文档内容
运城市 ２０２５－２０２６学年第一学期期中调研测试
高三数学试题
２０２５．１１
本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项：
１答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓
名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２答题时使用０５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
１．若ｚ＋１＝２－ｉ，则│ｚ│＝
Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．２
｛ ｘ－２ ｝
２．已知集合Ａ＝｛－２，－１，０，１，２，３｝，Ｂ＝ ｘ│ ≤０，则Ａ∩瓓Ｂ＝
ｘ＋１ Ｒ
Ａ．｛－１，０，１，２｝ Ｂ．｛０，１，２｝ Ｃ．｛－２，－１，３｝ Ｄ．｛－２，－１，２，３｝
３．已知向量ａ＝（１，２），ｂ＝（λ，－１）．若ａ⊥（２ａ－ｂ），则实数λ的值为
Ａ．－１０ Ｂ．１０ Ｃ．－１２ Ｄ．１２
４．若
（２ －ｘ２）ｎ
的展开式中，所有二项式系数之和为３２，则该展开式中的常数项为
槡ｘ
Ａ．－４８ Ｂ．４８ Ｃ．－８０ Ｄ．８０
５．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）的部分图象如图所示，ｆ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数，则
ｆ（４）－ｆ（２）
Ａ．ｆ′（２）＜ｆ′（５）＜
２
ｆ（４）－ｆ（２）
Ｂ．ｆ′（２）＜ ＜ｆ′（５）
２
ｆ（４）－ｆ（２）
Ｃ．ｆ′（２）＞ｆ′（５）＞
２
ｆ（４）－ｆ（２）
Ｄ．ｆ′（２）＞ ＞ｆ′（５）
２
６．已知圆Ｃ过抛物线ｘ２＝４ｙ的焦点，且圆心在此抛物线的准线上．若圆Ｃ的圆心不在ｙ轴上，且
与直线２ｘ－ｙ＋１＝０相切，则圆Ｃ的半径为
Ａ．２槡５ Ｂ．４ Ｃ．５槡２ Ｄ．２槡２
高三数学试题 第 １页（共４页）
书书书（ π）
７．把函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ ３ｘ－ －１的图象向右平移ａ（ａ＞０）个单位长度，再向上平移ｂ个
３
单位长度后得到函数ｇ（ｘ）的图象，若ｇ（ｘ）的图象关于点（２ａ，０）对称，则ａ＋ｂ的最小值为
π π π π
Ａ． －１ Ｂ． ＋１ Ｃ． －１ Ｄ． ＋１
９ ９ ６ ６
ａ ａ
８．设Ｔ为数列｛ａ｝的前ｎ项积，已知 ｎ＋１－ ｎ＝２，则ａ ＝
ｎ ｎ Ｔ Ｔ ２０２５
ｎ＋１ ｎ
２０２４ ２０２５ ４０４８ ４０４９
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２０２５ ２０２６ ４０４９ ４０５１
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．
９．在公比为ｑ的等比数列｛ａ｝中，Ｓ是数列｛ａ｝的前ｎ项和，且ａ＝１，ａ·ａ＝１６，则下列说法
ｎ ｎ ｎ ３ ２ ８
正确的是
Ａ．ａ＝±４
５
Ｂ．｛ａａ ｝的公比为４
ｎ ｎ＋１
Ｃ．当ｑ＞０时，｛ａ｝的前２０项积为２１５０
ｎ
Ｄ．当ｑ＞０时，数列｛ｌｇａ｝是公差为２的等差数列
ｎ
ｘ－２
１０．已知函数ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的奇函数，当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝ ，则下列说法正确的是
ｅｘ
Ａ．当ｘ＜０时，ｆ（ｘ）＝（ｘ＋２）ｅｘ
Ｂ．ｆ（ｘ）的极大值点是３
Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为Ｒ
１
Ｄ．当 ＜ｍ＜２时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）－ｍ有１个零点
ｅ３
１１．在棱长为 ２的正方体 ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ 中，Ｅ、Ｆ分别为棱 ＡＤ，ＤＤ 的中点，Ｇ为侧面
１ １ １ １ １
ＢＣＣＢ上的一个动点，则
１ １
Ａ．三棱锥Ｆ－ＤＥＧ的体积为定值
１
槡１０
Ｂ．异面直线ＤＥ与ＡＣ所成角的余弦值为
１ ５
Ｃ．当平面ＥＦＧ∥平面ＡＢＤ 时，ＡＧ与平面ＢＣＣＢ所成角正切值的最小值为２
１ １ １ １ １
８
Ｄ．过ＥＦ且与ＤＢ垂直的平面截正方体的外接球所得截面的面积为 π
１ ３
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．
１２．右图是某汽车公司１００家销售商２０２５年前半
年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布
直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从
这１００家销售商中抽取２０家，则应从销售量
在［５０，１５０］内的销售商中抽取 家．
高三数学试题 第 ２页（共４页）１３．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足：ｆ（ｘ＋１）是偶函数，ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（２－ｘ）＝２，且当ｘ∈
［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（３ｘ＋１），则ｆ（２０２５）＝ ．
２
１４．椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一
ｘ２ ｙ２
个焦点，法线为与椭圆切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆Ｃ： ＋ ＝１，Ｆ、Ｆ 为其
９ ８ １ ２
左、右焦点．从点Ｆ发出的光线与椭圆交于点Ｐ，直线ｌ为椭圆Ｃ在点Ｐ处的切线，点Ｍ为
２
Ｆ关于直线ｌ的对称点，点Ｑ（０，－槡３），则│ＭＱ│的取值范围为 ．
２
四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１５．（１３分）记△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是ａ，ｂ，ｃ，满足ａ２－ｃ２＝ｂ（２ａｃｏｓ２Ｂ－ｂ）．
（１）证明：Ｃ＝２Ｂ；
ｃ
（２）若△ＡＢＣ为锐角三角形，求： 的取值范围．
ｂｓｉｎＢ
槡５
１６．（１５分）已知以原点Ｏ为中心，Ｆ（槡５，０）为右焦点的双曲线Ｃ的离心率ｅ＝ ．
２
（１）求双曲线Ｃ的标准方程及其渐近线方程；
３
（２）若直线ｌ：ｙ＝－ ｘ＋ｔ交Ｃ于Ａ，Ｂ两点，且│ＡＢ│＝２槡７，求直线ｌ的方程．
４
１７．（１５分）如图１，在菱形ＡＢＣＤ中∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝４，动点 Ｅ，Ｆ在边 ＡＤ，ＡＢ上（不含端
→ →
点），且存在实数λ使ＥＦ＝λＤＢ，沿ＥＦ将△ＡＥＦ向上折起得到△ＰＥＦ，使得平面ＰＥＦ⊥平
面ＢＣＤＥＦ，如图２所示．
（１）若ＤＥ⊥ＰＢ，求λ的值；
（２）当点Ｅ的位置变化时，平面ＥＰＦ与平面ＢＰＦ的夹角的余弦值是否为定值，若是，求出
该定值；若不是，说明理由．
高三数学试题 第 ３页（共４页）１８．（１７分）为响应全国乡村文化振兴活动，２０２５年在“潮艺焕彩 －全民参与”活动中，某村新
设置了投篮比赛，由一位投篮高手与多名挑战者进行对决，各局比赛结果相互独立．
（１）现由高手Ａ与甲、乙、丙三人各比赛一局，已知 Ａ与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为
４ ２ ３
， ， ．求比赛后高手Ａ共胜两局的概率；
５ ３ ４
（２）在（１）条件下，记高手Ａ连输两局的概率为Ｐ，试判断高手Ａ在第二局与甲、乙、丙中的
哪位比赛Ｐ最大，并写出判断过程；
（３）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得１分，负者得０分，没有平局，比赛
进行到一方比另一方多２分为止，多得２分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜
的概率为α，乙获胜的概率为β，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行５局，求比
赛结束时比赛局数Ｘ的分布列及期望Ｅ（Ｘ）的最大值．
１９．（１７分）已知Ａ，Ｂ，Ｃ为函数ｆ（ｘ）图象上不同的三点．它们的横坐标ｘ，ｘ，ｘ依次成等差数
Ａ Ｂ Ｃ
列，且函数ｆ（ｘ）在点Ｂ处的切线斜率恒小于直线ＡＣ的斜率，则称该函数是其定义域上的
“等差偏移”函数．设函数ｆ（ｘ）＝ｅ２ｘ＋ｂｘ．
（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；
（２）已知函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｌｎｘ）
①证明：当ｂ＞０时，Ｆ（ｘ）是其定义域上的“等差偏移”函数；
ａ＋１ ３
②当ｂ＝１时，函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｌｎｘ），数列｛ａ｝满足ａ ＝Ｆ（ａ）－ａ２＋ ｎ ，ａ＝ ．
ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ ２ａ １ ２
ｎ
其前ｎ项和为Ｓ，试证明：Ｓ ＜ｎ＋１．
ｎ ｎ
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