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2009年辽宁高考理科数学真题及答案
一-选择题（每小题5分，共60分）
（1）已知集合M={x|-30,V=S-T
(B) A<0,V=S-T
(C) A>0, V=S+T
（D）A<0, V=S+T
（11）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
（12）若x 满足2x+2x =5, x 满足2x+2log (x-1)=5, x +x =
1 2 2 1 2
5 7
（A） (B)3 (C) (D)4
2 2
（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，
用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件
作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用
第2页 | 共11页寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值
为 h.
（14）等差数列a 的前n项和为S ，且6S -5S =5,则a =
n n 5 3 4
（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为 m3
x2 y2
（16）以知F是双曲线 - =1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则
4 12
PF + PA 的最小值为 。
（17）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直
的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为
750，300，于水面C处测得B点和D点的仰角均
为600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与
另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（
计算结果精确到0.01km， 2 »1.414， 6 »
2.449）
（18）（本小题满分12分）
如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。
（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
第3页 | 共11页（Ⅱ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。
（19）（本小题满分12分）
1
某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为 。该目标分为3个不同的部分，第一、
3
二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次
”，求P（A）
（20）（本小题满分12分）
3
已知，椭圆C过点A(1, )，两个焦点为（-1，0），（1，0）。
2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直
线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（21）（本小题满分12分）
1
已知函数 f(x)= x2 -ax+(a-1)lnx,a >1
2
（Ⅰ）讨论函数 f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：若a<5，则对任意x ，x (0,+¥)，x x ，有
1 2 1 2
f(x )- f(x )
1 2 >-1。
x -x
1 2
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第
一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知DABC中，AB=AC,
第4页 | 共11页D是DABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。
（Ⅰ）求证：AD的延长线平分ÐCDE；
（Ⅱ）若ÐBAC=30，DABC中BC边上的高为2+ 3，求DABC外接圆的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
p
为rcos（q- ）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
3
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|。
（Ⅰ）若a=-1,解不等式 f(x)³3；
（Ⅱ）如果"xR, f(x)³2,求a的取值范围。
参考答案
(1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A
1
(10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) (15) 4 (16)9
3
(17)解:
在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30°,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分
AB AC
在△ABC中， =
sinÐBCA sinÐABC
ACsin60o 3 2+ 6
即AB = = ,
sin15o 20
3 2+ 6
因此， BD = »0.33km。
20
故B，D的距离约为0.33km。 ……12分
第5页 | 共11页（18）（I）解法一：
取CD的中点G，连接MG，NG。
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG= 2
因为平面ABCD⊥平面DCED，
所以MG⊥平面DCEF，
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。
6
因为MN= 6 ，所以sinÐNMG = 为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分
3
解法二：
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，
分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐
标系如图.
uuuur
则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN =(-1,1,2).
uuur
又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，
uuuur uuur
uuuur uuur MN ×DA 6
cos MN,DA = = -
可得 uuuur uuur ·
|MN || DA| 3
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
uuuur uuur 6
|cos MN,DA |= · ……6分
3
（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， ……8分
则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。
又AB//CD，所以AB//平面DCEF。而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB//EN。
又AB//CD//EF，
所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分
第6页 | 共11页（19）解：
1
（Ⅰ）依题意知X ~ B(4, )，
3
即X 的分列为
X 0 1 2 3 4
16 32 24 8 1
P
81 81 81 81 81
………………6分
（Ⅱ）设A表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
i
B 表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
i
依题意知P(A)= P(B )=0.1,P(A )= P(B )=0.3，
1 1 2 2
A= A B AB AB A B ,
1 1U 1 1U 1 1U 2 2
所求的概率为
P(A) = P(A B )+P(AB )+P（AB）+P(A B )
1 1 1 1 1 1 2 2
=P(A)P(B )+P(A)P(B )+P（A)P(B )+P(A )P(B )
1 1 1 1 1 1 2 2
=0.1´0.9+0.9´0.1+0.1´0.1+0.3´0.3=0.28 ………12分
（20）解：
x2 y2
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 + =1，
1+b2 b2
1 9 3
因为A在椭圆上，所以 + =1，解得b2 =3，b2 = - （舍去）
1+b2 4b2 4
x2 y2
所以椭圆方程为 + =1。 ……………4分
4 3
3 x2 y2
（Ⅱ）设直线AE方程为：y = k(x-1)+ ，代入 + =1得
2 4 3
3
(3+4k2)x2 +4k(3-2k)x+4( -k)2 -12=0
2
3
设E(x ,y ),F(x ,y ),因为点A(1, )在椭圆上，所以
E E F F 2
第7页 | 共11页3
4( -k)2 -12
2
x =
E 3+4k2
3
y = kx + -k ………8分
E E 2
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得
3
4( +k)2 -12
2
x =
F 3+4k2
3
y =-kx + +k
F F 2
y - y -k(x +x )+2k 1
所以直线EF的斜率k = F E = F E =
EF x -x x -x 2
F E F E
1
即直线EF的斜率为定值，其值为 。 ……12分
2
(21)解：(1) f(x)的定义域为(0,+¥)。
a-1 x2 -ax+a-1 (x-1)(x+1-a)
f '(x)= x-a+ = = ……2分
x x x
（ⅰ）若a-1=1即a=2,则
(x-1)2
f '(x)=
x
故 f(x)在(0,+¥)单调增加。
（ⅱ）若a-1<1,而a>1,故10
故 f(x)在(a-1,1)单调减少，在(0,a-1),(1,+¥)单调增加。
（ⅲ）若a-1>1,即a>2,同理可得 f(x)在(1,a-1)单调减少，在(0,1),(a-1,+¥)
单调增加.
（Ⅱ）考虑函数 g(x)= f(x)+x
1
= x2 -ax+(a-1)lnx+x
2
第8页 | 共11页a-1 a-1
则g¢(x)= x-(a-1)+ ³2 xg -(a-1)=1-( a-1-1)2
x x
由于10，即g(x)在(0, +∞)单调增加，从而当x > x >0时有
1 2
f(x )- f(x )
g(x )-g(x )>0，即 f(x )- f(x )+x -x >0，故 1 2 >-1，当
1 2 1 2 1 2 x -x
1 2
f(x )- f(x ) f(x )- f(x )
0< x < x 时，有 1 2 = 2 1 >-1
1 2 x -x x -x
1 2 2 1
·········12分
（22）解：
（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,
对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE.
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.
连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,
∴∠OCH=600.
3
设圆半径为r,则r+ r =2+ 3得r =2,外接圆的面积为4p。
2
（23）解：
p
（Ⅰ）由rcos(q- )=1得
3
1 3
r( cosq+ sinq)=1
2 2
从而C的直角坐标方程为
第9页 | 共11页1 3
x+ y =1
2 2
即 x+ 3y =2
q=0时，r=2，所以M(2,0)
……5分
p 2 3 2 3 p
q= 时，r= ，所以N( , )
2 3 3 2
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
2 3
(0, )
N点的直角坐标为
3
3 2 3 p
所以P点的直角坐标为(1, ),则P点的极坐标为( , ),
3 3 6
p
所以直线OP的极坐标方程为q= ,r(-¥,+¥)
r
（24）解：
（Ⅰ）当a=-1时， f(x)=|x-1|+|x+1|
由 f(x)≥3得
|x-1|+|x+1|≥3
（ⅰ）x≤-1时，不等式化为
1-x-1-x≥3 即-2x≥3
ìx>1 3
不等式组í 的解集为[ ,+¥)
îf(x)³3 2
3 3
综上得， f(x)³3的解集为(-¥,- ] [ ,+¥) ……5分
U
2 2
（Ⅱ）若a=1, f(x)=2|x-1|，不满足题设条件
ì-2x+a+1,x£a,
ï
若a<1, f(x)=í1-a,a< x<1 f(x)的最小值为1-a
ï
2x-(a+1),x³1
î
第10页 | 共11页ì-2x+a+1,x£1,
ï
a>1, f(x)=ía-1,1< x
