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高 三 年级考试
数学试题参考答案及评分标准
2024.01
一、选择题：
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
C A A D B B A D
二、选择题：
题 号
9 10 11 12
答 案
BC ABD ABD BCD
三、填空题：
1 1 或 2
13.5 14. (1+ n ) 15.6π 2 3π 16.[ ,2)
2 3 3
四、解答题：
（ 分）
17. 10
解：（） B C B C B B C C
2 2
1 ∵4sin sin = sin2 sin2 = 4sin cos sin cos
B C B C
∴sin sin = cos cos
B C
∴cos( + )= 0
A …………………………………………………………………… 分
∴ = 90° 2
a c
∵ = 2, = 1
B
∴ = 60°
PBC PBA为锐角
∵∠ = 90°,∠
PBA ……………………………………………………………… 分
∴∠ = 30° 3
在 PAB中，PB BA 由余弦定理得
△ = 2 3. = 1,
PA PB BA PB BA PBA
2 2 2
= + - 2 · ·cos∠
3
= 12 + 1- 2×2 3 ×1× = 7
2
PA ………………………………………………………………… 分
∴ = 7 5
（）记 PBA α，则α ABC
2 ∠ = + ∠ = 90°
ACB ABC
∵∠ + ∠ = 90°
ACB α，AB α
∴∠ = = 2sin
PAB
∵∠ = 120°
BPA PAB α α …………………………………… 分
∴∠ = 180° - ∠ - = 60° - 7
在 PAB中，PB AB α
△ = 2 3, = 2sin
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{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}PB AB
由正弦定理得
PAB = BPA
sin∠ sin∠
α
2 3 2sin ………………………………………………… 分
∴ = α 9
sin120° sin(60° - )
α α
∴ 3cos = 2sin
PBA α 3 ………………………………………………… 分
∴tan∠ = tan = 10
2
（ 分）
18. 12
证明：（） AC ，D为AC中点
1 ∵ = 2 3
AD
∴ = 3
ABD AB
∵∠ = 30°, = 2 3
2 3 3 ……………………………………………………… 分
∴ ADB = 2
sin∠ sin30°
ADB
∴sin∠ = 1
ADB
∴∠ = 90°
BD AC
∴ ⊥
三棱柱ABC A B C 为直三棱柱
∵ - 1 1 1
BD AA ………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 1, 4
AA AC A AA AC 平面AA C C
∵ 1 ⋂ = , 1, ⊂ 1 1
BD 平面AA C C
∴ ⊥ 1 1
A F 平面AA C C
∵ 1 ⊂ 1 1
BD A F ………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 1 6
（）以 为原点，以DBDC所在直线为x轴y轴过D作AA 的平行线为z轴，
2 D , , , 1
建立如图所示的空间直角坐标系
.
AA BE 3 BB CF 1CC
∵ 1= 5, = 1, = 1
5 5
BE CF
∴ = 3, = 1
A A E F
∴
(
0,- 3,0), 1(0,
-
3,5), (3,
0
,
3
), (0, 3,1)
EF AF A F
∴ =(-3, 3,-2), =(0,2 3,1), 1 =(0,2 3,-4)
……………………………………………………… 分
8
设平面AEF的法向量为n xyz
1=( , , )
ìn EF ì x y z
则í ï 1·= 0 即í ï-3 1 + 3 1 - 2 1 = 0
î ïn 1· AF = 0 î ï 2 3 y 1 + z 1= 0
令y ，则z x
1= 3 1= -6, 1= 5
n
∴ 1=(5, 3, - 6)
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{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}设平面A EF的法向量为n x y z
1 2=( 2, 2, 2)
ìn EF ì x y z
则í ï 2·= 0 即í ï-3 2 + 3 2 - 2 2= 0
î ïn 2· A 1 F = 0 î ï 3 y 2 - 2 z 2= 0
令y 则z x
2= 2, 2= 3, 2= 0,
n …………………………………………………………… 分
∴ 2=(0,2, 3 ) 10
记平面AEF与平面A EF夹角为θ 则
1 ,
cos
θ
=
|
cos
n 1, n 2 |
=
4 3
=
21
8 7 14
平面AEF与平面A EF夹角余弦值为 21 …………………………… 分
∴ 1 12
14
（ 分）
19. 12
解：（） a 3 为递减数列 ………………………………………………… 分
1 ∵ n = n 2
-1
2
s a 3 t a 3
∴ i= i= i
-1
, i= i +1= i
2 2
c s t 3 3 9 ……………………………………………… 分
∴ i = i + i= i + i = i 4
-1
2 2 2
9
c n -1 2 n -1 1 n
∴ c = = ( ≥3)
n -2 9 2
n
-2
2
又 c 9
∵ 1 =
2
c c c 是以9为首项，1为公比的等比数列 ……………………… 分
∴ 1, 2,…, n -1 6
2 2
（） b n b n
2 ∵ n2 - 2( - 1) n - 4 = 0
b n b
∴( n - 2 )( n + 2)= 0
b
∵ n >0
b n……………………………………………………………………… 分
∴ n = 2 8
设S b c b c b c
= 1 n -1 + 2 n -2 + …+ n -1 1
9 9 n 9
= 2· n + 4· n + …+(2 - 2)· ①
-1 -2
2 2 2
S 9 9 n 9 n ………… 分
2 = 2· n + 4· n + …+(2 - 4)· +(2 - 2)·9 ② 10
-2 -3
2 2 2
得 S 9 9 9 n
①-② - = 2· n + 2· n + …+ 2· -(2 - 2)·9
-1 -2
2 2 2
1 n -1 n
= 18×[1-( ) ]- 18 + 18
2
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{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}S 18 n
∴ = n + 18 - 36
-1
2
b c b c b c 18 n ………………………… 分
∴ 1 n -1 + 2 n -2 + …+ n -1 1= n -1 + 18 - 36 12
2
（ 分）
20. 12
解：（）对于函数 f x ex x p q
1 ① ( )= - sin( + )+
f ' x ex x p 在 上恒成立
∵ ( )= - cos( + )>0 (0, + ∞)
f x 在 上单调递增，不具有先升后降再升的特点 …………… 分
∴ ( ) (0, + ∞) 2
对于函数 f x x px q，其不具有先升后降再升的特点
2
② ( )= + +
对于函数 f x 1 x 2 px x q
③ ( )= + + 36ln(2 + 2)+
2
x p x p
2
f ' x x p 36 +( + 1) + 36 + …………………………… 分
( )= + + x = x 4
+ 1 + 1
设方程x p x p 两根为x x（不妨设x x）
2
+( + 1) + 36 + = 0 1, 2 1 < 2
p
∵-30< <-11
x x x x
∴ 1 + 2 >0, 1 2 >0
x x
∴0< 1< 2
在 x 和 x 上f ' x f x 单调递增 在 x x 上f ' x
∴ (0, 1) ( 2, + ∞) ( )> 0, ( ) , ( 1, 2) ( )< 0,
f x 单调递减
( )
函数 符合先升后降再升的特点，故选 ……………………………… 分
∴ ③ ③ 6
（） 由f 及f ，得
2 ① (5)= 6.78 (11)= 7.62
ì p q ìp
í5 + = -95 ，解得í = -12
î p q îq
11 + = -167 = -35
f x 1 x 2 x x x 且x N …………… 分
∴ ( )= - 12 + 36ln(2 + 2)- 35,2≤ ≤12 ∈ 8
2
设g x 1 x 2 x x x 则
② ( )= - 12 + 36ln(2 + 2)- 35( >0),
2
x x
g x ( - 3)( - 8)
′( )= x
+ 1
g x 在 上单调递增，在（ ，）上单调递减……………… 分
∴ ( ) (0,3),(8, + ∞) 3 8 10
又f
(2)= 36ln6 - 57= 36(ln2 + ln3)- 57= 7.44
f
(4)= 36ln10 - 75= 36(ln2 + ln5)- 75= 7.44>7
f
(5)= 6.78<7
f
(10)= 36ln22 - 105= 36(ln2 + ln11)- 105= 6.24<7
f
(11)= 7.62>7
当 x 时 f x
∴ 5≤ ≤10 , ( )<7
该果农应在 月初到 月底进行促销活动 …………………………… 分
∴ 7 9 12
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*
4
{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}（ 分）
21. 12
解：（） f x 1 x 2 x
1 ∵ ( )< - ln
2
ax
x x
∴ ex - + ln <0
ax
设g x x x，则
( )= ex - + ln
a x x ex ax
g' x (1- ) 1 (1- )( + )………………………………… 分
( )= ex + x - 1= xex 2
a x
∵ >0, >0
ex ax
∴ + >0
当x 时，g' x g x 单调递增
∈(0,1) ( )>0, ( )
当x g' x g x 单调递减
∈(1, + ∞), ( )<0, ( )
a
g x g …………………………………………………… 分
∴ ( )max= (1)= e - 1 4
a
即a e
∴ e - 1<0 <
a e …………………………………………………………………… 分
∴0< < 6
（）方法一：
2
a x x ex a
f ' x (1- ) x ( - 1)( - )
( )= ex + - 1= ex
令f ' x 解得x 或x a
( )= 0, = 1 = ln
当 a e时，当x a f ' x f x 单调递增
① 0< < ∈(-∞,ln ), ( )>0, ( )
当x a f ' x f x 单调递减
∈(ln ,1), ( )<0. ( )
当x f ' x f x 单调递增
∈(1, + ∞), ( )>0. ( )
a a
∴ f ( x )极大= f (ln a )= e ln a + 1 (ln a ) 2 - ln a = 1 ln 2 a ≥0
ln
2 2
a
f x f 1 …………………………………………………… 分
( )极小= (1)= e - 8
2
又当x f x ，当x f x
→ +∞, ( )→ +∞ → -∞, ( )→ -∞
当a 时 f a f f x 有 个零点
∴ = 1 , (ln )= 0, (1)<0, ( ) 2
e
当 a 或 a 时，f ，f a f x 有 个零点
0< <1 1< < (1)<0 (ln )>0, ( ) 3
2
e
当a 时，f ，f a f x 有 个零点
= (1)= 0 (ln )>0, ( ) 2
2
e
当 a e时 f f x 只有 个零点………………………………… 分
< < , (1)>0, ( ) 1 10
2
当a e时，f ' x f x 单调递增，f x 只有 个零点
② = ( )≥0, ( ) ( ) 1
当a e时 当x 时 f ' x f x 单调递增
③ > , ∈(-∞,1) , ( )>0, ( ) ,
当x a 时 f ' x f x 单调递减
∈(1,ln ) , ( )<0, ( )
当x a f ' x f x 单调递增
∈(ln , + ∞), ( )>0, ( )
a
∴ f ( x )极大= f (1)= e - 1 >0, f ( x )极小= f (ln a )= 1 ln 2 a >0
2 2
f x 只有 个零点
∴ ( ) 1
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{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}e
综上，当 a 或 a 时，函数f x 的零点个数为
0< <1 1< < ( ) 3
e 2
当a 或a 时，函数f x 的零点个数为
= 1 = ( ) 2
e 2
当a 时，函数f x 的零点个数为 ……………………………… 分
> ( ) 1 12
2
方法二：
ax
令f x 得 1 x 2 x 即x ex 1 x a ，
( )= 0 ex + - = 0 [ ( - 1)+ ]= 0
2 2
解得x 或a ex 1 x
= 0 = (1- )
2
令φ x ex 1 x ，则φ x 1 ex x ………………………… 分
( )= (1- ) ′( )= (1- ) 8
2 2
当 时 φ' x φ x 单调递增且φ x 恒成立
(-∞,1) , ( )>0, ( ) ( )>0
当 时 φ x φ x 单调递减且φ φ φ
(1, + ∞) , ′( )<0, ( ) (1)>0, (2)= 0, (3)<0
e
φ x φ ………………………………………………… 分
∴ ( )max= (1)= 10
e 2
当 a 时y a与y φ x 图象有 个交点，且φ
∴ 0< < , = = ( ) 2 (0)= 1
e 2
当a 时y a与y φ x 图象有 个交点
= , = = ( ) 1
e2
当a 时y a与y φ x 图象有 个交点
> , = = ( ) 0
2 e
综上，当 a 或 a 时，函数f x 的零点个数为
0< <1 1< < ( ) 3
e 2
当a 或a 时，函数f x 的零点个数为
= 1 = ( ) 2
e 2
当a 时，函数f x 的零点个数为 ……………………………… 分
> ( ) 1 12
2
分
22.(12 )
ì b
ï 3
ï a = tan30°=
解：（） í 3 ……………………………………………………… 分
1 ∵ï c 1
ï ·sin30°= 1
î a 2 b 2 c 2
+ =
{
a
= 3
∴ b
= 1
x
2
双曲线C的方程为 y …………………………………………… 分
2
∴ - = 1 4
3
（）若存在定点P满足题意，则由对称性知，P点在x轴上，设
2
P x A x y B x y
( 0,0), ( 1, 1), ( 2, 2)
ì x 2
ï y 2
由í - = 1 得 k 2 x 2 kmx m 2
ï 3 (1- 3 ) - 6 - 3 - 3= 0
î y kx m
= +
…………………………………………………………… 分
6
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{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}直线l与双曲线C相切
∵
k 且 km m k
2 2 2 2
∴1- 3 ≠0 △=(-6 ) + 12( + 1)(1- 3 )
k m m k m k
2 2 2 2 2 2
= 12(3 + - 3 + 1- 3 )= 0
m k ，且m …………………………………………………… 分
2 2
∴ = 3 - 1 ≠0 8
k k
2
x 3 ，y 3 m 1
∴ 1= - m 1= - m + = -m
k
A 3 1 B 3 3 k m
∴ (- m , - m ) ( , + )
k 2 2
PA 3 x 1 PB 3 x 3 k m
∴ =(- m - 0, - m ), =( - 0, + )
2 2
|α β| π
∵ - =
2
PA PB ……………………………………………………………… 分
∴ · = 0 10
k
3 x 3 x 1 3 k m
∴(- m - 0)( - 0)- m ( + )= 0
2 2
k
3 x x 2 3 x
∴ m ( 0 - 2)+( 0 - 0 - 1)= 0
2
ìx
ï 0 = 2
í
∴ïx 2 3 x
î 0 - 0 - 1= 0
2
x
∴ 0 = 2
存在定点P 使得|α β| π ……………………………………… 分
∴ (2,0), - = 12
2
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{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}
