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江西省宜春中学2025-2026学年高三上学期一轮诊断考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，则z的虚部为（ ）
A．3 B．1 C． D．i
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
4．在 中，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若 ，且满足 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．18 C． D．9
6．当 时，关于x的不等式 有解的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
8．设 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．二、多选题
9．已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为
B．若将 的图象向右平移 个单位得到奇函数，则 的最小值为
C．若 在 单调递减，则
D．若 在 上只有1个零点，则
10．已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， ， ，则（ ）
A． 的一个周期为4 B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于点 中心对称 D．
11．在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则
（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
三、填空题12．已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围是 .
13．已知各项均不为零的数列 满足： ．若 ，则数列 的前n
项和 ．
14．已知函数 的导函数 满足： ，且 ，当 时，
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开
展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及
以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果
为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：
经验丰富教师 经验不丰富教师 总计
优秀 200 150 350
合格 100 50 150
总计 300 200 500
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？
(2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，
设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．各项均不为0的数列 对任意正整数 满足： ．(1)若 为等差数列，求 ；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
17．如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，离心率为 ，点 为 上一点， 周
长为 ，其中 为坐标原点．
(1)求 的方程；
(2)直线 与 交于 两点，
（i）求 面积的最大值；
（ii）设 ，试证明点 在定直线上，并求出定直线方程．
19．已知函数
(1)求 在 处的切线方程;
(2)讨论 的单调性;
(3)证明:参考答案
1．B
【详解】由题意可得： ．
所以 .
故选：B．
2．A
【详解】 ，虚部为3.
故选：A
3．C
【详解】由题意可得 ，因为 ，
则 ，
即 ，解得 .
故选：C.
4．D
【详解】因为
，
由正弦定理得： ，
由余弦定理， ，
又 为三角形内角，所以 .
故选：D
5．C
【详解】由 ，则
.
当且仅当 时取等号，即 ，再结合 ，
可得 ， 时取等号.
故选：C
6．C
【详解】当 时，关于x的不等式 有解，
即 在 上有解.令 ， ，
所以 ，则 ，
代入 得 ，
当且仅当 时取等号，此时 ， 的最小值为6.
故当 时，关于x的不等式 有解的充要条件是 ，
所以满足题意的充分不必要条件是 的真子集，选项中只有C符合
故选：C
7．D
【详解】边长为6的正三角形的内切圆半径为： ，
所以正三棱柱的高为 ，
则外接球半径 ，
所以外接球的表面积为： ，
故选：D.
8．C
【详解】记 ，因为 ，当 时， ，所以 在 上单调
递增，
则当 时， ，即 ，取 ，所以 ，
记 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
则当 时， ，即 ，取 ，所以 ，故 ，即
；
记 ，因为 ，当 时， ，所以 在
上单调递增，
所以当 时， ，即 ，取 ，所以 ，即
；所以 .
故选：C.
9．ABC
【详解】对于A，由 可得 关于 对称，
所以 ，可得： ，
因为 ，所以 的最小值为 ，故A正确；
对于B，将 的图象向右平移 个单位得到 ，因为
为奇函数，
所以 ，则 ，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，函数 的单调减区间为：
，则 ，
令 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 在 上只有1个零点，则 ，
取 ，令 ，则 ，
则 ， 时， 无零点，故D不正确.
故选：ABC.
10．ABD
【详解】对于A， ， ，
的一个周期为4，故A正确；对于B， 是奇函数， ，
，故 ，
的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C， ，
的图象关于点 中心对称，故C错误；
对于D， ， ， ，又 ， ，
， ，
故 ，故D正确.
故选：ABD
11．BD
【详解】
易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于A，当 时， ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故A错
误；
对于B，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ， 平面，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ，所以 点
轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ， ，则
， ， ，所以 或 ．故 均满足，故
C错误；
对于D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点轨迹为
线段 ．设 ，因为 ，所以 ， ，所以
，此时 与 重合，故D正确．
故选：BD．
12．
【详解】解：根据题意，函数 ， ，即函数 为奇函数，
又由 在 上为减函数， 在 上增函数与，则函数 在 上为减函数，
则
，
解可得： ，即 的取值范围为 ；
故答案为：
13．
【详解】 ，
所以数列 是公比为2的等比数列，
所以 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，所以 ．
故答案为：
14．
【详解】设 ，则 ，故 ，则 ，又因
为 ，即 ，所以 ， ， ，因为 ，所以
在 上恒成立，其中 ，理由如下：构造
，则 ，令 得： ，当 得： ，当 得： ，
故 在 处取的极小值，也是最小值， ，从而得证.
故 ，故 ，实数a的取值范围为
故答案为：
15．(1)不能(2)分布列见解析；
【详解】（1）零假设 ：认为这次考核结果与经验丰富无关，
由题意 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，推断 成立，
即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关.
（2）由题意， 名教师中经验丰富的教师人数为 人，经验不丰富的教师人数为 人，
则 可取的值有 ，
， ，
， ， ，
的分布列如下表
0 1 2 3 4
所以 .
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意 ，
当 时， ，两式相减得 ，
因为 为等差数列，在式子： 中令 ，
得 ，所以 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，但这与 矛盾，舍去，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
而当 时， ，所以此时 ，
所以此时 ，
而 也满足上式，
综上所述， 的前 项和 .
17．(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ， ，
由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形
是矩形，∴在Rt 和Rt ， ，∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而
，∴ 平面 ，而 平面 ．
（2）因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ．18．(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析， ．
【详解】（1）设焦距为 ，依题意， 解得 ，
又 ，所以 ，
所以 的方程为 ．
（2）（i）设 ，
因为 ，所以 ，
，解得 ，
所以 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积
当且仅当 ，即 时， 面积的最大值为 ．
（ii）设 ，由 ，有 ，即
因为 ，所以 ，
故 ，于是有 ，
所以点 在定直线 ．
19．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1） ， ，则 ，
又 在 处的切线方程为 .
（2）由题意可得： 的定义域为 ， ，
当 时，则 在 上恒成立，可知 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）令 ， ，
则 ，由 可知 ，令 ， ．
因为 ， 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
且 ， ，
可知 在 上存在唯一零点 ， ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ，
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
又因为 ，则 ， ， ，
可得 ，
即 ，所以 .
