文档内容
玉溪一中 2025—2026 学年上学期高三适应性测试（六）
数学试题评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D B A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BCD ABD AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
答案 16 4 1 1
；[ ,+∞)
5 e 2e−1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）法1:在△ABC中，
π
∵BC=3√ 2，∠BAC= ，AC=2√ 3，
3
π
∴(3√ 2)2=c2+(2√ 3)2 −2⋅2 √ 3⋅c⋅cos ，
3
∴c2 −2√ 3c−6=0，
∴c=√ 3±3，又c>0，
∴c=√ 3+3，
c 3√ 2
∵ =
sinC π ，
sin
3
数学试题评分参考第1页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司√ 2+√ 6
∴sinC= ．
4
法2:在△ABC中，
π
∵BC=3√ 2，∠BAC= ，AC=2√ 3，
3
AC 3√ 2
∴ sinB = π ，sinB= √ 2 ，
sin 2
3
∵AC6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：
(0.004+0.020+0.044)×5=0.34，
箱产量低于55kg的直方图面积为：
(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，
0.5−0.34
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35(kg)，
0.068
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)．
17．（15分）
解：（1）证明：取AD的中点G，连接OG，FG，
数学试题评分参考第3页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司∵O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，
1
∴OG//DC，且OG= DC，
2
又∵EF//DC，且DC=2EF，
∴OG//EF，且OG=EF，
从而四边形OGEF为平行四边形，
∴OE//FG，
又FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，
∴OE//平面ADF．
（2）证明：连接OF，
∵四边形ABCD为菱形，∴OC⊥BD，
∵FD=FB，O是BD的中点，∴OF⊥BD，
又OF∩OC=O，OF,OC⊂平面AFC，
∴BD⊥平面AFC，又BD⊂平面ABCD，
∴平面AFC⊥平面ABCD．
18．（17分）
x
（1）解：当b=0时，f(x)=ln +ax，x∈(0,2)，
2− x
2
由题意知 ∀x∈(0,2)，f′(x)= +a≥0恒成立，
x(2− x)
2
所以−a≤[ ] ，
x(2− x) min
因为x∈(0,2)，所以x>0,2− x>0,
2 2
≥ =2
所以x(2− x)
(
x+2− x
)
2 ，当且仅当x=1时，取等号．
2
所以−a≤2，则a =−2．
min
数学试题评分参考第4页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司（2）证明：因为f(2− x)=ln
2− x
+a(2− x)+b(1− x)3
x
x
=−[ln +ax+b(x−1)3]+2a=− f(x)+2a，
2− x
所以曲线y=f(x)关于点(1,a)成中心对称图形．
（3）解：因为f(1)=a⩽−2，否则解集中含有x=1:又由(1)知a≥−2，否则f′(1)<0
，从而a=−2，
x
由题意知 ∀x∈(1,2)，f(x)=ln −2x+b(x−1)3>−2，且f(1)=−2，
2− x
2 2
f′(x)= −2+3 b(x−1)2=(x−1)2[3b+ ]，f′(1)=0，
x(2− x) x(2− x)
2
令g(x)=f′(x)=(x−1)2[3b+ ]，
x(2− x)
1 1
又g′(x)=− + +6b(x−1)，g′(1)=0，
x2 (2− x)2
1 1
令h(x)=g′(x)=− + +6b(x−1)，
x2 (2− x)2
2 2
又h′(x)= + +6b，h′(1)=4+6b，
x3 (2− x)3
2
令h′(1)=4+6b≥0，得b≥− ，
3
此时f′(x)=(x−1)2[
2
+3b]≥(x−1)2[
2
−2]=
2(x−1)4
≥0，
x(2− x) x(2− x) x(2− x)
故f(x)在(1,2)上单调递增，所以对∀x∈(1,2)，f(x)>−2恒成立，
2
综上所述，b的取值范围为[− ,+∞).
3
19．（17分）
b
{ =1
解：（1）由已知得 a ,
(√ 2)2=a2+b2
数学试题评分参考第5页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司解得a=1，b=1，
故双曲线C的标准方程为：x2 −y2=1；
x +x y +y
（2）证明：设M(x ,y )，N(x ,y )，Q ( 1 2 , 1 2) ，
1 1 2 2 2 2
因为M，N为双曲线C上的两点，
{x2 −y2=1
所以 1 1 ,
x2 −y2=1
2 2
两式相减得：(x −x )(x +x )=(y −y )(y +y )，
1 2 1 2 1 2 1 2
x +x y −y
整理得， 1 2 = 1 2，
y +y x −x
1 2 1 2
y +y
1 2
y −y 2 y −y y +y
则k k = 1 2 ⋅ = 1 2 ⋅ 1 2 =1，得证；
1 2 x −x x +x x −x x +x
1 2 1 2 1 2 1 2
2
（3）设斜率为2且与双曲线右支相交于A ，B 两点的直线方程为
n n
y=2x+m (m <0)，n∈N∗，
n n
联立：{y=2x+m ，整理得： ，
n 3x2+4m x+m2+1=0
x2 −y2=1 n n
因为该方程有两个正根，则Δ>0，
解得： 或 舍 ，
m <− √ 3 m >√ 3( )
n n
设 ， ，
A(x ,y ) B(x ,y )
A A B B
n n n n
4m m2+1
所以x +x =− n，x x = n ，
A n B n 3 A n B n 3
直线A P 的方程为：y−y =−(x−x )，
n n A A
n n
因为y =2x +m ，所以y=− x+3x +m ，①
A A n A n
n n n
直线B P 的方程为y−y =x−x ，
n n B B
n n
因为y =2x +m ，所以y=x+x +m ，②
B B n B n
n n n
3 1
联立①②得y =y = x + x +m ，
n P n 2 A n 2 B n n
数学试题评分参考第6页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司3x −x
x =x = A n B n，
n P n 2
3x −x
3 1
所以P ( A n B n , x + x +m )，
n 2 2 A n 2 B n n
4m
因为x +x =− n，
A n B n 3
3 1 3 1 2m m
所以y = x + x +m = x − x − n +m =x + n，
n 2 A n 2 B n n 2 A n 2 A n 3 n A n 3
4m
3x − (−x − n )
x = 3x A n −x B n = A n A n 3
n 2 2
2m m
=2x + n =2(x + n )，
A n 3 A n 3
1
所以y = x ，
n 2 n
1
则P ,P ,⋅ ⋅ ⋅P,都在直线y= x上，
1 2 n 2
故P ,P ,⋅ ⋅ ⋅P,共线．
1 2 n
数学试题评分参考第7页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司
