文档内容
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高二下学期6月期末
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则|z|=（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知向量 若 则 的值为（ ）
A． B．0 C． D．
4．已知递增等比数列 的前 项和为 ， ， 则 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．“ ”是“ 为幂函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．若直线 是圆 的一条对称轴，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
7．设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 ，对任意 ， .若对任意 ，都有
，则 的极小值为（ ）A． B． C． D．0
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若甲、乙两组成对样本数据的样本相关系数分别为0.66和－0.85，则乙组成对样本数据的线性相关
性更强
C．在回归直线方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，预报变量 平均增加0.2个单位
D．已知一组数据 的平均数为2，方差为 ，则另一组数据 的平
均数、标准差分别为
10．已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是等差数列
C． 取最小值时 D．
11．若曲线 既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于原点对称，则称 为全对称曲线.已知曲线
，直线 与曲线C恰有两个不同的交点A，B，则（ ）
A．曲线C为全对称曲线
B．k的取值范围是
C．曲线C上存在无数个点P，使得点P到点 的距离等于点P到一条定直线的距离
D．使得 为正整数的k共有94个
三、填空题12．已知函数 是奇函数，则实数 的值为 .
13． 四个人排成一排，当 相邻时， 必须在 的右边，那么不同的排法共有 种．
14．如图， 是边长为2的正方形， 都垂直于底面 ，且
，点 在线段 上，平面 交线段 于点 ，给出下列四个结论：
①
②该几何体的体积为6
③过 四点的外接球表面积为
④截面四边形 的周长的最小值为8
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
15．在 中， 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)若 ，求 及 的面积；
(2)若 ，求 边上的高．
16．已知双曲线 的离心率为 ，点 在双曲线 上．
(1)求双曲线 的标准方程；(2)直线 与双曲线 交于点 ，其中点 在第二象限．
①求 ；
②已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，设直线 的斜率分别为 ，求 的值．
17．如图所示，五边形 是正六边形 的一部分，将 沿着对角线 翻折到 的
位置，使平面 平面 ，已知点 分别为 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
18．为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：
对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或
全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得
4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 ，正确答案是三个选项的概率为
．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：I．随机选一个选项；
II．随机选两个选项；III．随机选三个选项．
(1)若 ，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望；
(2)以本题得分的数学期望为决策依据， 的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？
19．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，若不等式 恒成立，求a的取值范围；
(3)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A A C B A BD ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
先化简集合 ，再利用集合的交集运算即可.
【详解】由 ， ，
可得 .
故选：D
2．C
先根据已知条件求出复数 ，再根据复数的模的计算公式求出 .
【详解】已知 ，可得 .
因为 ，所以 .
.
故选：C.
3．A
先利用平面向量的线性运算求出 ，再利用向量平行的条件列方程求解即可.
【详解】因为向量
所以 ，
又因为
所以 ，
解得 ，
故选：A.
4．A根据等比数列递增确定的定义，利用首项 和公比 表示 和 ，求出首项 公比 ，代入求出 即可.
【详解】由已知，数列为等比数列，
可求出 ， （与数列为递增数列矛盾，舍去），故 .
故选：A
5．A
求得 为幂函数时 的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】当 时， 为幂函数，故充分性满足；
当 为幂函数时， ，
即 ，解得 或 ，故必要性不满足，
所以“ ”是“ 为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A
6．C
由题设易知直线过圆心得 ，再应用基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题设，直线 过圆心 ，则 ，
由 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C
7．B
根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果.
【详解】由题设 ，所以 ，因为 ，则 ，又因为 ，则 ，
又 ，
所以 ，解得 ．
故选：B
8．A
先将 代入 ，化简可得 ，由三次函数的图象性质及零点
存在性定理得 ， ，从而得到 ，最后利用导数计算极小值即可.
【详解】由 可得，
，
由于等式对任意 都成立，则 项系数必须为0，
即 ，所以 ，
令 ，可得 或 ，
由三次函数图象性质易得 为函数 的唯一变号零点，
由任意 ，都有 ，
可得 ， 时，总有 ，
所以 为函数 的变号零点，所以 ，则 ，
此时 ，求导得 ，
令 ，得 或2，当 或 时， ；当 时， .
故 为极小值点，极小值 .故选：A.
9．BD
根据正态分布的性质求概率判断A，应用相关系数的概念判断B，应用回归直线判断C，应用平均数交集
方程性质判断D.
【详解】对于A，由随机变量 ，则随机变量 满足的正态分布曲线关于直线 对称，
故 ， ，
故A错误；
对于B，若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和－0.85， ，则乙组数据的线性相关性更
强，故B正确；
对于C，当解释变量 每增加1个单位时，预报变量 平均增加0.1个单位，C错误；
对于D，另一组数据 的平均数为 ，方差为 ，即平均数、标
准差分别为 ，故D正确．
故选：BD.
10．ABD
利用 ，求出 的通项公式判断A；写出 的通项公式，判断 是
否为常数可判断B；判断数列 中项的正负可推出 取最小值时n的值判断C；根据数列 中项的正
负可去绝对值符号，再利用等差数列求和公式进行求解判断D.
【详解】对于A，当 时， ，
而 满足上式，因此 ，故A正确；
对于B， ，数列 是等差数列，故B正确；对于C，由选项A知，数列 单调递增，由 ，得 ，即数列 前5项均为负数，
第6项为0，从第7项起为正数， 取最小值时 或 ，故C错误；
对于D，
，故D正确．
故选：ABD.
11．ACD
对于A验证曲线 是否关于关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于原点对称即可判断，对于C由
，得 ，即曲线C由两个抛物线 ， 组成，利用抛物线的定义
即可判断，对于B利用直线方程和抛物线的方程联立，利用判别式即可判断，对于D先求 ，由
即可求得 的范围即可判断.
【详解】对于A：对于 ，以 代x，得 ，则曲线C关于y轴对称，
以 代y，得 ，则曲线C关于x轴对称，
同时以 代x，以 代y，得 ，则曲线C关于原点对称，故A正确.
对于C：由 ，得 所以曲线C由两个抛物线 ， 组成，
是抛物线 的焦点，所以曲线C上存在无数个点P，
使得点P到点 的距离等于点P到定直线 的距离，故C正确.
对于B：因为直线 过定点 ，所以该直线与抛物线 没有公共点，
将 代入 ，得 ，则 ，
得 ，即 或 ，故B错误.
对于D：将 代入 ，得 ，
设 ， ，则 ，
因为 是抛物线 的焦点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
则 可取的正整数为17，18，…，63，
所以使得 为正整数的k共有 个，故D正确.
故选：ACD.
12．1
根据函数为奇函数，利用 求解.
【详解】因为函数 是奇函数
所以 恒成立，
所以 ，
故答案为：1
13．
采用插空法和捆绑法直接求解即可.
【详解】当A，B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A，B插空，共有 种排法；
当A，B相邻时，将 看作一个整体，并且 在 的右边，
相当于 个人排队，则不同的排法有 种；
所以共有 种.
故答案为： .
14．①③
根据线面垂直判断①，应用正方体体积公式计算判断②，根据外接球的表面积计算判断③，结合截图面积
周长计算判断④.
【详解】对于①，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 为正方形，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 平面 ，所以 ，
故①正确；
对于②，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，
所以 ，故②错误；
对于③，过四点 构造正方体 ，
所以外接球直径为正方体 的体对角线所以 ，则 ，
所以此四点的外接球表面积为 ，故③正确；
对于④，由题意，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，同理可得 ，
所以四边形 为平行四边形，则周长 ，沿 将相邻两四边形推平，
当 三点共线时， 最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故④错误．
故答案为：①③
15．(1) ，3
(2) ．
（1）根据同角三角函数关系计算 ，再应用余弦定理得出 ，最后应用面积公式计算求解；
（2）应用正弦定理得出 ，再应用面积公式求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的面积为 ；（2）由 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的面积为 ；
设 边上的高为 ，所以 的面积为 ，解得 ，
则 边上的高为 ．
16．(1)
(2)① ；②
（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出 ，即可得出双曲线方程；
（2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值.
【详解】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ．
离心率为 ，解得 ．
故双曲线 的标准方程为 ．
（2）①设 ．
联立 得 ，则 ．
故 ．
② ．由题意得点 都在双曲线 的左支上，且点 在第二象限，所以 ，
则 ．
故 ．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）只需证明 ，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）说明 两两垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，由
向量夹角的余弦公式以及平方关系即可得解.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
如图，由平面图易得 为平行四边形，则 为 的中点，
连接 ，则 ，
又 平面 平面 ，故 平面 ．（2）取 的中点 ，连接 ， ，
由平面图形可知， ，则 ．
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 面 ，
故 平面 ．
以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，即 ，取 ，
又平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成二面角为 ，
，
即所求平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ．
18．(1)
(2)
（1）由题意 可以取0，2，3，求出对应的概率，进一步得分布列，结合期望公式计算即可求解；
（2）记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 为“从四个选项中随机选择两个选项的得
分”， 为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，计算得 ， ，，由此可列不等式求解.
【详解】（1）记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则 可以取0，2，3，
所以 的分布列为
0 2 3
则数学期望 ．
（2）记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则 的所有可能取值为0，2，3，
则 ，
所以 ；
记 为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则 的所有可能取值为：0，4，6，
则 ，所以 ；
记 为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 的所有可能取值为：0，6，
则 ，
所以 ．
要使唯独选择方案最好，则 ，解得 ，故 的取值范围为 .
19．(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）问题化为 且 ，利用导数研究 的性质，并结合分类讨论判
断不等式恒成立，即可得参数范围；
（3）由题设 ，应用分析法将问题化为证明 ，令 ，进一步化为证
明 ，利用导数证明不等式即可.
【详解】（1）由题设 ，则 ，且 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；（2）由题设 ，即 且 ，
令 且 ，则 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
所以 ，
当 ， 时， ，则 在 上单调递增， ，符合；
当 ， 时， ， 时 ，
所以 ，使 ，即在 上 ， 在 上单调递减，从而 ，
不符合；
综上， ；
（3）由 ，则 ， ，且 ，
所以 ，故 ，
要证 ，需证 ，即 ，
需证 ，令 ，即 ，即证 ，
最终只需证明 ，令 且 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
