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曲靖一中 2025 届高考决胜全真模拟卷（二）
，
数学试卷参考答案
一、选择题.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
.
答案 A C B A B D D C AC BD ACD
1. A【详解】A={i,i2,i3,i4 }={i,−1,−i,1}，所以 ，故选：A 故选：D.
8. C【详解】如图，延长 交双曲线左支于点 ，连结 ，由双曲线的对
2. C【详解】解：因为命题 ： ，所以 的否定 ： ，故选：C
称性及 知 ，设 ， ，则有
3. B【详解】由 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，A、D不符；由 在 上
， ，又 ，在 中，
单调递增，C不符； 以 为最小正周期，且在区间 上单调递减，B符合. ，即 ，解得 ，又在
中， ，即 ，所以
故选：B
4. A【详解】 ， 焦点为 ， 焦点为 ，则 焦点为 ，即 ，所以 ，所以双曲线C的渐近线方程为 .故选：C
二、选择题：.
，故选：A．
9. AC【详解】对于A，由 ，则 ，解得 ，故A正确；
5. B【详解】还原正方体如下图所示， ，
对于B， ， ， ，解得 或 ，
， ，所以
故B错误；
四面体 的表面积为 .故选：B
对于C，当 时， ，所以 在 方向上的投影向量为 ，故C正确；
6. D【详解】方法一：
给定的数字是1，2，2，3，3，3，其中有一个1，两个2，三个3，总共有6个数字，因此总排列数为：
对于D，当 与 夹角为锐角时，则 ，且 与 不同向， ，解得 且 ，故D错
.符合条件的排列数（两个2恰好相邻的情况）：
将两个2视为一个整体（即“超级元素”），这样剩下的元素为1，3，3，3和这个“超级元素”，共5个元素.其中三 误.故选：AC.
10. BD【详解】对于A选项：可掷出2，使得 同时发生，故A错误；
个3是重复的，因此符合条件的排列数为： ，所以符合条件的排列数除以总排列数： .
对于B选项： ，满足 ，故B正确；
方法二：
考虑两个2的位置组合，共有 种可能的位置组合，其中相邻的位置对数为5种，概率为： ，因此，数
对于C选项：由B可知 ，故C错误；
字2，2恰好相邻的概率为 .故选：D.
对于D选项： ， ；
7. D【详解】由 ，得 ，又 ，则 ，
所以 ，故D正确．故选：BD
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学科网（北京）股份有限公司11. ACD【详解】由 ，
的反函数为 ，两者关于 对称，故A正确.
，令
ℎ(x)在 上单调递减；(0,+∞)上单调递增，
所以
注意到 ，
， .................5分
在 和有一个零点 ，另一个零点为 ，
所以 ， .................6分
，故B错误.
与曲线 对称轴 垂直，如图，只需考察曲线 上 到 距离大最大值即可，
设平面 的法向量 ，则 ，
找出过 与曲线相切且与 平行的点 即可，令 ，令 ，此时
令 ，则 ， .................8分
到 的距离 ， 直线 被 截得弦长最大值为 ，故 正确.
故 ，且 平面 ，则 平面 ； .................10分
.
, ，故D正确.故选：ACD
（3）由（1）得 ，若直线 与平面 所成角为 ， .................11分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. ⃗n⋅⃗A P √2 √10
所以 sinθ=|cos<⃗A P,⃗n>|=| 1 |= = . .................13分
12. 2或4【详解】由题可得|r−1|=3(r>0)或r+1=3 ，解得r=2或r=4．故答案为：2或4 1 |⃗n||⃗A P| 2×√5 10
1
16.解:（1） ， ，
13. 【详解】由 ，得 ，又 为锐角三角形，所
7
故样本的中位数落在 内， .................2分
以角A为锐角，所以 ，在 中，由余弦定理 ，得：
又 ，故中位数为 ； .................4分
， .故答案为： .
7 （2）（i） 和 的人数比为 ， .................5分
14. ln2【详解】由题意g(x)+h(x)=ln(ex +1)，g(−x)+h(−x)=−g(x)+h(x)=ln(e−x +1)，
分层抽样抽取学生6人中， 和 的人数分别为 和 ， .......6分
1 (ex +1) 2
所以
2h(x)=ln(ex +1)+ln(e−x +1)
，则h(x)=
2
ln
ex
，又 ,当且
故这6人中随机抽取3人， 的可能取值为3,2,1，对应的 的取值为 ，
1 1 所以 的可能取值为 ， .................7分
仅当 ex = ⇒x=0 时取等号，所以 h(x) = ln4=ln2 .故答案为：
ex min 2 ln2
， ， ， .................10分
四、解答题.
1
15.解：（1）
V =S ¿AA= ×2×2×2√2=4√2
.................3分
故 的分布列为
ABC−A B C ΔABC 1 2
1 1 1
3 1 −1
（2）由题意，以A原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，...4分
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学科网（北京）股份有限公司当n>6时，
c
n
>0
，
W =−c −c −¿⋅¿−c +c +¿⋅¿+c =−T +(T −T )=T −2T
n 1 2 6 7 n 6 n 6 n 6
期望为
E(X)=3× 1 +1× 3 ++(−1)× 1 =1
.................12分
则
=
3n2 −33n
−2×
3×62 −33×6
=
3n2 −33n+180 ...............14分
5 5 5
2 2 2
（ii）由（i）知
{ 3n 2 − 33
1 3 1 8
D(X)=(3−1) 2 × 5 +(1−1) 2 × 5 +(−1−1) 2 × 5 = 5 ，..............14分 综上： W =¿ − ,n≤6¿¿¿¿ . .................15分
n
2
32
D(2X+1)=4D(X)=
所以 . .................15分
5
18.解：（1） 时， ， .................1分
17.解：（1）设公差为 ，公比为 ， .................1分
当 时， ，函数 单调递增，既无极大值也无极小值.
，故 ， ， ，故 ，
当 时， ， ，函数 单调递减，
， ，函数 单调递增， .................3分
联立 ，解得 或 （舍去）， .................3分
函数 的极小值是 ，无极大值. .................4分
故 ， .................4分
（2）（ⅰ）当 时，因为函数 存在零点，故 有解， .................5分
（2） .................5分
若 ，此时无解，所以 ， 有解， ，
设数列 的前 项和为 ， ①若 单调递增， 此时不存在零点； .................6分
②若 ，令 ， ， ，
则 ，①
由零点存在定理可知存在 ，
，② .................7分
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，解得 ，故 . ...............9分
两式①- 得 ，
② （ⅱ）因为函数 存在零点，所以 有解 ，其中 ，
所以 . .................9分 若 ，则 ，该式不成立，故 . .................10分
故 ，考虑直线 ，
（3）令 c =a −18=3n−18 ，设数列{c }的前项和为 T ，
n n n n
n(−15+3n−18) 3n2 −33n 表示原点与直线 上的动点 之间的距离， ...............12分
则T = = .................10分
n 2 2
，所以 ，
由
c
n
=0
，解得n=6
3n2 −33n
当 n≤6 时， c
n
≤0 ，则W n =−c 1 −c 2 −¿⋅¿−c n =−T n =− 2 .................12分 时，要证 ，只需证 ，
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学科网（北京）股份有限公司即证 . .................14分 故当 时， .................12分
令 ，则 ，
（ii）由题意知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， .................13分
令 ， ，
故 在 上为增函数，故 . 则
即 在 上为增函数，
.............15分
故 ，故 ，即 成立. .................17分
，
19.解：（1）设椭圆 的方程为 ，
所以 的值为常数0. .................17分
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .................3分
（2）（i）当 时， ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，则 ， .................4分
设直线 的方程为 ，设点 ，
联立 ，整理得： ， .................6分
由 ，可得 .
由韦达定理知： ， .................7分
又 是椭圆C上位于直线PQ两侧，则
，解得 .................9分
四边形 的面积
.............11分
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