新疆乌鲁木齐市第六十八中学2024届高三上学期1月月考数学_2024届新疆乌鲁木齐市第六十八中学高三上学期1月月考

乌鲁木齐市第六十八中学 高三 1 月月考 数学试题 总分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A. B. C. D. 2. 若 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知c是椭圆 ）的半焦距，则 取最大值时椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，若 ，则 （ ） A. 或 B. C. D. 7. 角A是 的内角，则“ ”是“ ，且 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在 中，已知 ，则 （ ） A. 2021 B. 2022 C. 4042 D. 4043 二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B. 若随机变量 服从正态分布 ， ，则 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 ，若样本中心点为 ，则 D. 若随机变量 ，且 ，则 10. （多选题）已知 ，则a，b满足下列关系的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 ，则（ ） A. 函数 有两个极值点 B. 函数 有三个零点 C. 若 ，则 是偶函数 D. 点 是函数 的对称中心 12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为 ，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 的 13. 在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复 3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 ________．(用分数表示) 14. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是 ，那么这个正三棱台的体 积等于___________. 15. 已知关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，则实数 的取值 范围为___________. 16. 已知双曲线 左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与C的右支交于 的 A，B两点，若 ， ，则C的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答 题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效. 17. 它们的终边分别与单位圆相交于 (1)求 ； (2)求 的值. 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥ 平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DF PD．（1）求证：PB∥平面AEF； （2）若 ，求三棱锥E﹣PAD的体积． 19. 已知函数 . （1）当 时，求函数 的单调增区间； （2）若不等式 对于任意 成立，求正实数 的取值范围. 20. 已知公差 的等差数列 ， 是 的前 项和， ， 是 和 的等比中项. （1）求 的通项公式； （2）设数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求证 . 21. 某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元， 由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年 的数据得知，每季由产量为 的概率为0.4.亩产量为 的概率为0.6，市场销售价格 (单位： 元/kg)与其概率 的关系满足 . （1）设 表示此果农某季所获得的利润，求 的分布列和数学期望； （2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率. 22. 已知函数 ．（1）若 ，求函数 的单调减区间； （2）若 ，正实数 ， 满足 ，证明： ．乌鲁木齐市第六十八中学 高三 1 月月考 数学试题 总分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立 中的方程组成方程组，求出解即可确定出两集合的交集 【详解】联立集合 可得： ，解得 或 则 故选 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 2. 若 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再代入 ，由复数的模长公式即可求出答案. 【详解】由已知， ， . 故选：B.3. 已知向量 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减法、向量垂直和平行的坐标表示依次验证各个选项即可. 【详解】对于A， ， 不平行，A错误； 对于B， ， ， ，B正确； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D错误. 故选：B. 4. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A， ，为幂函数，既是奇函数，又是增函数，符合题意； 对于B， ，为一次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于C， ，为偶函数，不符合题意； 对于D， ，为对数函数，不是奇函数，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性，属于基础题． 5. 已知c是椭圆 ）的半焦距，则 取最大值时椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用椭圆的性质直接对原式 进行减少变量处理，得到 ，看成以 为变量 的函数的最值问题，可利用换元法求解. 【详解】 ， 因为 ∴ ． 设 ，则 ∴当 ，即 时， 取最大值，此时离心率 . 故选：C 6. 已知 ，若 ，则 （ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦的二倍角公式得 ，再根据同角三角函数的关系可得 ，令 ，建立方程解之可得选项. 【详解】由 ，可得 ，所以 ， 令 ，所以 ， . 即 ，解得 或 又 ，所以 ，所以 ， 当 时， ，符合题意； 当 时， ，不符合题意，所以 ， 故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值. 7. 角A是 的内角，则“ ”是“ ，且 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的性质分析即可. 【详解】因为角 是 的内角，所以 ， 当 ，根据三角函数的性质可得 ， ， ， 所以由“ ”能推出“ ，且 ”， 当 ， ，可得 ，此时 也成立， 所以由“ ，且 ”能推出“ ”．故选：C． 8. 在 中，已知 ，则 （ ） A. 2021 B. 2022 C. 4042 D. 4043 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系将切化弦，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到 ，再利用正弦定理将角化边，结合余弦定理计算可得； 【详解】解：由 得 所以 ， 故 ， 即 ，即 ， 故 . 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B. 若随机变量 服从正态分布 ， ，则 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 ，若样本中心点为 ，则D. 若随机变量 ，且 ，则 【答案】BC 【解析】 【分析】将A的数据由小到大排列后可求该组数据的中位数，从而可判断 A的正误，利用正态分布的对称 性可判断B的正误，根据样本中心点必在回归直线上可判断C的正误，根据公式可求二项分布的期望和方 差，从而可判断D的正误. 【详解】对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确； 对于选项B，因为随机变量 服从正态分布 ，所以正态曲线关于 对称， 所以 ，所以B正确； 对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以 ， 即 ，所以C正确； 对于选项D，因为 ，且 ，所以 ，即 ， 所以 ，所以D不正确． 故选：BC． 10. （多选题）已知 ，则a，b满足下列关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由已知可得 ， ，有 ，依据基本不等式即可知 ，进而可知 、 、 的范围. 【详解】由题意知： ， ，∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ， ， 故选：ABD 【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题. 11. 已知函数 ，则（ ） A. 函数 有两个极值点 B. 函数 有三个零点 C. 若 ，则 是偶函数 D. 点 是函数 的对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项：求导，分析单调性，即可得到极值点的情况； B选项：根据单调性和零点存在性定理即可得到零点的情况； C选项：根据奇偶性的定义判断即可； D选项：根据对称性的性质和图象的平移即可得到对称中心. 【详解】A选项： ，当 或 时， ，当 时， ，所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 有两个极值点， 故A正确； B选项：结合A中函数单调性，又 ， ，所以 上存在一个零点，，所以 上存在一个零点， ，所以 上存在一个零点，所以函数 有三个零点，故B正确； C选项： ，定义域为R，关于原点对称，且 ，所以 为偶函数， 故C正确； D选项： ，所以 关于 对称，根据 的单调性 可知， 只有一个对称中心， 的图象向左平移一个单位得到 的图象，所以 的 对称中心是 ，故D错. 故选：ABC. 12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为 ，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果. 【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形. （1） 如图，四条侧棱长均为 ，则四棱锥为正四棱锥，连接 交于点 ，连接 ， 则 平面 ， 是四棱锥的高， 则 ， ，所以 ， 四棱锥的高为 ； （2） 如图，有两条侧棱长为 ， 作 平面 ，记 ， ， 是四棱锥的高， 于是， ， 且 . 解得 ， . 四棱锥的高为 ； （3） 如图，三条侧棱（ 、 、 ）长为 ，一条侧棱 ， ， ， 设 与 交于点 .记 . 由等腰三角形三线合一可得： , 平面 ， 平面 ， ，则 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ， 过O作 ，因为平面 平面 , 所以 平面 ， 是四棱锥的高， 则有 ， ， . 因为 ， 于是， . 将前面的结果代入上式， 解得 或 . 显然 ，故 . ， 在 中， 由余弦定理得 , ， ， 四棱锥的高为 . 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 ________．(用分数表示)【答案】 ## 【解析】 【分析】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，这是排列问题，三位数是奇数 只要个位上的数字是1或3即可，这样可以求出有多少个三位数，最后根据古典概型的概率计算公式求解 即可. 【详解】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数， 共可组成 个三位数，组在三位数是奇数的共有 ，因此组成的三 位数是奇数的概率是 . 故答案为： 14. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是 ，那么这个正三棱台的体 积等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由 面 得到 ，再分别在 与 求得 与 ，顺便求 得两者面积，从而在 中可求得 ，即三棱台的高，由此利用三棱台的体积公式即可求得结果. 【详解】记 分别是 的中心，过 作 ，如图， 则由正三棱台的结构特征可知 面 ，所以 面 ， 所以 为侧棱 与底面 所成角的平面角，故 ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ，， 在 中， ，即 ， ， 所以在 中， ，即该三棱台的高为 ， 所以该三棱台的体积为 . 故答案为： . . 15. 已知关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，则实数 的取值 范围为___________. 【答案】 【解析】的 【分析】观察方程 结构特征，将它进行变形为 ，然后构造函数 ，确定 函数的单调性，从而将问题转化为当 时， 有两个不相等的实数根，利用根的分布列出 不等式组，求解即可得到答案． 为 【详解】解：因 方程 ， 所以变形为 ， 令 ， 则有 ， 因为 在 上单调递增， 所以 即为 ， 故当 时， 有两个不相等的实数根， 在 中，则有 ，即 ， 解得 ， 所以实数 的取值范围为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为 ，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高 的要求． 16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与C的右支交于 A，B两点，若 ， ，则C的离心率为______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】设 的中点为 ，连接 ， ，由题意可得 ， ，由双曲线 的定义可得 ， ， ， ， ， ，在 和 中利用余弦定理表示 出两个角的余弦值，即可求出 的关系，从而可得双曲线C的离心率. 【详解】解：如图：设 的中点为 ，连接 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 为 的中点，所以 ， 由 ，得 ，所以 ， 在 中， ， 因为 ，所以 ， 在 中， ， 因为 ， 所以 ，即 ， 整理可得 ，即 ， 所以 ， 所以 或 （舍）， 所以离心率 ， 故答案为： . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答 题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效. 17. 它们的终边分别与单位圆相交于 (1)求 ； (2)求 的值.【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】(1)根据三角函数的定义，求 ， ，再利用两角和的正切公式求 ，结合 的范围求 ，(2)根据同角关系求 ， ，再根据二倍角公式求 ， ，结合 (1)由两角和的正弦公式求 . 【详解】由 可得： (1) 由 得 (2)由(1)得 ， 故18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥ 平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DF PD． （1）求证：PB∥平面AEF； （2）若 ，求三棱锥E﹣PAD的体积． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证 明 平面 ； （2）求出 ， ，由 ，求出 ，三棱锥 的体积 ，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 与交于点 ， 平面 ， 为 的中点连接 交 于 ，点 在侧棱 上，且 ， 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ， ， 平面 ， 平面 ； （2）解： ， ， ， ，由 ，解得 ， ， 三棱锥 的体积： ． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 19. 已知函数 . （1）当 时，求函数 的单调增区间； （2）若不等式 对于任意 成立，求正实数 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 【分析】（1） ，对a分类讨论以确定函数 的单调增区间；（2）不等式 对任意 成立等价于对任意 ，有 成立.设 ， ，则只要 即可. 【详解】（1）由题意得，函数 的定义域为 . . 若 ，则当 或 时， ，此时 单调递增，当 时， ， 此时 单调递减.若 ，则当 时， ，此时 单调递减；当 时，即，此时 单调递增. 综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增. （2）不等式 对任意 成立等价于对任意 ，有 成立. 设 ， ，则只要 即可. . 令 ，得 ；令 ，得 . 所以函数 在 是哪个单调递减，在 上单调递增. 所以 的最大值为 与 中的较大者. 设 ， 则 ， 所以 在上单调递增，所以 ，所以 . 从而 .所以 ，即 . 设 ，则 ， 所以 在 上单调递增.又 ，所以 的解为 . 因为 ，所以正实数 的取值范围为 . 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出 最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转 化为函数的最值问题. 20. 已知公差 的等差数列 ， 是 的前 项和， ， 是 和 的等比中项. （1）求 的通项公式； （2）设数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求证 . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于 和 的方程组，解出 和 即可求得通项公式； （2）化简可得 ，由裂项相消法可求出 ，进而求证. 【详解】（1） 是 和 的等比中项， ，即 ， ， ， 则可解得 ， ， ∴ ； （2） ， ，， . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于 结构，利用分组求和法； （4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相消 法求和. 21. 某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元， 由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年 的数据得知，每季由产量为 的概率为0.4.亩产量为 的概率为0.6，市场销售价格 (单位： 元/kg)与其概率 的关系满足 . （1）设 表示此果农某季所获得的利润，求 的分布列和数学期望； （2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率. 【答案】（1）答案见解析；（2）0.2592. 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出利润 的所有可能取值，再求出对应的概率，列出分布列，得出期望. (2)由（1）得出第 年利润高于100万元的概率，从而可得出5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的 概率. 【详解】解：(1)设事件 “此水果的亩产量为 ”，事件 “此水果的市场销售价格为 ”. 由题知， ， 因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以 的所有可能取值为 .. . . ∴ ， ， ， . 所以 的分布列为 500000 1000000 1100000 1900000 . 0.12 0.28 0.18 042 ∴ . (2)设事件 “第 年利润高于100万元”( ) 由题知， ， ， ， ， ，相互独立，由(1)知， 5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为 所以5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592. 22. 已知函数 ． （1）若 ，求函数 的单调减区间； （2）若 ，正实数 ， 满足 ，证明： ． 【答案】（1）单调递减区间为 ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由 ，求出 的值，从而得出 的解析式，得出定义域并进行求导，利用导数研 究函数的单调性，即可得出 的单调减区间； （2）当 时， ，则 ， 令 ，利用导数研究函数的单调性和最值，从而得出 ，进而可得 ，解不等式即可得出证明. 【小问1详解】 解：因为 ，所以 ，解得： ， 所以 ， 的定义域为 ， ， 令 ，得 ， 所以 的单调递减区间为 ． 【小问2详解】 证明：当 时， ， 所以 ， 令 ，则 ， 所以 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，所以 ， 所以 ， 即 ， 因为 ， 是正实数，所以 ． 【点睛】思路点睛：解决单调区间问题及不等式问题注意两个转化： （1）利用导数解决此类单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错； （2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理，一般需要通过构造新函数解 决导数问题．