吉林省点石联考2026届高三上学期12月联考考后巩固卷数学_2025年12月_251221吉林省点石联考2026届高三上学期12月联考考后巩固卷（全科）

数学考后巩固卷
高三 2025 年 12 月版
姓名： 班级：
强化记忆
举一反三 步步为赢 点石成金
点石联考出题中心点石联考
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1.及时分析，明确薄弱点
 错题复盘：逐题分析错误原因（审题不清、知识点遗忘、计算失误等），用不同颜色标注错题类型。
 统计归类：按知识点或题型分类整理错题（如函数、几何、语法、实验设计），统计高频失分模块，
明确需优先突破的薄弱环节。
2. 针对性突破 ， 夯实基础
 知识补漏：针对错题涉及的课本概念、公式、定理，重新梳理核心内容，结合例题理解应用场景。
 专项训练：根据错题类型，精选同类题目进行限时练习（如每天10道同类题），强化解题思维和熟练
度。
3. 构建思维框架 ， 提炼方法
 思路对比：对比参考答案与自己的解题步骤，标注关键思路差异（如是否遗漏隐含条件、逻辑跳步）。
 总结模板：针对高频题型（如阅读理解主旨题、数学压轴题），归纳通用解题步骤或答题模板。
4. 模拟应用 ， 检验效果
 变式训练：将原题条件或设问方式稍作改动，自主改编1-2道同类题，测试是否真正掌握核心逻辑。
 限时重测：1-2周后重做巩固卷，对比正确率变化，重点关注反复出错的题目。
5. 长期规划 ， 动态调整
 建立档案：将错题整理成电子文档或活页本，标注错误日期和重做结果，形成个人学习轨迹。
 定期回顾：每周抽取10分钟复习错题本，考前集中筛查易错点，避免重复错误。点石联考
小题 满分 零分人
题号 知识点 人数 平均分 难度 标准差 区分度
分值 人数 数
1 椭圆的简单性质 43463 5 4.26 85.13 1.78 0.44 37000 6463
2 平面向量的坐标运算 43463 5 3.53 70.57 2.28 0.59 30670 12793
3 交集及其运算 43463 5 4.47 89.4 1.54 0.27 38855 4608
4 对数的运算性质 43463 5 3.33 66.66 2.36 0.63 28972 14491
5 直线与圆的位置关系及应用 43463 5 3.51 70.28 2.29 0.7 30548 12915
6 基本不等式 43463 5 3.85 76.99 2.1 0.47 33461 10002
7 三角函数中的恒等变换应用 43463 5 2.79 55.87 2.48 0.53 24282 19181
8 函数与方程的综合运用 43463 5 2.63 52.57 2.5 0.49 22850 20613
9 椭圆的简单性质 43463 6 3.16 52.74 2.65 0.42 18187 15804
10 等差数列与等比数列的综合 43463 6 2.26 37.72 1.6 0.3 2767 8711
空间中直线与平面之间的位置
11 43463 6 2.52 42.06 1.91 0.27 5939 12837
关系
填空
12-1 综合 43463 15 5.33 35.52 3.76 0.39 1239 9722
4
15 利用导数研究函数的极值 43463 13 7.09 54.51 5.15 0.81 11751 8439
16 解三角形的实际应用 43463 15 6.48 43.19 6.1 0.81 11505 12601
17 点、线、面间的距离计算 43463 15 8.32 55.43 5.51 0.75 10258 6109
18 直线与圆锥曲线的综合问题 43463 17 3.54 20.82 3.33 0.35 509 13013
19 等比数列 43463 17 2.28 13.41 2.52 0.24 14 19717点石联考 2025 年 12 月高三数学巩固卷
【原卷 1 题】 知识点 求椭圆的离心率或离心率的取值范围
x2 y2
1-1（基础）[8320939] 椭圆 + =1的离心率为（ ）
25 9
1 4 4
A．1 B． C． D．
3 3 5
1-2（巩固）[14758367] 椭圆x2+4y2 =4的离心率为（ ）
1 1 3 3
A． B． C． D．
4 2 4 2
1-3（提升）[5348212] 已知焦点在x轴上的椭圆
x2
+
y2
=1的离心率为 1 ，则m=
m 3 2
A．6 B． 6 C．4 D．2
【原卷 2 题】 知识点 求投影向量
2-1（基础）[29957593] 已知ar=3,4,b r =1,-1，则ar在b r 上的投影向量为（ ）
1 r 1 r 1 r 1 r
A．- b B．- b C．- b D．- b
2 3 4 5
2-2（巩固）[29729375] 在平面直角坐标系xOy中，已知三点A1,1,Bm,3,C3,n，若向量O uu B ur ,O uu C ur 在O uu A ur 上
的投影向量相同，则m-n的值为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
2-3（提升）[29111801] 已知向量ar=1,2,b r =x,y，若b r 在ar上的投影向量是 1 ar，则x2+y2的最小值为
5
（ ）
1/392 1 1 1
A． B． C． D．
9 2 4 5
【原卷 3 题】 知识点 交集的概念及运算
ì x ü
3-1（基础）[30009961] 已知集合A=0,1,2,4,5,6，B=íxÎN*| £0ý，则A
I
B=（ ）
î x-6 þ
A．0,2,4,5 B．0,2 C．1,2,4,5 D．0,1,2,4,5
  ì x-2 ü
3-2（巩固）[29895138] 设集合A= x x £1 ，B=íx £0ý，则A
I
B=（ ）
î x þ
A．{x|-1£x<0} B．{x|-1£x£1}
C．{x|0<x£1} D．{x|0<x£2}
ì x-4 ü
3-3（提升）[29712883] 已知集合A=  x∣x2-2x-3<0  ,B=íx <0ý，则A
I
B=（ ）
î x-1 þ
A．(-1,4) B．1,3 C．3,4 D．-¥,1È3,+¥
【原卷 4 题】 知识点 对数的运算性质的应用,运用换底公式化简计算
4-1（基础）[29877342] log 18-4log 3=（ ）
2 4
A．1 B．0 C．-log 3 D．log 3
2 2
4-2（巩固）[29674175] 设lg2=a，lg3=b，则log 6=（ ）
5
ab a+b ab a+b
A． B． C． D．
a+b 1-a 1-a a
4-3（提升）[29878314] 已知log 3=a，log 5=b，则log 375=（ ）
2 2 15
2/39a+2b a+3b a-2b a-3b
A． B． C． D．
a+b a+b a-b a-b
【原卷 5 题】 知识点 求点到直线的距离,由标准方程确定圆心和半径,由直线与圆的位置关系求参数
5-1（基础）[21618004] 若直线3x+4y+m=0与圆x-12+y+22 =4相切，则m的值为（ ）
A．21或-1 B．-21或1 C．5或-15 D．-5或15
5-2（巩固）[29978103] 若圆x-a2+y+22 =a2与直线2x+ay-3a=0相切，则a2 =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5-3（提升）[29421417] 若直线l:ax+by-2a+2b=0与圆(x-1)2+(y-2)2 =5相切，则直线l的斜率为
（ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
【原卷 6 题】 知识点 基本不等式求积的最大值,条件等式求最值
1 1 1
6-1（基础）[28698739] 已知x>0,y>0且x+y=1，则 + + 的最小值为（ ）
x y xy
A．4 2 B．8 C．2 2 D．4
2m
6-2（巩固）[27622797] 已知正数m，n满足m2+4n2 =5，则m- 的最大值为（ ）
2n+3
1
A． B．1 C． 2 D．2
2
x+2
6-3（提升）[26270865] 已知x2+9y2 =12,x,y>0，则 -3x的最小值为（ ）
y+1
A．-6 B．-2 C．1 D．-1
【原卷 7 题】 知识点 利用正弦函数的对称性求参数,辅助角公式
3/39æ π πö π
7-1（基础）[29777566] 已知函数 f x=sin3x+j ç- <j< ÷图象的一条对称轴为直线x= ，则j=
è 2 2ø 12
（ ）
π π π π
A． B．- C． D．-
4 4 3 6
æ πö
7-2（巩固）[27980155] 若 f x=sin2x+cos2x的图象关于x=a对称，则 f ça+ ÷=（ ）
è 4ø
A．-1 B．0 C．1 D． 2
7-3（提升）[29946398] 已知函数 f x=sinx+ 3cosx>0，若 f æ ç π -x ö ÷= f x，且 f x在 æ ç0, π ö ÷上
è3 ø è 12ø
有最大值，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．11
【原卷 8 题】 知识点 根据解析式直接判断函数的单调性
e5
8-1（基础）[20153125] 已知实数x,y满足x3 =e3-x3，lny= +2（其中e是自然对数的底数），则x3y=
y
（ ）
A．e5 B．e4 C．e3 D．e2
8-2（巩固）[25871853] 已知a,b满足aea=e2,blnb-1=e3，其中e是自然对数的底数，则ab的值为
（ ）
A．e4 B．e3 C．e2 D．e
8-3（提升）[23230965] 若lnx-lny> y2-x2，则（ ）
A．ex-y >1 B．ex-y <1 C．ln x-y >0 D．ln x-y <0
【原卷 9 题】 知识点 根据方程表示椭圆求参数的范围,求椭圆的焦点、焦距,求椭圆的长轴、短轴
4/39x2 y2
9-1（基础）[29916082] 已知曲线C的方程为 + =1，则下列说法正确的是（ ）
24-l 16+l
A．存在实数l，使得曲线C为圆
B．若曲线C为椭圆，则l的取值范围是-16,24
C．若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则4<l<24
D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
x2 y2
9-2（巩固）[26272252] 已知椭圆C: + =1，则（ ）
14+a 8-a
A．a的取值范围为(-14,8) B．若C的焦点在x轴上，则a>-2
3 10
C．若a= ，则C的焦距为6 D．若a=2，则C的离心率为
2 4
x2 y2
9-3（提升）[20747509] 已知曲线C: + =1为椭圆，则（ ）
1-m 2+m
A．-2<m<1
B．若C的焦点在x轴上，则C的焦距为2 -2m-1
æ 6ö
C．若C的焦点在x轴上，则C的短轴长取值范围为ç0, ÷
ç ÷
2
è ø
2m+1
D．若C的焦点在y轴上，则C的离心率为
2+m
【原卷 10 题】 知识点 等差数列通项公式的基本量计算,等比中项的应用,裂项相消法求和
10-1（基础）[29454506] 设等差数列a 满足a =5，a +a =30，则下列说法正确的是（ ）
n 2 6 8
A．a =2n+1 B．a 不是等差数列
n 2n-1
5/391 1æ1 1 ö ì 1 ü n
C． a n 2-1 = 4 ç èn - n+1 ÷ ø D．数列í îa n 2-1 ý þ 的前n项和是 4n+1
10-2（巩固）[21126449] 已知a 为等差数列，a +a +a =-135，a +a +a =-129，则（ ）
n 1 3 5 2 4 6
A．a 的公差为3 B．a =2n-51
n n
ìï 1 üï n
C．数列í ý的前n项和为 D．数列
a 
的前50项和为1250
ïî a
n
+50a
n+1
+50 ïþ 2n+1 n
10-3（提升）[23196780] 已知正项等差数列a 的前n项和为S ，a =3，公差为d，若(S +S )2 =S S ，则
n n 2 1 3 2 5
（ ）
9
A．d =2或d = B．a =1
2 1
20 1 589 S S
C．å = D． 2025 - 2024 =1
S -1 840 2025 2024
i=2 i
【原卷 11 题】 知识点 求点面距离,求线面角,证明面面垂直,求点到直线的距离
11-1（基础）[29262992] 已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
1 1 1 1
3
A．BC ^ AD B．直线BC与平面ACD 所成角的余弦值为
1 1 1 1
3
3
C．点B 到平面ACD 的距离为 D．BD^平面ACD
1 1 1 1
2
11-2（巩固）[29844342] 如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD,ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜
6/39边，且AD= 3,BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形，下面结论正确的是（ ）
A．
V
ABC为正三角形
B．AD^BC
2
C．AD与底面BCD所成角的正弦值为
3
3
D．点D到平面ABC的距离为
3
11-3（提升）[29633585] 如图，在四边形ABCD中，AB=BC =4，AC=AD=CD=4 2，将
V
ACD沿AC折
起至
V
ACH 的位置，使HB=4 2，F 是AC的中点，E是BC的中点，则（ ）
42
A．AB^HF B．点F 到平面HBC的距离为
7
14
C．HE=2 7 D．直线HE和平面HAC所成的角的正弦值为
14
【原卷 12 题】 知识点 求复数的模,复数的除法运算
12-1（基础）[29929930] 已知复数z=(4-3i)( 3+i)，则|z|= ．
1
12-2（巩固）[29946633] i是虚数单位，复数z满足 =1+2i，则 z = .
z
12-3（提升）[29174785] 已知i为虚数单位，复数z满足z1+i=2-i2，则 z = ．
7/39【原卷 13 题】 知识点 利用给定函数模型解决实际问题,解不含参数的一元二次不等式,一元二次方程根的分布问
题
13-1（基础）[20802963] 某医院开展某种病毒的检测工作，第n天时每个检测对象从接受检测到检测报告生
ì t
0 ,n<N
ï ï n 0
成平均耗时t(n)（单位：小时），t(n)=í （t ,N 为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小
t 0 0
ï 0 ,n³N
ï N 0
î 0
时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小
时．（精确到1小时）
13-2（巩固）[14492478] 衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后
4 8
体积V与天数t的关系式为：V =a×e-kt．已知新丸经过50天后，体积变为 a．若一个新丸体积变为 a，
9 27
则需经过的天数为 ．
13-3（提升）[29563935] 已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v（单位：km/h）的
平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以60km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20m.如果这辆
卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5m以外处停车，最大限
制时速应是 km/h.（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1s）
【原卷 14 题】 知识点 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,利用an与sn关系求通
项或项,根据数列的单调性求参数
14-1（基础）[28279357] 已知等差数列a 和等比数列b 满足a =2，b =4，a =2log b .设数列a 中不
n n 1 2 n 2 n n
在数列b 中的项按从小到大的顺序构成数列c ，记数列c 的前n项和为S ，则S = .
n n n n 100
14-2（巩固）[25498209] 已知等差数列a 的公差与等比数列b 的公比相等，且b -a =1，b -a =1，
n n 1 1 2 2
8/39b -a =1，若数列a 和b 的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列c ，数列c 的前n项和
3 4 n n n n
S
为S ，则使得 n >12成立的n的最小值为 ．
n c
n+1
14-3（提升）[21364900] 已知正项等差数列a 中，a =1，其中a +1，6，a 构成等比数列，b =2an，数
n 1 2 5 n
列b 的前n项和为S ，若"nÎN*，不等式lcosnπ<S +a 恒成立，则实数l的取值范围为 .
n n n n
【原卷 15 题】 知识点 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,求已知函数的极值
1
15-1（基础）[28226607] 已知函数 f(x)=xex- x2-x+4．
2
(1)求曲线y= f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；
(2)求 f(x)的极值．
15-2（巩固）[29451850] 已知函数 f x=lnx-3x.
(1)求曲线y= f x在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)求 f x的极值.
1
15-3（提升）[28994181] 已知函数 f(x)=ax- -(a+1)ln(x+1),aÎR.
x+1
(1)当a=1时，求曲线y= f x在x=0处的切线方程；
(2)求 f x的极值.
【原卷 16 题】 知识点 正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形
æ πö 1
16-1（基础）[29923365] 在 V ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinAcosçA+ ÷= .
è 6ø 4
9/39(1)求角A的大小；
(2)若a=2，c= 3b，求
V
ABC的面积.
16-2（巩固）[29897113] 在
V
ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
2asinAcosB+bsin2A=2 3acosC．
(1)求角C的大小；
(2)若c=3，且a+b=6，求
V
ABC的面积．
16-3（提升）[29936192] 已知
V
ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2ccosA= 3acosB+bcosA
(1)求角A；
(2)若
V
ABC的周长为3 3，且a= 3，求
V
ABC的面积.
【原卷 17 题】 知识点 线面垂直证明线线垂直,已知线面角求其他量,点到平面距离的向量求法
17-1（基础）[25806759] 如图，在四棱柱ABCD-ABCD 中，底面ABCD是正方形，平面AADD ^平面
1 1 1 1 1 1
ABCD，AD=2,AA = AD．
1 1
(1)求证：AD^ AB；
1
21
(2)若AB与平面ADC 的所成角的正弦值为 ，求点B到平面ADC 的距离．
1 1 1 1
7
17-2（巩固）[20018650] 在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC =2AD=2AB=2 2，ÐABC =90°，如图①把
△ABD沿BD翻折，使得平面ABD^平面BCD（如图②）.
10/39(1)求证：CD^ AB；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；
BN
(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°？若存在，求出 的值；若不存在，请
BC
说明理由．
17-3（提升）[25202156] 已知矩形ABCD中， AB=4，BC =2，E是CD的中点，如图所示，沿BE将
BCE翻折至△BFE，使得平面△BFE^平面ABCD.
V
(1)证明：BF ^ AE；
6
(2)已知在线段BD上存在点P（点P与点B，D均不重合），使得PF与平面DEF 所成的角的正弦值是 .
3
DP
①求 的值；
DB
②求点P到平面DEF 的距离.
【原卷 18 题】 知识点 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的直线过定点问题,椭圆中的定值问题,根据韦达定理
求参数
18-1（基础）[29789723] 已知椭圆C: x2 + y2 =1a>b>0的离心率为 2 ，且过点A2,1 .点M ，N 在C
a2 b2 2
上，且AM ^AN ，AD^MN ，D为垂足.
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点
11/39(3)存在定点Q，使得 DQ 为定值，求 DQ .
x2 y2
1
18-2（巩固）[29818574] 已知椭圆C: + =1a>b>0的左、右顶点分别为M,N，离心率为 ，点
a2 b2 2
æ 3ö
ç1, ÷在椭圆C上，P为椭圆上异于M,N的任意一点，直线l与椭圆C交于A,B两点．
è 2ø
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线PM 与直线PN 的斜率之积为定值；
k +k
(3)记直线AM,AN,MB,NB的斜率分别为k ,k ,k ,k ，且 1 3 =3，证明：直线l过定点．
1 2 3 4 k +k
2 4
x2 y2
18-3（提升）[29566399] 已知点F 是椭圆C: + =1a>b>0的右焦点，O为坐标原点，若C上的点与点
a2 b2
F 距离的最大值为3，最小值为1，过点F 作C的两条互相垂直的弦AB，DE.
(1)求C的方程；
1 1
(2)求证： + 的值为定值；
AB DE
(3)设AB，DE的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
【原卷 19 题】 知识点 根据数列递推公式写出数列的项,写出等比数列的通项公式,由递推关系证明等比数列,裂项
相消法求和
19-1（基础）[26909206] 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基
础．其定理陈述如下：如果函数 f(x)在区间a,b上连续，在区间(a,b)内可导，则存在x Î(a,b)，使得
0
f(b)- f(a) f a - f a  æ3 1ö
= f¢x ．已知函数 f(x)=x2-x，数列a 满足 n+1 n = f¢ ç a + ÷，且a =2．
b-a 0 n a -a è2 n 2ø 1
n+1 n
(1)求a ,a ；
2 3
(2)证明：数列a +1为等比数列；
n
2n 1
(3)若数列b = ，记S 为数列b 的前n项和，证明：S < ．
n a a n n n 3
n n+1
19-2（巩固）[19540550] 已知正项数列a 中，a =8，点  a ,a2+2a  在直线y=x上，b =lga +1，其
n 2 n+1 n n n n
12/39中nÎN*.
(1)证明：数列b 为等比数列；
n
(2)设S 为数列b 的前n项和，求S ；
n n n
2a +1 1
(3)记c = n ，数列c 的前n项和为T ，试探究是否存在非零常数l和，使得T + 为定值?
n a a +2 n n n l10Sn +
n n
若存在，求出l和的值；若不存在，请说明理由.
19-3（提升）[29957608] 对于数列a ，其前n项和记为S ，已知a =-2,S =a -4a ,nÎN*.
n n 1 n n n+1
(1)证明：数列2a -a 为等比数列；
n+1 n
a n b
(2)设b = n+4 ，数列b 的前n项和为T ，记M =å i ，
n nn+1 n n n T2
i=1 i
（i）求T ；
n
20
（ii）证明：M < ,nÎN*.
n 3
13/39