ∈ ), = + ( ∈ ), 1 a a2 1 a 令 t 1 a t a 则 t2
6 12 2 0)⇔ x - +4- = x - , = x - ( >- ), | +4-
( k ) (
f x 的图象关于点 π π k Z 中心对称 易错:正弦函数 a2 t在 a 上有且仅有两个不等的实根.
( ) + ,1 ( ∈ ) |= (- ,+∞)
12 2
当 a2 即 a 时 t2 a2 t t2 t a2 在
( ) 4- ≥0, -2≤ ≤2 ,| +4- | = ⇔ - +4- =0
y
=
3
sin 2
x
-
π 图象的对称中心在x轴上,函数f(x)的图象由 ì
ï4-
a2
≥0,
该函
2
数图象向上
6
平移 个单位长度得到,所以函数f(x)的图象的
ï
ï1-4(4-
a2
)>0,
1 a 上有且仅有两个不等的实根 所以í 解
( k ) ) k (- ,+∞) , ït 1 a
对称中心为点 π π, (k Z) .令π π π 解得k 1 = >- ,
+ 1 ∈ + = , = ∉ ï 2
12 2 12 2 6 6 ï
( ) îa2 a a2
+ +4- >0,
Z 故函数f x 的图象不关于点 π 对称 故D错误.故选AC.
, ( ) ,1 ,
6 得 15 a .
11.BD 【深度解析】对于 假设f x x 则f x x g x < ≤2
A, ( )=1+ , ( )- =1, (2 + 2
都为偶函数 则所设函数f x x符合题意 此时f 当 a2 即 a 或 a 时 若 a 则 a a2
1)=1 , ( )=1+ , (0)= 4- <0, >2 <-2 , >2, - <- -4<0<
故A错误;
1, a2 由数形结合可知 t2 a2 t在 a 上有且仅有
-4, | +4- | = (- ,+∞)
对于 因为f x x为偶函数 所以f x x f x x 即 f ( x ) 两个不等的实根 满足题意
B, ( )- , ( )- = (- )+ , x + , ;
若a 则 a2 a2 a 此时 t2 a2 t在 a
f x f x <-2, - -4<0< -4<- , | +4- |= (- ,
(- ) x .令h x ( ) x 则 h x h x 所
x =2( ≠0) ( )= x ( ≠0), ( )+ (- )=2, 上至多有一个实根 不合题意 舍去.
- +∞) , ,
( )
以h x 的图象关于点 对称 故B正确;
( ) (0,1) , 综上 实数a的取值范围为 15 .
, ,+∞
对于 因为g x 为偶函数 所以g x g x 即 2
C, (2 +1) , (2 +1)= (-2 +1),
g x g x 所以g x g x .又因为f x x f x x 15.( )A π或A 2π( 分)
(1+ )= (1- ), (2+ )= (- ) ( )- = (- )+ , 1 = = 6
所以f′ x f′ x 所以g x g x 所以g x 3 3
( )-1=- (- )+1, ( )+ (- )= 2, ( )+ ( )b 或b ( 分)
g x 所以g x g x 可得g x 2 =1 =2 7
(2+ )=2①, ( +2)+ (4+ )=2②,①-② ( +4)= 【解】 第一步:用正弦定理边化角
g x 关键:通过赋值求出函数 g(x)的周期 则 g (1)
( )( ), (2 023)= a c
g
(3),
又g
(-1)=
g
(3),
所以g
(1)+
g
(3)=
g
(1)+
g
(-1)= 2,
因 由
3
c
=2
a
sin
C及正弦定理
A= C,
sin sin
为无法确定g 的值 所以无法确定g 的值 所以无法确定
(1) , (-1) , 得 C A C. 分
g 的值 故C错误;
3sin =2sin sin ……………………………………… 2
(2023) , 第二步:求角A的值
对于 由g x g x 得 g 由 得 g g
D, ( )+ (- )= 2 (0)= 1, ① (1)+ (3)=
g g 由 g x g x 知函数 g x 的周期为 则 因为C 所以 C 所以 A 3. 分
(2)+ (4)=2, ( +4)= ( ) ( ) 4, ∈(0,π), sin >0, sin = …………… 4
2
g x g x 的周期也为 则 g g g
( )· ( +1) 4, ( (1)-1)( (2)+1)+( (2)-
因为A 所以A π或A 2π 易错:忽视正弦值在( , )
g g g ∈(0,π), = = ( 0 π
1)( (3)+1)+…+( (2023)-1)·( (2024)+1) 3 3
g g g g g g g 内对应两个角,从而导致漏解 . 分
= (1) (2)+ (2) (3)+…+ (2 023) (2 024)- (2 024)+ ) …………………………… 6
g 第一步:根据题意求b c
(1)-2023 (2) +
D 2由题意得a b c 因为a 所以b c . 分 因为MF AE MF 平面ABE AE 平面ABE
+ + =3+ 3, = 3, + =3 ………… 7 ∥ , ⊄ , ⊂ ,
第二步:用余弦定理求bc与 A的关系 所以MF 平面ABE. 分
cos ∥ ………………………………………… 3
在 △ ABC中 , 由余弦定理得a2 = b2 + c2 -2 bc cos A =( b + c ) 2 -2 bc (1+cos A ), 同理可证NF ∥ 平面ABE. …………………………………… 4 分
第三步:证明结论
解得bc 3 . 分
= A …………………………………………… 8 因为MF NF F MF NF 平面MFN 所以
1+cos ∩ = , , ⊂ ,
第三步:分类讨论求b 平面MFN 平面ABE.
∥
又因为 MN 平面 MFN 所以 MN 平面
当A 2π时 A 1 所以bc 分 ⊂ , ∥
= ,cos =- , =6, ……………………… 9
3 2 ABE. 分
…………………………………… 6
联立b
+
c
=3,
得b2
-3
b
+6=0,
此方程无实数解
;…………… 10
分
【解】第一步:作辅助线取DC的中点G, 图
(2) ①
当A π时 A 1 所以bc 分 连接CM ME 取DC的中点为G 连接AG AC
= ,cos = , =2,………………………… 11 , , , , ,
3 2 第二步:证明MD,ME,MC两两垂直
联立b c 得b2 b 解得b 或b . 分
+ =3, -3 +2=0, =1 =2 ………… 12
综上 b 或b . 分 因为AB CD且AB 1 CD AB BC 所以AB CG 所以四边
, =1 =2 ………………………………………… 13 ∥ = =1, ⊥ , ,
2
16.( )y x ( 分)
1 = -1 4 形ABCG为矩形
,
( )( , ]( 分)
2 -∞ 1 11 所以AG GD DG .
⊥ , =1
【解】 第一步:求导数
(1) 又因为 ADC ° 所以AD 所以 ADC为等边三角形
∠ =60 , =2, △ ,
因为f x 1 x 1 x 所以CM AD CM .
( )= ln - ln(2- ), ⊥ , = 3
2 2
因为 ADE为等边三角形 所以DE EM ME AD
所以f′ x 1 1 分 △ , =2, = 3, ⊥ ,
( )= x+ x ,…………………………………… 1 分
2 2(2- ) ……………………………………………………………… 8
第二步:代值求f′(
1
) 在
△
CDE 中
,
由余弦定理可得 CE2
=
DC2
+
DE2
- 2
DC
·
所以f′ . 分
(1)=1 ……………………………………………… 2 DE CDE 1
第三步:求切线方程 cos∠ =4+4-2×2×2× =6,
4
因为f 所以所求切线方程为y x . 分 所以CM2 ME2 CE2 所以 CME ° 即CM ME
(1)=0, = -1 ……………… 4 + = , ∠ =90 , ⊥ ,
第一步:构造函数 所以MD ME MC两两垂直. 分
(2) , , ……………………………… 10
令F x f x g x 则由题意可得F x 在x 上恒 第三步:建立空间直角坐标系并写出相关点的坐标
( )= ( )- ( ), ( )≥0 ∈[1,2)
成立 且F 以M为坐标原点 MD ME MC所在直线分别为x轴 y轴 z轴
, (1)=0, , , , 、 、 ,
第二步:求导并转化 建立如图 所示的空间直角坐标系 则C E
② , (0,0, 3), (0, 3,0),
D A
因为F′ x f′ x g′ x 1 1 m 1 m 在 (1,0,0), (-1,0,0),
( )= ( )- ( )= x + x - =x x -
2 2(2- ) (2- )
x 上单调递增 且F′ m 分
∈[1,2) , (1)=1- , …………………… 8
第三步:分m 和m 讨论
≤1 >1
当m 时 F′ m 所以F′ x 在 上恒成立
① ≤1 , (1)=1- ≥0, ( )≥0 [1,2)
且不恒为 所以F x 在x 上单调递增 所以当x
0, ( ) ∈[1,2) , ∈[1,
时 F x F 满足题意 分
2) , ( )≥ (1)=0, ; ………………………… 10
当m 时 F′ 当x 时 F′ x 所以存在x
② >1 , (1)<0, →2 , ( )→+∞, 0∈
使得F′ x 当x x 时 F′ x 所以F x 在 图
(1,2), ( 0)=0, ∈(1, 0) , ( )<0, ( ) ②
x 上单调递减 所以当x x 时 F x F 与题 第四步:求平面BCE和平面ADE的法向量
(1, 0) , ∈(1, 0) , ( )< (1)= 0,
干矛盾 不满足题意. 分 ( )
, ……………………………………… 14 由→AB 1 D→C 得 B 3 3 则 E→C ( ) E→B
第四步:得出结论 = - ,0, , = 0,- 3, 3 , =
2 2 2
综上所述 实数m的取值范围是 . 分 ( )
, (-∞,1] ……………… 15 3 3 .
17.(
1
)证明见解析(
6
分) -
2
,- 3,
2 {n E→C
· =0,
设平面 BCE 的法向量为 n x y z 则由 得
( ) 21( 分) = ( , , ), n E→B
2 9 · =0
7
(1)
【证明】第一步:作辅助线取DE的中点F ì ï
ï- 3
y
+ 3
z
=0,
í 令 z 则 y x 3 所以 n
如图 ①, 取DE的中点F , 连接MF , NF , î ïï - 3 x - 3 y + 3z =0, = 1, = 1, = - 3 , =
第二步:证明MF 平面ABE,NF 平面ABE
2 2
∥ ∥
( )
因为M N分别是棱AD EC的中点 所以MF AE NF CD.
, , , ∥ , ∥ 3 . 分
- ,1,1 ……………………………………………… 13
又因为AB CD 所以NF AB. 分 3
∥ , ∥ ……………………………… 1
D 3取平面ADE的一个法向量为m 代入Δ k2m2 k2 m2 k2 m2 所以
=(0,0,1), =64 -4(3+4 )(4 -12)=16(12 +9-3 )>0,
第五步:求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值
k2 m2
PQ k2 x x 2 x x k2 16(12 +9-3 )
记平面BCE与平面ADE的夹角为θ 则 | | = 1+ ( 1+ 2) -4 1 2 = 1+ k2 =
, 3+4
m n k2 k2
θ m n · 21 48 k2 16 +9 48 48 分
cos =|cos〈 , 〉|= m n = , 1+ k2 = 1+ k2 2≥ ,…… 15
| || | 7 7 3+4 7 (3+4 ) 7
即平面BCE与平面ADE夹角的余弦值为 21. 分 当且仅当k2 时 PQ 取得最小值 48
………… 15 =0 ,| | ,
7 7
x2 y2 第四步:求圆E的面积的最小值
18.( ) ( 分)
1 + =1 7 ( )
4 3 2
所以圆E的面积的最小值为π PQ 2 π 48 12π.
| | = × =
( )12π( 分) 4 4 7 7
2 10
7
综上 圆E面积的最小值为12π. 分
【解】 第一步:根据内切、外切表示 MC 和 MC , …………………………… 17
(1) | 1| | 2| 7
设圆M的半径为r 易知圆C 的圆心为C 半径为 圆 解法二(同构) 第一步:当OP,OQ中有一条斜率不存在时,求圆
, 1 1(-1,0), 3, :
C 的圆心为C 半径为 由题意知 MC r MC E的面积
2 2(1,0), 1, ,| 1|=3- ,| 2|=
r 分 因为以PQ为直径的圆经过坐标原点O 所以OP OQ 分
1+ , …………………………………………………………… 2 , ⊥ , … 8
第二步:根据椭圆定义证明点M的轨迹为椭圆 当OP OQ 中有一条斜率不存在时 另一条斜率为 此时
① , , 0,
所以 MC MC C C 因此点M的轨迹为以C C
| 1|+| 2|=4>2=| 1 2|, 1, 2 | PQ | 2 = a2 + b2 =7, 圆E的面积为π | PQ | 2 = 7π ;…………… 9 分
为焦点 长轴长为 的椭圆 分 4 4
, 4 , ………………………………… 3
第三步:求a,b,c的值以及标准方程 第二步:直线OP,OQ的斜率均存在时,先求 | PQ | 2
若直线OP OQ的斜率均存在 设直线OP y kx 直线OQ y
所以 a c 所以a b2 a2 c2 分 ② , , : = , : =
2 =4, =1, =2, = - =3, ………………… 5
x2 y2 1 x P x y Q x y
故曲线C的方程为 . 分 - k , ( 1, 1), ( 2, 2),
+ =1 ……………………………… 7
4 3 {y kx
解法一 第一步:用坐标表示OP OQ = , k2 (
( 设 2) P ( x 1, y 1) : , Q ( x 2, y 2), 由 OP ⊥ OQ ⊥ , 得 O→P · O→Q =0, 即 x 1 x 2+ 由 x 4 2 + y 3 2 =1 得x2 1= 4 k 1 2 2 +3 , 同理可得 x2 2= 4 1 + 2 3 k2 提示:将 k 用
y y
1 2=0, 1 替换,即可得到 x2 的表达式,这是同构法在解析几何中的
第二步:求直线PQ的斜率不存在时,圆E的面积 - k 2
当直线PQ的斜率不存在时 设直线PQ x t t )
, : = ,-2< <2, 应用 分
, ……………………………………………………… 11
{x = t , ì ï ï x 1= t , ì ï ï x 2= t , ( )
由 x
4
2
+
y
3
2
=1
得
î
í ïïy
1= 3-
4
3 t2
,î
í ïïy
2=- 3-
4
3 t2
,
所以 | PQ
k
|
2
2 =|
(
OP | 2 +
)
| OQ
k
|
2
2 =(1+ k2 ) x2 1+
k
1
2
+k 1 2 x2 2
( ) 12(1+ ) 1 12 7 分
所以x
1
x
2+
y
1
y
2=
t2
- 3-
3 t2
=0,
得t2
=
12
, ……………… 8
分 =
4
k2
+3
+ 1+k2
4+3
k2 =7-
(4
k2
+3)(4+3
k2
)
……… 13
4 7 第三步:求 PQ 2 的最小值
( ) 2 ( ) | |
所以圆E的面积为π
|
PQ
|
2
=
π
2 3-
3 t2
=π 3-
3 t2
= 7 7 48 分
4 4 4 4 =7- ≥7- = , …………… 15
12π ( 提示:因为 PQ 是直径,故圆的面积为 ( | PQ | ) 2 12 k2 + 1 k 2 2 +25 2 12 k2 · 1 k 2 2 +25 7
π =
7 2
) 当且仅当k2 时 PQ 2 取到最小值48
π PQ 2 分 =1 ,| | 7 ,
| | ;…………………………………………………… 9
4 第四步:求圆E的面积的最小值
第三步:讨论直线PQ的斜率存在时, PQ 的最小值
| |
此时 圆E的面积的最小值为π 48 12π
当直线PQ的斜率存在时 设直线PQ y kx m , × = ,
, : = + , 4 7 7
{y kx m
= + , 因为7π 12π 所以圆E的面积的最小值为12π. 分
由 x2 y2 得
(3+4
k2
)
x2
+8
kmx
+4
m2
-12=0,…………… 10
分
4
>
7
,
7
………… 17
+ =1 解法三(坐标法) 第一步:用坐标表示OP OQ
4 3 : ⊥
km m2 设P x y Q x y 由OP OQ 得O→P O→Q
所以x x 8 x x 4 -12 分 ( 1, 1), ( 2, 2), ⊥ , · =0,
1+ 2=- 3+4 k2, 1 2= 3+4 k2 , ……………………… 11 即x
1
x
2+
y
1
y
2=0, ……………………………………………… 8
分
所以x
1
x
2+
y
1
y
2=
x
1
x
2+(
kx
1+
m
)(
kx
2+
m
)=(
k2
+1)
x
1
x
2+
km
(
x
1+
第二步:利用椭圆方程消去y
1
,y
2
m2 km k2 m2
x
2)+
m2
=(
k2
+1)
4 -
k
1
2
2
-
km 8
k2 +
m2
=
-12 +7
k2
-12
=0,
把P
,
Q的坐标分别代入椭圆方程
,
可得y2
1=3-
3 x2
1,
y2
2=3-
3 x2
2,
3+4 3+4 3+4 4 4
所以 k2 m2 即 m2 k2 分 分
-12 +7 -12=0, 7 =12 +12,………………… 13 …………………………………………………………… 10
D 4( )( ) b
所以 y y 2 3x2 3x2 9 x2 x2 9x2x2 x2x2 ( )P(S j) j (j , , ,…, ),其中b b b … b
( 1 2) = 3- 4 1 3- 4 2 =9- 4 ( 1+ 2)+ 16 1 2= 1 2, 3 20= = 6 20 =1 2 3 120 0= 1= 2= = 19=
分
…………………………………………………………… 11 ,P(X ) 1 1 ( 分)
第三步:用基本不等式求x2
1+
x2
2
的最小值 0 20=0 =
4
-
6
11
×3
9 7
所以 9 x2 x2 7 x2x2 7 (x2 1+ x2 2 ) 2 【解】 (1)4=3+1=2+2=1+3( 提示:抛掷两次骰子,可以得到 2 个
9- ( 1+ 2)= 1 2≤ , 数据,此时和为 的情况包含( , ),( , ),( , )共 种情况
4 16 16 2 4 1 3 3 1 2 2 3 ),
( )
2
解得x2 x2 24 当且仅当x2 x2 12时 等号成立 分 所以P S 1 1 . 分
1+ 2≥ , 1= 2= , , …… 13 ( 2=4)=3× = …………………………… 4
7 7 6 12
第四步:求 PQ 2 的最小值 第一步:求P(X )
| | (2) 2=0
PQ 2 x x 2 y y 2 x2 x2 y2 y2 x x y y x2 x2 X 的情形 关键:
| | =( 1- 2) +( 1- 2) = 1+ 2+ 1+ 2-2( 1 2+ 1 2)= 1+ 2+ 2=0 :4=3+1=2+2,8=6+2=5+3=4+4,12=6+6(
( ) ( ) 列出所有可能情形是求解问题的关键
3 x2 3 x2 1 x2 x2 1 24 48 ),
3- 1 + 3- 2 =6+ ( 1+ 2)≥6+ × = ,
4 4 4 4 7 7
所以P X 1 1 . 分
…………………………………………………………… 15
分 ( 2=0)=
6
2(2+1+2+2+1+1)=
4
………………… 7
第五步:求圆E的面积的最小值 第二步:求P(X )
2=3
X 的情形
所以圆E的面积的最小值为π
×
48
=
12π.
……………… 17
分 2=3 :3=2+1,7=6+1=5+2=4+3,11=6+5,
4 7 7
因此P X 1 10 5 .
解法四(基本不等式)
:
第一步:用三角函数知识设P,Q的坐标 ( 2=3)=
6
2(2+2+2+2+2)=
36
=
18
设 OP m P m α m α 因为OP OQ 第三步:比较得结论
| |= , ( cos , sin ), ⊥ ,
( ( ) ( )) 所以P X P X . 分
所以可设
|
OQ
|=
n
,
Q n
cos
α
+
π
,
n
sin
α
+
π
, ……… 9
分 ( 2=0)< ( 2=3) ………………………………… 10
2 2 第一步:根据展开式求P(S j)
第二步:利用椭圆方程消去α
(3) 20=
x x2 x3 x4 x5 x6 20 b b x b x2 b x120
因为点P m α m α 在椭圆上 所以
m2
cos
2α m2
sin
2α ( + + +
b
+ + ) = 0+ 1 + 2 +…+ 120 ,
( cos , sin ) , + =1, P S j j j 其中b b b b .
4 3 ( 20= )= 20( =1,2,3,…,120), 0= 1= 2=…= 19=0
2α 2α 6
即 1 cos sin 分 分
m2 = + , ………………………………………… 10 …………………………………………………………… 12
4 3
第二步:在多项式中令x ,相加求b b b b … b b
( ) ( ) =±1 0+ 2+ 4+ 6+ + 118+ 120
2 α π 2 α π
cos + sin + 2α 2α 令x 得 20 b b b b b b
同理可得1 2 2 sin cos 分 =1, 6 = 0+ 1+ 2+ 3+…+ 119+ 120,
n2 = 4 + 3 = 4 + 3 , …… 11 令x =-1, 得 0= b 0- b 1+ b 2- b 3+…- b 119+ b 120( 提示:一般地,要使展
2α 2α 2α 2α 开式中项的关系变为系数的关系,令x 得常数项,令x 可得
所以 1 1 cos sin sin cos 7 分 =0 =1
m2 +n2 =
4
+
3
+
4
+
3
=
12
,……………… 13
所有项系数和,令x 可得偶数次项系数之和与奇数次项系数
=-1
第三步:求 | PQ | 2 的最小值 之和的差
( ) ),
所以 | PQ | 2 = m2 + n2 = 1 7 2 ( m2 + n2 ) m 1 2 +n 1 2 故 1 ×6 20 = b 0+ b 2+ b 4+ b 6+…+ b 118+ b 120 . …………………… 14 分
( n2 m2 ) ( n2 m2 ) 第三 2 步:令x ,由复数的运算求b b b … b
= 1
7
2 2+m2 +n2 ≥ 1
7
2 2+2 m2·n2 = 4
7
8 ,
令x 得
=i
20 b b b
0+ 4
b
+ 8+ +
b
120
b b b
k
=i, (-1+i) =( 0- 2+ 4-…+ 120)+( 1- 3+ 5- 7+…+
当且仅当m n时 等号成立 此时α (2 -1)π k Z b b 又因为 20 10 10
= , , = , ∈ , 117- 119)i, (-1+i) =(-2i) =-2 ,
4
分 所以 -2 10 = b 0- b 2+ b 4-…+ b 120( 难点:利用复数的运算法则求出
…………………………………………………………… 15
b b b … b 的值
第四步:求圆E的面积的最小值 0- 2+ 4- + 120 ),
所以圆E的面积的最小值为π
×
48
=
12π.
……………… 17
分 所以b 0+ b 4+ b 8+…+ b 120=
4
1 ×6 20 -2 9 , ……………………… 16 分
4 7 7
第四步:求P(X )
19.( ) 1 ( 分)
20=0
1 4 9
12 所以P X 1 2 1 1 . 分
( )P(X ) P(X ),理由见解析( 分) ( 20=0)= 4 - 6 20 = 4 - 6 11 ×3 9 …………………… 17
2 2=0 < 2=3 6
D 5
