吉林省点石联考2026届高三上学期12月联考考后巩固卷数学答案_2025年12月_251221吉林省点石联考2026届高三上学期12月联考考后巩固卷（全科）

高三 数学答案解析 ✍ 变试题原题答案 【原卷 1 题】 【正确答案】D 【试题解析】 【原卷 2 题】 【正确答案】B 【试题解析】 【原卷 3 题】 【正确答案】A 【试题解析】 【原卷 4 题】 【正确答案】C 【试题解析】 【原卷 5 题】 【正确答案】D 【试题解析】 【原卷 6 题】 【正确答案】B 【试题解析】 【原卷 7 题】 【正确答案】D 【试题解析】 【原卷 8 题】 【正确答案】B 【试题解析】 【原卷 9 题】 【正确答案】BD 【试题解析】 14/39【原卷 10 题】 【正确答案】ABD 【试题解析】 【原卷 11 题】 【正确答案】AC 【试题解析】 【原卷 12 题】 【正确答案】 【试题解析】 【原卷 13 题】 【正确答案】 【试题解析】 【原卷 14 题】 【正确答案】 【试题解析】 【原卷 15 题】 【正确答案】 15/39【原卷 16 题】 【正确答案】 【原卷 17 题】 【正确答案】 【原卷 18 题】 【正确答案】 16/39【原卷 19 题】 【正确答案】 17/39精准训练答案 【试题解析】【分析】利用投影向量公式，结合向量的 ✍ 变试题答案 坐标运算，即可求解. 1-1【基础】 【正确答案】D 【详解】∵向量O uu B ur ,O uu C ur 在向量O uu A ur 上的投影向量相 c 【试题解析】【分析】根据离心率的定义e= ,代入数 同， a uuur uuur uuur uuur 据即得答案. OB×OA OC×OA \ uuur = uuur ，则O uu B ur ×O uu A ur =O uu C ur ×O uu A ur ， x2 y2 OA OA 【详解】椭圆 + =1,a=5,b=3Þc=4 25 9 uuur uuur uuur c 4 得 OB-OC ×OA=0， e= = ,答案为D a 5 【点睛】本题考查了椭圆的离心率的计算,属于简单 而A1,1,Bm,3,C3,n，得 题目. uuur uuur uuur OB-OC =m-3,3-n,OA=1,1， 1-2【巩固】 【正确答案】D 【试题解析】【分析】根据椭圆方程先写出标准方程， 得m-3,3-n×1,1=0，得m-3+3-n=0，得 然后根据标准方程写出a，b，c便可得到离心率. m-n=0. 【详解】解：由题意得： 故选：D x2 x2+4y2 =4Þ +y2 =1 Q 2-3【提升】 【正确答案】D 4 \a2 =4，b2 =1 【试题解析】【分析】根据投影向量的定义可求得 \c2 =a2-b2 =3，e= c = 3 x+2y=1，再利用二次函数的性质求解x2+y2的最 a 2 故选：D 小值. 1-3【提升】 【正确答案】C 【详解】∵向量ar=1,2,b r =x,y，∴ x2 y2 【试题解析】【详解】焦点在x轴上的椭圆 m + 3 =1, ar×b r =x+2y, a r = 12+22 = 5， 可得a= m,c= m-3， ∴b r 在ar上的投影向量是 æ ç ar r ×b rö ÷ a r r = x+2y a r = 1 ar ，∴ ç a ÷ a 5 5 1 m-3 1 è ø 椭圆的离心率为 ,可得： = ，解得m=4. 2 m 2 x+2y=1， 故选C. ∴x2+y2 =1-2y2+y2 =5y2-4y+1=5 æ çy- 2ö ÷ 2 + 1 2-1【基础】 【正确答案】A è 5ø 5 【试题解析】【分析】先计算a r ×b r 和b r ，利用投影向量 ， 2 1 1 的定义即可求解. ∴当y= ,x= 时，x2+y2取最小值 . 5 5 5 【详解】由题意得 故选：D. ar×b r =3´1+4´-1=-1,b r = 12+-12 = 2， 3-1【基础】 【正确答案】C x ar×b r r 1 r 【试题解析】【分析】先将分式不等式 £0求解得 所以ar在b r 上的投影向量为： r2 b =- 2 b ， x-6 b 到集合B，根据交集的运算即可得出答案. 故选：A. x ìx(x-6)£0 【详解】 £0Ûí Û0£x<6，又 2-2【巩固】 【正确答案】D x-6 îx-6¹0 18/39xÎN* log 375 log 3´125 log 3+log 125 log 375= 2 = 2 = 2 2 所以集合B=1,2,3,4,5，又A=0,1,2,4,5,6， 15 log 2 15 log 2 3´5 log 2 3+log 2 5 所以A I B=1,2,4,5， = log 2 3+log 2 53 = log 2 3+3log 2 5 = a+3b ， log 3+log 5 log 3+log 5 a+b 2 2 2 2 故选：C. 故B正确. 3-2【巩固】 【正确答案】C 故选：B 【试题解析】【分析】根据绝对值不等式的解法、分式 5-1【基础】 【正确答案】D 不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【试题解析】【分析】根据直线与圆的位置关系结合点 【详解】因为A=  x x £1  =x -1£x£1 ， 到直线的距离公式运算求解. ì x-2 ü 【详解】圆x-12+y+22 =4的圆心为圆1,-2， B=íx £0ý=x 00进行配凑放缩， 6-1【基础】 【正确答案】B 即可求出最值. 【试题解析】【分析】根据基本不等式求解即可. 7-1【基础】 【正确答案】A 【详解】因为x>0,y>0且x+y=1， 【试题解析】【分析】采用整体替换法，令 所以xy£ æ ç x+yö ÷ 2 = 1 ，所以 1 ³4， 3´ π +j= π +kπ,kÎZ求解出j的表示，根据j的 è 2 ø 4 xy 12 2 1 范围求解出j的值. 当且仅当x= y= 时，等号成立， 2 π π 【详解】由题意可知，3´ +j= +kπ,kÎZ，得 1 1 1 x+y 1 1 1 2 12 2 所以 + + = + = + = ³8， x y xy xy xy xy xy xy π j= +kπ,kÎZ. 故选：B 4 π π π 6-2【巩固】 【正确答案】B 因为- 0，运用基本不等式计算即可. 则 æ πö æ3π kπö æ æ3π kπö πö x+2 x+2-3x(y+1) 2-x(3y+2) fça+ ÷= fç + ÷= 2sinç2ç + ÷+ ÷= 2sinπ+kπ=0 【详解】 -3x= = , è 4ø è 8 2 ø è è 8 2 ø 4ø y+1 y+1 y+1 . 由于 故选：B x2+(3y+2)2 12-9y2+(3y+2)2 16+12y x(3y+2)£ = = =8+6y 2 2 2 7-3【提升】 【正确答案】C ， 【试题解析】【分析】利用辅助角公式化简 f x，根 1 5 当且仅当x=3y+2，即x=1+ 5,y=- + 取等 3 3 据对称轴可求得=1+6kkÎZ；根据 f x在 号. æ π ö π π π 则 ç0, ÷上有最大值可确定 < + ，得到 è 12ø 2 12 3 x+2 2-x(3y+2) 2-(8+6y) -6-6y -3x= ³ = =-6. >2，进而可确定最小值. y+1 y+1 y+1 y+1 故选：A. 20/39æ πö 即2-(lnb-1)-ln(lnb-1)=0， 【详解】 f x=sinx+ 3cosx=2sinçx+ ÷； è 3ø 构造函数 f x=2-x-lnx，由y=-x和y=-lnx都 æπ ö π Q f ç -x÷= f x，\f x关于直线x= 对称， è3 ø 6 为0,+¥上的单调递减函数， π π π \ + = +kπkÎZ，结合>0，解得： 6 3 2 所以函数 f x=2-x-lnx在定义域0,+¥上单调递 =1+6kkÎN； 减， æ π ö π æπ π πö 当xÎç0, ÷时，x+ Îç , + ÷， 所以 f(a)= f(lnb-1)=0Ûa=lnb-1，即 è 12ø 3 è3 12 3ø æ π ö π π π a+1=lnb， Q f x在ç0, ÷上有最大值，\ < + ，解 è 12ø 2 12 3 又因为lna=2-a，所以2-lna+1=lnb，所以 得：>2； lnab=3，解得ab=e3. \当k =1时，取得最小值7. 故选：B. 故选：C. 【点睛】由题可得2-a-lna=0， 8-1【基础】 【正确答案】A 2-(lnb-1)-ln(lnb-1)=0，构造函数 【试题解析】【分析】对x3 =e3-x3两边取对数，得 f(x)=1-x-lnx，根据函数单调性求解. e5 lnx3 =3-x3,再与lny= +2相加整理得 8-3【提升】 【正确答案】A y e5 e5 【试题解析】【分析】构建 f x=x2+lnx,x>0，根据 lnx3+x3 =ln + ，构造函数g(t)=lnt+t，根据单 y y 题意结合单调性分析可得x> y>0.对于AB：结合指 调性，即可求解. 数函数单调性分析判断；对于CD：举反例说明即可. 【详解】x3 =e3-x3,两边取对数得：lnx3 =3-x3，又 【详解】若lnx-lny> y2-x2，可得 e5 lny= +2，两式相加得： y x2+lnx> y2+lny，且x,y>0， e5 lnx3+lny=5-x3+ ，即 y 构建 f x=x2+lnx,x>0， e5 e5 e5 lnx3+x3 =lne5-lny+ =ln + ， y y y 因为y=x2,y=lnx在0,+¥内单调递增，可知 e5 令g(t)=lnt+t，故上式变为g(x3)=g( )，易知 y y= f x在0,+¥内单调递增， g(t)=lnt+t在0,+¥上单调递增， 由x2+lnx> y2+lny，即 f x> f y，可得 e5 故x3 = ，故x3y=e5， y x> y>0. 故选：A. 对于选项AB：因为x> y>0，则x-y>0， 8-2【巩固】 【正确答案】B 且y=ex在R内单调递增，所以ex-y >e0 =1，故A 【试题解析】【分析】由题可得2-a-lna=0， 正确，B错误； 2-(lnb-1)-ln(lnb-1)=0，构造函数 对于选项CD：利用x=2,y=1，满足x> y>0， f(x)=1-x-lnx，利用其单调性，即可得 但ln x-y =ln1=0，故CD错误； a+1=lnb，再结合lna=2-a即可求解. 故选：A. 【详解】由aea=e2，可得a=e2-a，即 9-1【基础】 【正确答案】AC lna=2-a，也即2-a-lna=0， 【试题解析】【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项 由blnb-1=e3可得lnb+ln(lnb-1)=3， 21/39判断即可. 对于C项，当C的焦点在x轴上时， 【详解】A正确：曲线C为圆Û24-l=16+l>0 1-m>2+m>0， 即 l=4； 1 3 所以-20,16+l>0,24-l¹16+lÛ-160 对于D项，当C的焦点在y轴上时， ï Ûí16+l>0 Û424-l D错误：C是椭圆Û-160 ï 1 1 【详解】由题设í8-a>0 ，可得 = 裂项可得；选项D，在C的基础 ï a 2-1 4n(n+1) î14+a¹8-a n 上，可求得. aÎ(-14,-3) U (-3,8)，A错； 【详解】选项A：等差数列a 满足a =5， 若C的焦点在x轴上，则14+a>8-a>0，可得 n 2 aÎ(-3,8)，B错； a +a =30，设公差为d. 6 8 3 3 3 若a= ，则C的焦距为2´ 14+ -8+ =6，C ìa +d =5 2 2 2 由a +a =2a =2(a +6d)=30,则í 1 ，解 6 8 7 1 îa +6d =15 1 对； 8-2 10 得a =3,d=2, 若a=2，则C的离心率为 1- = ，D对. 1 14+2 4 故选：CD 则a =3+2(n-1)=2n+1.故选项A正确. n 9-3【提升】 【正确答案】BD 选项B：又a =2(2n-1)+1=4n-1， 【试题解析】【分析】根据已知列出关系式，求出m的 2n-1 范围，以及得出a,b,c的值，进而得出答案. 则a -a =4(n+1)-1-4n-1=4，且 2(n+1)-1 2n-1 ì1-m>0 【详解】对于A项，由题意可知 ï í2+m>0 ，解 a 2´1-1 =a 1 =3. ï î1-m¹2+m 故数列a 是以3为首项，4为公差的等差数列， 2n-1 1 1 得-20， n 项和为T . 所以 a n  的前50项和为 n 则 S -2S =0-2´  252-50´25  =1250， 50 25 1æ 1 1 1 1 1 1 1 ö 1æ 1 ö n T n = 4 ç è 1- 2 + 2 - 3 + 3 - 4 + L + n - n+1 ÷ ø = 4 ç è 1- n+1 ÷ ø = 4n+1 故D正确. 故选：BCD. ，故选项D正确. 故选：ACD. 10-3【提升】 【正确答案】BCD 10-2【巩固】 【正确答案】BCD 【试题解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式建立方程求解公差即可得结果，这样可判断 【试题解析】【分析】由a +a +a =-135、 1 3 5 AB选项，再利用裂项相消法即可判断C选项，再利 a +a +a =-135可计算出a 的通项公式，得出 S 1 3 5 n 用 n =n可判断D选项. n A、B选项； 【详解】由等差数列的性质以及(S +S )2 =S S ，得 1 3 2 5 ìï 1 üï 数列í ý的前n项和可通过裂项相 ïî a n +50a n+1 +50 ïþ (4a 2 -d)2 =(2a 2 -d)(5a 2 +5d)， 9 消求和计算； a  的前50项中前25项为负数，后 即(12-d)2 =(6-d)(15+5d)，解得d =2或d = ， n 2 若d =2，则a =1³0，符合题意， 25项为正数，即可得其和为S -2S ，结合等差数 1 50 25 9 9 3 若d = ，a =3- =- <0，不符合题意，故A错 列前n项和公式即可得. 2 1 2 2 【详解】设a 的公差为d，前n项和为S ， 误，B正确； n n 由等差数列的前n项和公式得：S =n2，所以 n 因为a +a +a =3a =-135， 1 3 5 3 1 1 1 1æ 1 1 ö a 2 +a 4 +a 6 =3a 4 =-129， S -1 = n2-1 = n-1n+1 = 2 ç èn-1 - n+1 ÷ ø n 所以a 3 =-45，a 4 =-43，所以d =a 4 -a 3 =2， å 20 1 = 1 å 20æ ç 1 - 1 ö ÷= 1æ ç1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + L + 1 - 1 ö ÷ S -1 2 èi-1 i+1ø 2è 3 2 4 3 5 19 21ø i=2 i i=2 所以a =a +n-3d =2n-51， 1æ 1 1 1 ö 589 n 3 = ç1+ - - ÷= ，故C正确； 2è 2 20 21ø 840 故A不正确，B正确； S n2 S S 由 n = =n，所以 2025 - 2024 =2025-2024=1， n n 2025 2024 因为a =2n-51， n 故D正确. 所以 故选:BCD. 1 1 1æ 1 1 ö = = ç - ÷ 11-1【基础】 【正确答案】ABD a +50a +50 2n-12n+1 2è2n-1 2n+1ø n n+1 【试题解析】【分析】根据线线平行及线线垂直判定 ， A，根据线面垂直判定定理得出AD ^平面ABD， ìï 1 üï 1 1 1 所以í ý的前n项和为 ïî a n +50a n+1 +50 ïþ AC ^平面BBD，进而判断D，应用线面角定义计 1 1æ 1 ö n ç1- ÷= ，故C正确； 算即得判断B，由B结合D判断C. 2è 2n+1ø 2n+1 23/39【详解】对于A：连接BC 1 ， Q AD 1 //BC 1 ，且 BC ^BC ，\直线BC与AD 所成的角为90°，故选 1 1 1 1 项A正确； 对于D：连接BD交ACD 于O，因为AB ^平面 1 1 1 1 ADDA，AD Ì平面ADDA，所以AD ^ AB ， 1 1 1 1 1 1 1 1 故选：ABD． 又因为AD^ AD,ADÇAB = A,AD,AB Ì平面 11-2【巩固】 【正确答案】ABD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【试题解析】【分析】对于A：根据题意直接判断即 A 1 B 1 D，所以AD 1 ^平面A 1 B 1 D，B 1 DÌ平面A 1 B 1 D， 可；对于B：设点A在底面BCD的投影为E，可知 四边形BECD是边长为1的正方形，进而可证BC ^ 所以BD^ AD ， 1 1 平面ADE，即可得结果；对于C：可知AD与底面 因为BB ^平面ABCD，ACÌ平面ABCD，所以 BCD所成角为ÐADE，进而求解；对于D：转换顶 1 点结合等体积法求点到面的距离即可. AC ^BB ， 1 【详解】对于选项A：因为侧面ABC是正三角形， 故A正确； 又因为AC ^BD,BDÇBB =B,BD,BB Ì平面 1 1 对于选项B：由题意可知：AB= AC =BC = 2， BBD，所以AC ^平面BBD，BDÌ平面BBD， BD=CD=1， 1 1 1 1 则BC2 =BD2+CD2，可知BD^CD. 所以BD^ AC， 1 设点A在底面BCD的投影为E，连接BE,CE,DE， AC I AD 1 = A，ACÌ平面ACD 1 ，AD 1 Ì平面 ACD ，从而BD^平面ACD ，故D项正确； 1 1 1 对于B：由D知BD^平面ACD ，运用等体积法 1 1 1 1 V =V ，所以 S ´DO= S ´DD ， D-ACD1 D1-ACD 3 ACD1 3 ACD 1 因为AE^平面BECD，CDÌ平面BECD，则 1 1 1 1 3 所以 ´ ´1´1´1= ´ ´ ´ 2´ 2´DO可求得 AE ^CD， 3 2 3 2 2 3 且AC^CD，AE I AC = A，AE,ACÌ平面ACE， DO= ，又因为 3 则CD^平面ACE， BD= BB2+BD2 = BB2+AD2+AB2 = 3， 且CEÌ平面ACE，所以CD^CE， 1 1 1 同理可得：BD^BE， 2 3 所以BO= ，又BC = 2，所以 1 3 1 可知四边形BECD是边长为1的正方形，则 DE^BC， 4 6 CO 3 CO= 2- = ，所以cosÐBCO= = ，故 3 3 1 BC 3 又因为AE^平面BECD，BCÌ平面BECD，则 1 AE^BC， B项正确； 且DE I AE=E，DE,ADÌ平面ADE，则BC ^平 对于C：由选项B知点B 到平面ACD 的距离为 1 1 面ADE， 2 3 且ADÌ平面ADE，所以AD^BC，故B正确； BO= ，故C项不正确； 1 3 对于选项C：因为DE= 2， 24/391 1 AE= AD2-DE2 =1， 由几何体的等体积法得 S ×HF = S ×d ，解 3 △FBC 3 △HBC 可知AD与底面BCD所成角为ÐADE，其正弦值为 2 42 得d = ，故B选项错误； 7 AE 1 3 sinÐADE= = = ，故C错误； 因为HF ^BF，BF^AC，AC,HF 为平面HAC内 AD 3 3 两条相交直线， 对于选项D：设点D到平面ABC的距离为d， 所以BF ^平面HAC，取CF的中点G，连接EG， 因为V =V ，则 HG， D-ABC A-BCD 1 1 3 1 1 3 d´ ´ 2´ 2´ = ´1´ ´1´1，解得d = ， 3 2 2 3 2 3 3 所以点D到平面ABC的距离为 ，故D正确； 3 故选：ABD. 11-3【提升】 【正确答案】ACD 【试题解析】【分析】连接BF，EF，通过勾股定理得 可知EG∥BF，所以EG^平面HAC，HG在平面 到HF ^BF，进而得到HF ^平面ABC，可判断 HAC内， A，C，由等体积法可判断B，取CF的中点G，连 1 接EG，HG,得到ÐEHG就是直线HE和平面HAC所 EG^HG，EG= BF = 2， 2 成的角，可判断D. 所以ÐEHG就是直线HE和平面HAC所成的角， 【详解】AB2+BC2 = AC2，所以ÐABC =90°，如 EG 14 在Rt△EGH中，sinÐEHG= = ，故D选项 图，连接BF，EF， HE 14 正确． 故选：ACD 12-1【基础】 【正确答案】10 【试题解析】【分析】根据复数的乘法运算求出z，再 根据模长公式求解． 【详解】 在四面体H -ABC中，AB=BC =4， z=(4-3i)( 3+i)=4 3+4i-3 3i-3i2 =4 3+3+  4-3 3  i AC=AH =CH =4 2， ， F 是AC的中点，则HF ^ AC，BF^AC，  2  2 |z|= 4 3+3 + 4-3 3 =10． 且AF =BF =CF =2 2，HF =2 6，又 故答案为：10． HB=4 2， 5 1 12-2【巩固】 【正确答案】 ## 5 所以BF2+HF2 =HB2，所以HF ^BF， 5 5 又因为BF I AC =F ，BF，ACÌ平面ABC， 【试题解析】【分析】根据复数的除法运算，化简可得 1 2 所以HF ^平面ABC，所以HF ^ AB，故A选项正 z= - i，代入求模公式，即可得答案. 5 5 确； 1 【详解】因为 =1+2i，所以 AB z 由A项的分析知HF ^EF，又EF = =2，所以 2 1 1-2i 1-2i 1 2 z= = = = - i， 1+2i 1+2i1-2i 5 5 5 HE=2 7，故C选项正确； 设点F 到平面HBC的距离为d， 25/3964 64 æ1ö 2 æ 2ö 2 5 所以t49= = »9. 则 z = ç ÷ +ç- ÷ = . 49 7 è5ø è 5ø 5 故答案为：9. 5 故答案为： 13-2【巩固】 【正确答案】75 5 1 12-3【提升】 【正确答案】 5 2 2 ## 5 2 2 【试题解析】【分析】由题意，先算出e-k = æ ç è9 4ö ÷ ø 50，由 【试题解析】【分析】利用复数乘法和除法法则计算出 8 此可算出一个新丸体积变为 a需经过的天数. -1-7i 27 z= ，由模长公式求出答案. 2 4 【详解】由已知，得 a=a×e-50k， 【详解】 9 z= 2 1 - + i i 2 = 3 1 - + 4 i i =   3 1 - + 4 i i   1 1 - - i i   = 3-3i- 2 4i+4i2 = -1 2 -7i ∴e-k = æ ç è9 4ö ÷ ø 5 1 0． ， 8 设经过t 天后，一个新丸体积变为 a， 1 27 故 z = æ ç- 1ö ÷ 2 + æ ç- 7ö ÷ 2 = 5 2 . 则 8 a=a×e-kt1， è 2ø è 2ø 2 27 5 2 t 1 故答案为： 2 ∴ 8 =  e-kt 1 = æ ç 4ö ÷ 50， 27 è9ø 13-1【基础】 【正确答案】9 t 3 【试题解析】【分析】先根据函数解析式得出函数的单 ∴ 5 1 0 = 2 ，t 1 =75． 调性，进而结合已知得出64£N £67.将t =16代入 故答案为：75. 0 13-3【提升】 【正确答案】26 函数，求出t =64，进而根据t67=8可推得 0 【试题解析】【分析】设卡车从踩刹车到停住所滑行的 N =64，得出分段函数解析式.代入t =49，即可得出 距离为s，卡车速度为v，卡车总质量为m，比例系 0 答案. 数为k，则s=kv2m.根据已知条件，先求出km的值. 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障 【详解】根据函数的解析式可知，当n12的正整数n n c 所以不妨取v =25代入 n+1 0 的最小值为n ，推导出n Î20,37，设 0 0 v2+25v -1350=252+252-1350=-100<0； 0 0 n =m+20，其中0£m£16且mÎN，根据 0 不妨取v =26代入 0 S 13 n 0+1 < 可得出关于m的不等式，求出m的最小 v2+25v -1350=262+25´26-1350=-24<0； S 12 0 0 n 0 不妨取v =27代入 值，即可得出n 的值，即为所求. 0 0 v2+25v -1350=272+25´27-1350=54>0； 【详解】设等比数列b 的公比为q，则等差数列 0 0 n 所以2612，整理可得 n+1 < ， 所以a =2=2log b,a =2log b =4，解得b =2， c S -S S 12 1 2 1 2 2 2 1 n+1 n+1 n n 数列c 的各项分别为：1、2、3、4、5、7、 又a 为等差数列，b 为等比数列，所以公差 n n n d =2，公比q = 2， 9、L、2k kÎN* 、L， 则a n =2n,b n =2n， 其中2k kÎN* 前若干项中，数列b 有k-1项，数 n 所以数列a n 的前107项2,4,6, L ,214中含有7个 列a 有2k-1项， n b n 的项， 所以，2k kÎN* 是数列c 的第  2k-1+k  项， n 则 所以， 2+214´107 2´  1-27 S =é1+3+5+ +  2×2k-1-1 ù+  2+22+23+ +2k S = - =11556-254=11302 2k-1+k ë L û L 100 2 1-2 27/39条件的正整数n的最小值所在的区间，并引入合适的  1+2´2k-1-1  ´2k-1 2  1-2k = + =22k-2+2k+1-2， 参数，求出相应的参数的值，进而得解, 2 1-2 14-3【提升】 【正确答案】 -3,13 所以，S =22k-2+2k+1-2-2k =22k-2+2k -2， 2k-1+k-1 【试题解析】【分析】根据等差数列的通项公式、等比 S 22k-2+2k+1-2 13 令 2k-1+k = < ，整理可得 数列的性质，结合等比数列前n项和公式分类讨论进 S 22k-2+2k -2 12 2k-1+k-1 行求解即可. 22k-2-11×2k -2>0， 【详解】设等差数列a 的公差为d，则d >0. n 令t =2k-1 kÎN* ，则有t2-22t-2>0，解得 因为a =1，且a +1，6，a 构成等比数列， 1 2 3 t >11+ 123， 所以 因为16<11+ 123<32，所以，2k-1³32，可得 a a +1=a +4da +d+1=1+4d2+d=36 5 2 1 1 k ³6， ， S 13 17 所以，满足不等式 2k-1+k < 的正整数k的最小值 整理得4d2+9d-34=0，解得d =2或d = - （舍 S 12 4 2k-1+k-1 去）. 为6， 所以a =1+2n-1=2n-1，则b =22n-1， n n S 13 同理可知，满足不等式 2k-1+k ³ 的正整数k的最 S 2k-1+k-1 12 2´  1-4n 2 所以S =2+23+ +22n-1 = = ´  4n-1 . 大值为5， n L 1-4 3 S 13 2 所以满足不等式 n+1 < 的正整数n的最小值 由lcosnp é2 ´  1-4n -2n+1 ù = 2 ´  1-41 -2´1+1=-3 则 ê ë3 ú û 3 max ； S =S +é2´24+1-1ù+é2´24+2-1ù+ +é2´24+m-1ù n0 21 ë û ë û L ë û 2 33+2m+31×m 当n为偶数时，l< ´  4n-1  +2n-1. 3 =28+26-2+ =m2+32m+318， 2 即 S n0+1 =m2+32m+318+2´  24+m+1  -1=m2+34m+351 l< é ê 2 ´  4n-1  +2n-1 ù ú = 2 ´  42-1  +2´2-1=13. ë3 û 3 min ， 2 （或当l>0时.由l< ´  42-1  +2´2-1，等 S m2+34m+351 13 3 由 n0+1 = < ，整理可得 S n0 m2+32m+318 12 00，解得m> 94-4， 得-30，解得0 ， 3 3 æ 1ö 又 f(2)=2e2，故切点坐标为  2,2e2 ， 故得 f x的单调递增区间是ç0, ÷，单调递减区间 è 3ø æ1 ö 所以曲线y= f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 是ç ,+¥÷ è3 ø y-2e2 =  3e2-3  (x-2)， 所以函数 f x的极大值为 即y=3  e2-1  x-4e2+6． æ1ö 1 f ç ÷=-1+ln =-1-ln3，无极小值. è3ø 3 （2）由（1）知 f¢(x)=(x+1)  ex-1  ，当 15-3【提升】 【正确答案】(1)y+1=0 xÎ(-¥,-1) (0,+¥)时， f¢(x)>0； (2)答案见解析 U 当xÎ(-1,0)时， f¢(x)<0． 【试题解析】【分析】（1）：当a=1时，求得 1 2 所以 f(x)的单调递增区间是(-¥,-1),(0,+¥)；单调 f¢(x)=1+ - ，得到切线斜率 (x+1)2 x+1 递减区间是(-1,0)． k = f¢0=0，进而求得切线的斜率； 1 9 所以当x=-1时， f(x)取得极大值 f(-1)=- + ； e 2 x(ax+a-1) （2）求得 f¢(x)= ，分a=0，a<0， 当x=0时， f(x)取得极小值 f(0)=4． (x+1)2 15-2【巩固】 【正确答案】(1)2x+y+1=0； 01，五种情况讨论，结合函数的 (2)极大值为-1-ln3，无极小值. 单调性与极值的概念，即可求解. 1-3x 【详解】（1）解：当a=1时， 【试题解析】【分析】（1）求导可得 f¢x= ，代 x 1 f(x)=x- -2ln(x+1)， 入切点横坐标，可得切线斜率k，根据 f 1=-3，代 x+1 1 2 可得 f¢(x)=1+ - ，则切线斜率 入点斜式方程，整理即可得答案. (x+1)2 x+1 1-3x （2）根据 f¢x= ，令 f¢x>0，可得 f(x)单 k = f¢0=0， x 调递增区间，令 f¢x<0，可得 f(x)单调递减区 又因为 f 0=-1，所以切点为(0,-1)，所以切线方 间，分析计算，即可得答案. 程为y+1=0. 1 【详解】（1）因为 f x=lnx-3x，所以 （2）解：由函数 f(x)=ax- -(a+1)ln(x+1)， x+1 1 1-3x 可得其定义域为(-1,+¥)， f¢x= -3= x>0， x x 29/391 a+1 x(ax+a-1) 1 且 f¢(x)=a+ - = ， 令 f¢(x)>0，得-1< x< -1或x>0；令 f¢(x)<0， (x+1)2 x+1 (x+1)2 a -x 1 若a=0，可得 f¢(x)= ， 得 -10， f x单调递增； 则 f x在ç-1, -1÷，(0,+¥)上单调递增，在 è a ø æ1 ö 当xÎ(0,+¥)时， f¢(x)<0， f x单调递减， ç -1,0÷上单调递减， èa ø 1 此时 f x有极大值 f 0=-1，无极小值. 所以 f x在x= -1处取得极大值，在x=0处取得 a 若a¹0时，由 极小值， é æ1 öù æ1 ö ax ê x-ç -1÷ú 即 f x的极大值为 f ç -1÷=a+1lna-2a+1， x(ax+a-1) ë èa øû， èa ø f¢(x)= = (x+1)2 (x+1)2 f x的极小值为 f 0=-1， 1 令 f¢(x)=0得x=0或x= -1. a 综上，当a£0时， f x的极大值为-1，无极小值； 1 当a<0时，可得 -1<-1， a 当00，可得-10， a+1lna-2a+1； 则 f x在(-1,0)上单调递增，在(0,+¥)上单调递 当a=1时， f x无极值； 减， f x只有1个极大值点， 当a>1时， f x的极大值为a+1lna-2a+1，极 即 f x极大值为 f 0=-1，无极小值. 小值为-1. p 当00， 16-1【基础】 【正确答案】(1)A= 6 a 1 令 f¢(x)>0，可得-1 -1；令 (2)S VABC = 3 a 1 【试题解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简即可。 f¢(x)<0，得01时，-1< -1<0， a 30/391 【详解】（1）由正弦定理边化角得 所以S = bcsinA= 3. VABC 2 2sinCcosA= 3sinAcosB+sinBcosA， π 16-2【巩固】 【正确答案】(1)C = 3 所以 9 3 (2) 4 2sinCcosA= 3sin(A+B)= 3sin(π-C)= 3sinC， 【试题解析】【分析】（1）先进行边化角，然后利用两 因为CÎ(0,π)，所以sinC ¹0， 角和的正弦公式及三角形内角和定理，诱导公式求出 3 所以cosA= ，又AÎ(0,π)， tanC = 3，即可求解； 2 π 所以A= . （2）利用余弦定理求出ab=9，再利用面积公式求 6 解即可． （2）因为周长为3 3，且a= 3，所以 【详解】（1）由2asinAcosB+bsin2A=2 3acosC， b+c=2 3， 根据正弦定理可得 由余弦定理得 2sin2AcosB+sinBsin2A=2 3sinAcosC， 3 a2 =b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bc´ =3， 2 因为AÎ0,π，所以sinA>0 所以12-2bc- 3bc=3，解得 即sinAcosB+sinBcosA= 3cosC， 9 bc= =18-9 3， 2+ 3 即sinA+B= 3cosC,sinC = 3cosC， 所以 ABC的面积 V π 1 1   1 18-9 3 所以tanC = 3，又00)，由线面角 1 4 【试题解析】【分析】（1）由正弦定理边化角得 的空间向量法求线面角，从而求得a，再由点到平面 距离的向量法求解． 2sinCcosA= 3sinAcosB+sinBcosA，根据两角和 【详解】（1）因为ABCD是正方形，则AB^AD， 3 的正弦公式、诱导公式，可得cosA= ，根据角A 2 因为平面AADD^平面ABCD,平面AADDÇ平面 1 1 1 1 的范围，即可得答案. ABCD = AD,ABÌ平面ABCD， （2）根据题意，可得b+c=2 3，根据余弦定理， 所以AB^平面AADD， 1 1 可得bc的值，代入面积公式，即可得答案. 31/39又因为ADÌ平面AADD，所以AB^ AD； 1 1 1 1 （2）取AD中点O，连接AO， 1 【点睛】 因为AA = AD，所以AO^ AD， 1 1 1 平面AADD^平面ABCD，平面AADDÇ平面 1 1 1 1 ABCD = AD,AOÌ平面AADD， 1 1 1 17-2【巩固】 【正确答案】(1)证明见解析 所以AO^平面ABCD， 2 1 (2) 2 以O为原点， u A u B ur , u A u D ur ,O uu A ur 的方向分别为x,y,z轴建立 BN 1 1 (3)存在， = BC 4 空间直角坐标系，如图， 【试题解析】【分析】（1）先证明CD^BD，利用平面 设AO=a(a>0)， ABD^平面BCD可得CD^平面ABD，进而利用线 1 面垂直的性质即可求证； 则A(0,-1,0)，B(2,-1,0)，A(0,0,a)，C (2,2,a)， 1 1 （2）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向 D(0,1,0)， 量，进而即可求解； uuur uuuur uuuur （3）设在线段BC上存在点N，使得AN与平面 AB=(2,0,0),AC =(2,2,0),AD=(0,1,-a)， 1 1 1 uuur uuur ACD所成角为60°，设BN =lBC，0≤l≤1，可得 uuur BD=(-2,2,0)， uuur AN =1-2l,2l,-1，利用向量的夹角公式建立方程 ur 设平面ACD的法向量为m=(x,y,z)， 1 1 即可求解. 则 ì ï í îï m m r r × × u u A A u u 1 u u C D u u r r 1 = = y 2x - + az 2 = y 0 =0 ，取x=a，得 【详解】（1）证明：过D作DE^BC，垂足为E， 1 ur m=(a,-a,-1)， 由已知 u A u B ur ×mr cos u A u B ur ,mr = = 2a = a = 21 ， 因为BC =2AD=2AB=2 2，AD//BC， u A u B ur mr 2 2a2+1 2a2+1 7 ÐABC =90°， 所以AD= AB=BE=DE=EC = 2， 解得a= 3（负值舍去）， 所以BD=2，CD=2， ur 则m=( 3,- 3,-1)， 即BD2+CD2 =BC2，所以CD^BD. 因为平面ABD^平面BCD，平面ABDÇ平面 所以点B到平面ADC 的距离为 1 1 BCD=BD，且CDÌ平面BCD， u B u D ur ×mr -2 3-2 3+0 所以CD^平面ABD， 4 21 d = = = ． mr 7 7 又因为ABÌ平面ABD， 所以CD^ AB. （2）以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所 在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图， 32/393 6 (2)① ；② 4 2 【试题解析】【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出 线面垂直进而得出线线垂直； （2）①先建立空间直角坐标系由线面角的正弦值即 由已知可得A1,0,1，B2,0,0，C0,2,0， 可求出比值； D0,0,0，M1,1,0， ②由空间向量法计算点到平面距离公式计算即可. 【详解】（1）因为ABCD矩形，AB=4，BC =2， uuur uuur 所以CD=0,-2,0，AD=-1,0,-1， E是CD中点，所以AE=BE=2 2， uuuur 又AB=4，所以AE2+BE2 = AB2，所以AE^BE， MC =-1,1,0， 因为平面BEF ^平面ABCD，平面BEF I 平面 r 设平面ACD的法向量为n=x,y,z， ABCD=BE，AEÌ平面ABCD， 所以AE^平面BEF，又BF Ì平面BEF， ì ïnr×C uu D ur =0 ì-2y=0 则í ïînr× u A u D ur =0 ，即í î-x-z=0 ， 所以BF ^ AE. （2）（1）以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所 令x=1，可得n r =1,0,-1， 在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系. 所以点M到平面ACD的距离为 r uuuur n×MC 1 2 d = r = = . n 2 2 （3）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面 ACD所成角为60°， uuur uuur 设BN =lBC，0≤l≤1， 则C0,0,0，D4,0,0，B0,2,0，E2,0,0， uuur uuur uuur 因为BC =-2,2,0，则BN =lBC =-2l,2l,0， uuur uuur DB=-4,2,0，DE=-2,0,0， uuur 即N2-2l,2l,0，所以AN =1-2l,2l,-1, 设N 是BE的中点，因为FE=FB，所以FN ^BE， 又因为平面ACD的一个法向量为n r =1,0,-1，且直 又平面BEF ^平面ABCD，平面BEF I 平面 ABCD=BE，FNÌ平面ABCD， 线AN与平面ACD所成的角为60°，   所以FN ^平面ABCD，F 1,1, 2 ，所以 所以 u A u N ur ×n r 2-2l 1-l 3 u D uu F r =  -3,1, 2  ， sin60°= = = = uuur r AN ×n 8l2-4l+2× 2 4l2-2l+1 2 DP uuur uuur 设 =l，则DP=lDB00 【试题解析】【分析】（1）由题意可得e= = ， a 2 ， 1 9 + =1，结合a2-b2 =c2可求得a2 =4,b2 =3， a2 4b2 -6mn 3n2-12 且y +y = ①，y y = ②， 进而求解即可； 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 3 （2）设Px 0 ,y 0 ，可得y 0 2 =3× 4- 4 x 0 2 ，再证明 由（2）知，k 1 ×k 2 =k AM ×k AN =- 4 ， 3 k ×k 为定值即可； k ×k =k ×k =- ， PM PN 3 4 BM BN 4 （3）设直线l的方程为：x=my+n，Ax,y ， k +k 1 1 k +k 1 3 =3 因为 1 3 =3，所以 3æ 1 1 ö ，所以 k +k - ç + ÷ Bx ,y ，联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理及 2 4 4èk k ø 2 2 1 3 9 题设求证即可. k ×k =- ， 1 3 4 c 1 y y 9 【详解】（1）由题意，e= = ，所以 所以 1 × 2 =- ，则 a 2 x +2 x +2 4 1 2 c2 a2-b2 1 y y 9 = = ，所以3a2 =4b2， 1 × 2 =- ， a2 a2 4 my +n+2 my +n+2 4 1 2 æ 3ö 又因为ç1, ÷在椭圆C上，所以 y y 9 è 2ø 整理得： 1 2 =- ， m2y y +mn+2y +y +n+22 4 1 9 1 9 1 2 1 2 + = + =1， a2 4b2 a2 3a2 代入①②整理得： 所以a2 =4,b2 =3， 3n2-12 9 =- x2 y2 m2 3n2-12  +mn+2-6mn+n+22 3m2+4  4 所以椭圆C的方程为 + =1． 4 3 ， （2）证明：设Px ,y ，由（1）知，M-2,0， 0 0 3n-2 9 即： =- ，化简 N2,0， 3m2n-2-6m2n+n+2 3m2+4  4 y y n-2 所以k = 0 ，k = 0 ， 得： =-3，解得：n=-1， PM x +2 PN x -2 n+2 0 0 35/39则直线l的方程为：x=my-1，所以直线l过定点 Bx ,y ， 2 2 -1,0 . ìy=kx-1 由 ï íx2 y2 ，得  3+4k2 x2-8k2x+4k2-12=0， ï + =1 î 4 3 8k2 4k2-12 所以x +x = ，xx = . 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2 所以 AB = 1+k2 x -x = 1+k2 x +x 2 -4xx 1 2 1 2 1 2 18-3【提升】 【正确答案】(1) x 4 2 + y 3 2 =1 = 1+k2 æ ç 8k2 ö ÷ 2 -4´ 4k2-12 = 12  1+k2 è3+4k2 ø 3+4k2 3+4k2 (2)证明见解析 1 (3)证明见解析 因为AB^DE，将k换成- ，得 k 【试题解析】【分析】（1）根据条件列式求a,c，再根 é æ 1ö 2ù 据a,b,c的关系求b，可得椭圆的标准方程. 12ê êë 1+ç è - k ÷ ø ú úû 12  k2+1  DE = = ， （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示 æ 1ö 2 4+3k2 1 + 1 ，化简即可. 3+4ç è - k ÷ ø AB DE 所以 （3）利用直线AB的斜率k表示出点P,Q的坐标， 进而得到直线AB的方程，化成点斜式，可得定点坐 1 1 3+4k2 4+3k2 7  k2+1  7 + = + = = . AB DE 12  1+k2 12  k2+1  12  k2+1  12 标. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，则由题意得 1 1 综上所述， + 的值为定值. AB DE ìa+c=3 ìa=2 í îa-c=1 ，解得 î í c=1 . （3）由（2）得x 1 +x 2 = 3+ 8k 4 2 k2 ， -6k 所以b2 =a2-c2 =4-1=3， y +y =kx +x -2= ， 1 2 1 2 3+4k2 x2 y2 所以C的方程为 + =1. 4 3 æ 4k2 -3k ö 因为P是AB的中点，所以Pç , ÷， （2）由（1）得F1,0，若直线AB与直线DE的斜 è3+4k2 3+4k2 ø 率一个为0，另一个不存在时， æ æ 1ö 2 æ 1ö ö ç 4ç- ÷ -3ç- ÷ ÷ 2b2 将k换成- 1 ，得Q ç è kø , è kø ÷ ，即 AB =4， DE = a =3（或 AB =3， DE =4）， k ç ç3+4 æ ç- 1ö ÷ 2 3+4 æ ç- 1ö ÷ 2 ÷ ÷ 1 1 7 è è kø è kø ø 此时 + = . AB DE 12 æ 4 3k ö Qç , ÷ 若直线AB与直线DE的斜率都存在时，如图： è4+3k2 4+3k2 ø 若直线PQ的斜率存在，则直线PQ的斜率为 3k 3k + 4+3k2 3+4k2 7k k = = ， PQ 4 4k2 4  1-k2 - 4+3k2 3+4k2 所以直线PQ的方程为 3k 7k æ 4k2 ö y+ = çx- ÷，即 3+4k2 4  1-k2 è 3+4k2 ø 设直线AB的方程为y=kx-1，Ax,y ， 1 1 36/397k æ 4ö 即a =2a +1， y= 4  1-k2ç è x- 7 ÷ ø ， n+1 n 又由a =2，所以a =2´1+1=5,a =2´5+1=11； æ4 ö 1 2 3 所以直线PQ过定点ç ,0÷ è7 ø （2）解：由（1）知：a =2a +1，可得 4k2 4 n+1 n 若直线PQ的斜率不存在，则 = ，解得 3+4k2 4+3k2 a +1 a +1=2a +1，即 n+1 =2， k2 =1， n+1 n a n +1 此时直线PQ的方程为x= 4 ，直线PQ也过定点 又由a 1 +1=3，所以数列a n +1为首项为3，公比为 7 æ4 ö 2的等比数列． ç ,0÷. è7 ø （3）证明：由（2）可得a +1=3×2n-1，则 æ4 ö n 综上，直线PQ过定点ç ,0÷. è7 ø a =3×2n-1-1， n 19-1【基础】 【正确答案】(1)a =5,a =11． 2 3 所以 (2)证明见解析 (3)证明见解析 2n 2n 2 æ 1 1 ö b = = = ç - ÷ 【试题解析】【分析】（1）求得 f¢(x)=2x-1，根据题 n a n a n+1 3×2n-1-13×2n-1 3ç è 3×2n-1-1 (3×2n-1)÷ ø a2 -a -a2+a æ3 1ö ， 意，得到 n+1 n+1 n n =2ç a + ÷-1，化简 a -a è2 n 2ø 则 n+1 n 2 1 1 1 1 1 1 得到a n+1 =2a n +1，进而求得a 2 ,a 3 的值； S n = 3 [( 3-1 - 3×21-1 )+( 3×21-1 - 3×22-1 )+( 3×22-1 - 3×23-1 )+ 1 1 2 1 1 1 2 +( - )]= ( - )= - （2）由（1）中a =2a +1，得到 L 3×2n-1-1 3×2n-1 3 2 3×2n-1 3 3×  3×2n-1  n+1 n . a +1=2a +1，结合等比数列的定义，即可得 n+1 n 2 >0 证；又由a +1=3，所以数列a +1为首项为3，公 因为3×2n-1>0，可得 3×  3×2n-1  ，所以 1 n 比为2的等比数列． 1 2 1 - < 3 3×  3×2n-1  3 ， （3）由（2）求得a =3×2n-1-1，得到 n 1 æ ö 所以S < . b = 2 ç 1 - 1 ÷，结合裂项法求和， n 3 n 3ç 3×2n-1-1  (3×2n-1)÷ è ø 19-2【巩固】 【正确答案】(1)证明见解析 1 2 1 (2)S =lg32n-1 求得 S n = 3 - 3×  3×2n-1 ，进而证得S n < 3 . n 3 1 1 (3)存在l= ,=- ，T + 为定值1 2 2 n lSn + 【详解】（1）解：由函数 f(x)=x2-x，则 【试题解析】【分析】（1）由题意a =a2 +2a ，即 f¢(x)=2x-1， n+1 n n b 则 f a n+1 - f a n  = f¢ æ ç 3 a + 1ö ÷，可得 a n+1 +1=a n +12，可得 b n n +1 =2，即可得证结论； a -a è2 n 2ø n+1 n （2）b =2n-1lg3=lg32n-1，结合对数运算及等比数列 n a2 -a -a2+a æ3 1ö n+1 n+1 n n =2ç a + ÷-1， 求和公式求解； a -a è2 n 2ø n+1 n （3）求得a =32n-1 -1，又由a =a a +2得 n n+1 n n 37/39ì 3 1 1 2 æ 1 1 ö l= , = - ，进而可得c =2ç - ÷，由裂 ì2l=3, ï ï 2 a n +2 a n a n+1 n èa n a n+1 ø 要使上式为定值，只需í î2=-1, 故í ï=- 1 , ïî 2 项相消法求得T ，将S ,T 代入题中式子，可得l, n n n 3 1 1 所以当l= ,=- 时，T + 为定值1． 的值，从而得出答案. 2 2 n lSn + 19-3【提升】 【正确答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为点  a ,a2+2a  在直线y=x上， n+1 n n 1 1 (2)（i） - ；（ii）证明见解析 4 n+1×2n+2 所以a =a2 +2a ， n+1 n n 【试题解析】【分析】（1）根据a =S -S 及条件变 n+1 n+1 n 令n=1，则a2+2a -8=0，解得a =2或a =-4 1 1 1 1 1 形得2a -a = 2a -a ，结合 (舍)， n+2 n+1 2 n+1 n 因为a +1=a +12，故 2a 2 -a 1 =2¹0，即可利用等比数列定义证明； n+1 n b lga +1 2lga +1 （2）（i）由（1）可得2n-1a n+1 -2n-2a n =1，进而根据 n+1 = n+1 = n =2， b lga +1 lga +1 n n n n-2 等差数列的定义求得a = ，则有 n 2n-2 所以数列b n 是以b 1 =lg3为首项，2为公比的等比数 1 1 b = - ，最后利用裂项相消法求和 n n×2n+1 n+1×2n+2 列． 即可； （2）由（1）知，b =2n-1lg3=lg32n-1， n 20 （ii）当n=1时，M < 成立；当n³2时，由 1 3 所以 b 1 1 32 1 i £ - 得M = - ，因为T 单调递增得 S n =lg320 +lg321 + L +lg32n-1 =lg320+21+22+L+2n-1 =lg32n-1 T i 2 T i-1 T i n 3 T n n 16 32 1 20 n b 20 ． £ - < ，所以M =å i < ，n³2； 3 3 T 3 n T2 3 n i=1 i （3）由（2）知，b =lga +1=lg32n-1，所以 即可得证. n n 【详解】（1）因为S =a -4a ①，所以 a =32n-1 -1， n n n+1 n 1 1 2 S =a -4a ②，②-①得， 又a =a a +2， = - ， n+1 n+1 n+2 n+1 n n a +2 a a n n n+1 a =a -4a -a +4a ， 2a +1 1 1 æ 1 1 ö n+1 n+1 n+2 n n+1 故c = n = + =2ç - ÷， n a a +2 a a +2 èa a ø n n n n n n+1 所以4a =4a -a ，所以 n+2 n+1 n 所以 4a -2a =2a -a ，所以 æ 1 1 1 1 1 1 ö n+2 n+1 n+1 n T n =c 1 +c 2 +c 3 + L +c n =2ç èa 1 - a 2 + a 2 - a 3 + L + a n - a n+1 ÷ ø 1 2a -a = 2a -a ， n+2 n+1 2 n+1 n æ 1 1 ö æ1 1 ö 2 =2ç - ÷=2 ç - ÷ =1- . èa 1 a n+1 ø è2 32n -1ø 32n -1 而在①中令n=1，则a =a -4a ，所以a =0， 1 1 2 2 1 2 1 故T + =1- + n l10Sn + 32n -1 l´32n-1+ 2a 2 -a 1 =2¹0， 2 2 =1- 32n -1 + 2l´32n-1+2 , 所以数列2a n+1 -a n 是首项为2，公比为 1 2 等比数 列； 38/39æ1ö n-2 （2）（i）由（1）知2a -a =ç ÷ ，所以 n+1 n è2ø 2n-1a -2n-2a =1， n+1 n 又2-1a = 1 ´-2=-1，所以数列  2n-2a  是首项为 1 2 n -1，公差为1等差数列， n-2 所以2n-2a =-1+n-1´1=n-2，即a = ， n n 2n-2 所以 n+2 2n+1-n 1 1 b = = = - n nn+1×2n+2 nn+1×2n+2 n×2n+1 n+1×2n+2 ， 所以T n 1 1 1 1 1 1 = - + - + + - 1×22 2×23 2×23 3×24 L n×2n+1 n+1×2n+2 1 1 = - ； 4 n+1×2n+2 b 16 20 （ii）证明：当n=1时，M = 1 = < 成立； 1 T2 3 3 1 当n³2时，由T ³T 可知 i i-1 b T -T T -T 1 1 i = i i-1 £ i i-1 = - ， T2 T2 TT T T i i i i-1 i-1 i 所以 n b b b b b éæ1 1 ö æ 1 1 öù M n =å i=1 T i i 2 = T 1 1 2 + T 2 2 2 +L+ T n n 2 £ T 1 1 2 +ê êë ç èT 1 - T 2 ÷ ø +L+ç èT n-1 - T n ÷ ø ú úû 2 1 32 1 = - = - ，因为T 单调递增，所以 b T 3 T n 1 n n 3 1 1 16 =T £T < ，即4< £ ， 16 1 n 4 T 3 n 16 32 1 20 n b 20 所以 £ - < ，所以M =å i < ， 3 3 T 3 n T2 3 n i=1 i n³2； 20 综上：M < ,nÎN*. n 3 39/39