郑州市2024 年高中毕业年级第一次质量预测
数学
参考答案
一、单选题
CADAA
CBD
二、多选题
9.ABC
10.CD
11.ABD
12.ACD
三、填空题
13.
4 ;
5
14. 276；
15.
4
[
,0];
3
16.
e .
2
四、解答题
17.（1）样本的平均值为
(55 0.01 65 0.02
75 0.034
85 0.026
95 0.01) 10
75.6
y
，
所以乙生产线上产品指标P 值的平均值估计为75.6.————————2 分
因为(0.01 0.02) 10
0.3
0.5
，(0.01 0.02
0.034) 10
0.64
0.5
，
所以中位数在
70,80 之间，设指标P 值的中位数为y ，
所以
0.1 0.2
(
70) 0.034
0.5
y
y
，解得
0.2
70
75.88
0.034
y
. ——————4 分
由题中条件可知
74
72
2
x
x
，
75.6 75.88
0.28
y
y
x
x
，
所以乙生产线产品指标P 值较甲产品指标P 值更好. ————————6 分
（2）由频率分布直方图可知该样本中指标P 值不小于70 的频率为
（0.034+0.026+0.01）×10=0.7，所以指标P 值不小于70 的概率为0.7，
(5,0.7)
X
B
，
(
)
5
0.7
3.5
E X
，
(
)
5
0.7
0.3
1.05
D X
.
————————10 分
18.解（1）由条件知，
3sin
sin
cos
sin
sin
sin(
)
B
A
B
A
B
A
B
，
即
3sin
sin
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
B
A
B
A
B
A
B
A
B
，
即
3sin
sin
sin
cos
sin
B
A
B
A
B
，因为sin
0
B
，
所以
3sin
cos
1
A
A
，即2sin(
)
1
6
A
，
因为
(0, )
A
，所以
3
A
.
——————————6 分
（2）因为AD
BD
，所以
DAB
B
，
2
CDA
B
，
3
CAD
B
，
2
3
ACD
B
{#{QQABIYKEggAIAAAAARhCAQW6CAAQkBACAAoOhAAEoAAAwRFABCA=}#}
在△CAD 中，由正弦定理得，sin
sin
CD
AD
CAD
ACD
，即
3
2
sin(
)
sin(
)
3
3
CD
CD
B
B
，
所以
2
sin(
)
3sin(
)
3
3
B
B
，即
3
1
3 3
3
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
B
B
B
B
，
整理得
3cos
2sin
B
B
，所以
3
tan
2
B
.
————————12 分
19.解：（1）不妨设
1
AB ，则
2
BC
CE
，
在平行四边形ABCD 中，∵
2,
1
BC
AB
，
60
ABC
，连接AC ，
由余弦定理得
2
2
2
1
2
2 1 2 cos60
3
AC
，即
3
AC
，
∵
2
2
2
AC
AB
BC
，∴AC
AB
．
又∵
2
2
2
AC
AE
CE
，∴AC
AE
，又AB
AE
A
，
∴AC 平面EAB ，又∵AC 平面ABCD ，
∴平面EAB 平面ABCD ．
————————————————5 分
（2）取AB 中点G，连接EG，∵EA
EB
，∴EG
AB
，
由（1）易知EG 平面ABCD ，且
3
2
EG
．
如图，以A 为原点，分别以射线AB，AC 为x，y 轴的正
半轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则
1
3
3
3
( ,0,
),
(0,
,
)
2
2
2
2
E
F
，
(0, 3,0),
( 1, 3,0)
C
D
，1( 2,2 3,0)
B
，
1( 1,2 3, 3)
C
( 1,0,0)
CD
，
3
3
(0,
,
)
2
2
FC
，
1
3
(
, 3,
)
2
2
EC
设平面FCD 的法向量为
( , , )
n
x y z
，则
0,
0,
n CD
n FC
得
0,
3
3
0,
2
2
x
y
z
令
1
y ，得
(0,1,1)
n
，
{#{QQABIYKEggAIAAAAARhCAQW6CAAQkBACAAoOhAAEoAAAwRFABCA=}#}
设平面ECD 的法向量为
( , , )
m
x y z
，则
0,
0,
m CD
m EC
得
0,
1
3
3
0,
2
2
x
x
y
z
令
1
y ，得
(0,1,2)
m
，
3
3 10
cos
,
10
|
| |
|
2 5
m n
m n
m
n
，
即平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值为3 10
10
．
—————————————12 分
20. 解：（1）由已知得，
2
1
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a
，即
2
2
1
2
n
n
a
a
.
又
0
n
a
且
2
1
a
，得
n
n
a
a
2
1
，即
2
1
n
n
a
a
.
所以数列
n
a
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
n
n
an
2
2
1
2
.
当
1
n
时，
2
1
1
b
，得
2
1
b
.
当
2
n
时，
1
2
2
1
2,
2
n
n
b
n
n
得
2 ,
n
nb
当
1
n
时，
2
1
b
也适合上式，故
n
nb
2
.
--------------------------6 分
（2）在
nb 和
1
nb
之间插入n 个数
1
2
3
,
,
,
n
n
n
n
n
c
c
c
c
，使得
1
2
3
1
,
,
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
b c
c
c
c
b
成等差数
列，设其公差为d ，则
1n
n
c
b
d
，
1
.
n
n
n
c
b
d
1
2
3
1
1
1
2
2
3
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n b
d
b
d
S
c
c
c
c
n
1
2
2
1
0
2
3
2
1
3
2
9
2
6
2
3
n
n
n
n
n
T
----------------------------------①
n
n
n
n
n
T
2
3
2
1
3
2
9
2
6
2
3
2
1
3
2
1
------------------------------------②
①—②得
n
n
n
n
T
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
2
1
0
n
n
n
n
n
n
T
2
3
3
3
2
3
2
1
2
2
1
3
1
，
3
2
3
3
n
n
n
T
.————12 分
21. 解：（1）由题意可知，点A 的坐标为
2
0，，所以
2
2
AB
k
，
{#{QQABIYKEggAIAAAAARhCAQW6CAAQkBACAAoOhAAEoAAAwRFABCA=}#}
故直线AB 的方程为
2
2
2
x
y
，
与双曲线联立
2
2
2
2,
2
1
4
2
y
x
y
x
得
0
2
4
3
2
x
x
，
解得
0
1
x
或
3
2
4
2
x
，
故点D 的坐标为
3
10
3
2
4
，
.
——————————5 分
（2）直线l 与双曲线C 联立
2
2
,
1
4
2
y
kx
m
y
x
整理得
0
4
2
2
2
2
2
m
kmx
x
k
，
因为
2
k
，P 是双曲线与直线l 的唯一公共点，
所以
0
4
2
4
2
Δ
2
2
2
m
k
km
，
即
2
2
2
2
2
2
4
k
k
m
，
解得点P 的坐标为
2
2
2
2
2
k
m
,
k
km
，即
m
,
m
k
4
2
，其中
0
km
.
过点P 且与l 垂直的直线为
m
k
x
k
m
y
2
1
4
，
可得
0
6 ,
m
k
M
，
m
N
6
0，
.
所以
m
,
m
k
Q
6
6
，即
m
k
x
6
，
m
y
6
，
故
18
2
18
6
2
18
72
4
18
36
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
m
m
m
m
m
k
m
k
x
，
即
0
1
18
9
2
2
x
x
y
.————————————12 分
{#{QQABIYKEggAIAAAAARhCAQW6CAAQkBACAAoOhAAEoAAAwRFABCA=}#}
22. 证明：（1）由题意可知，函数
x
f
的定义域为R ，
x
f
为偶函数，先令
0
x
，
1
sin
2
f
x
ax
x
，又
1
a
，故
1
sin
sin
2
f
x
ax
x
x
x
，
令
sin
g x
x
x
，
1 cos
0
g
x
x
，
x
g
在
，
0
上单调递增，
故
0
x
g
，即
0
x
f
，所以函数
x
f
在
，
0
上单调递增，
所以当
0
x
时，
0
0
f
x
f
，
又
x
f
为偶函数，故
0
x
f
.
——————————5 分
（2）由（1）可知，当
1
a
时，
2
1
cos
1
0
2 x
x
，
即
2
2
1
1
x
x
cos
，当且仅当
0
x
时，等号成立，
令
n
x
1
，
N
n
n
且
1
，
2
1
1
cos
1
2
n
n
，
即
2
2
1
1
2
1
1
cos
1
1
1
2
4
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
，
由（1）可知，当
0
x
时，
sin
x
x
，
又
N
n
n
且
1
，故
1
1
0
n
，所以1
1
1
1
sin
cos
tan
n
n
n
n
，
即
1
1
cos
1
tan
n
n
n
，即
1
1
1
1
cos
1
1
2
1
2
1
tan
n
n
n
n
n
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
tan1
1
3
3
5
2
1
2
1
2tan
3tan
tan
2
3
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
即证：
1
1
1
1
2
1
1
1
tan1
2
1
2tan
3tan
tan
2
3
n
n
n
n
n
.———————————12 分
{#{QQABIYKEggAIAAAAARhCAQW6CAAQkBACAAoOhAAEoAAAwRFABCA=}#}
