文档内容
2025-2026学年度期中考试
高三数学试题
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知向量 ， ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．0
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
3．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列 不是常数列，若 ，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A．1 B．21 C．19 D．20
5．若 为奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6. “函数 的图象关于 对称”是“ ， ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
7．已知函数 ，直线 与函数 的图象相切，则
（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ，，则下列结论正确的是（ ）
A: B：
C： D：
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．已知公差 不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的有
（ ）
A． B．当 时， 的最大值为 或
C． D．当 时，
10.设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11.已知定义在R上的函数 及其导数 ，若 为偶函数， 为奇函
数，则（ ）
A． B．
C． D．
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量 的夹角为 ，若 ，且 在 上的投影向量为 ，则.
13．已知 ，且 ，则
14．已知 ， ，若存在 ， ，使得 ，
则称函数 与 互为“ 距零点函数”.若 与 （ 为自
然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数 的取值范围为 .
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知集合 ， .
(1)求 ；
(2)证明： .
16．（15分）已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的值；
(2)将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数
的图象，若方程 ， 只有一个实数根，求 的取值范围．
17．（15分）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，
已知 ，且 ,
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．18．（17分）
(1)求数列 的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，若 ，依次连接点
得到折线 ，求由该折线与直线 ，
所围成的区域的面积 .
(3)记数列 的前 项和为 且 ，若 恒成立，求实数 的最大值．
19．（17分）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： 在 上恒成立；
(3)存在 ，不等式 成立，求实数 的取值范围．高三期中考试数学试题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A C C B A B ABD BCD ABC
12．【答案】 13． 答案： 14．【答案】
15.（13分）（1） ，即 ， ， ，
可得 或 ，解得 ，故集合 ..............5分
（2）依题意，集合 ， ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
且当 时， ，
当 时， ，当 时， ，..............10分
综上，当 时， ，即集合 ，由（1）得，集合
，因此 ........................................................................................................13分
16．（15分）（1）
，.....................................................................5分
又 的最小正周期为 ， ，则 ，所以 ........................7分
（2）由（1）知 ，所以 ，..................9分
因为 ，所以 ， ............11分
利用图形得到故 的取值范围是 ................................15分
17．（15分）（1）由 化简得到
，................................................3分
对比已知 ，
可得 ，..................................5分
因为 ，所以 ，从而 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
注意到 ，所以 ................................7分
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，...............................9分
由正弦定理有 ，
从而 ，...............................12分
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，所以 ................................15分
18．（17分）（1） ， ，
， 为等差数列，...............................3分
首项为 ，公差为1，
， ................................5分
（2）过 …… 向 轴作垂线，垂足分别为 …… ,由(1)得 ，则
记梯形 的面积为 .由题意得：
，..............................................8分
所以
= ……+
①
又 ……+
②
- 得
① ②
=
所以 .............................................................................................11分
（3）由（1）知
则 ，..............................................13分
则 ，...........................14
分
由 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，由 单调递增，
故当 时， ，故 ，即 ，所以 的最大值为 ．...............................17分
19．（17分）解析：（1）当 时，函数 的定义域为 ，所以
...............................2分
则 时， ， 递增； 时 ， 递减..............4分
（2）当 时，
，
需证： ，
即 在 上恒成立；...............................6分
令 ，
则： 在 时递减，...............................8分
因为
则存在唯一的 ，使得 ；
所以： 在 上递增， 递减；...............................9分
；
在 上恒成立；...............................10分
（3）令 ，则 ，不等式 成立即： ，...............................11分
当 时，不等式不成立；
当 时： 成立；
令
则： ...............................13分
因为 ，故 ； 的导数为 ，
所以 在 上递增，
当 时， ；
...............................16分
所以 递减，则
故 ；即实数 的取值范围为 ...............................17分
