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2025高二数学（下）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C C A C D B B ACD AC ACD
二、填空题
[ 1
12．0.7 13．144 14． ,+∞)
2e2
三、解答题
15．（1）依题意， 列联表如下： .......................................................2分
学段
是否达
合计
标
初中 高中
达标 36 28 64
不达标 24 12 36
合计 60 40 100
零假设为 ：学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关．
100（36×12−28×24) 2
根据列联表， = ≈1.042<3.841
60×40×64×36
..............................................6分
所以根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为
成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关．......................................7
分（2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，
1000（360×120−280×240) 2
则， = ≈10.417>3.841
600×400×640×360
...........................................12分
所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生体育锻炼达标
情况与学段（初中、高中）有关联． ................ ......................................................13分
16.（1）a =-4050 ............................................................................................3分
2024
（2）令f(x)=(x−2) 2025=a +a x+a x2+⋯⋯a x2025
0 1 2 2025
试卷第1页，共3页{ f(1)=a +a +a +⋯⋯+a =−1
0 1 2 2025
则 ，
f(−1)=a −a +a −⋯⋯−a =−32025
0 1 2 2025
32025−1
两式相减得，a +a +a +⋯⋯+a = .......................................................9分
1 3 5 2025 2
（3）因为(x−2) 2025=a +a x+a x2+⋯⋯a x2025 ，
0 1 2 2025
两边分别求导，得2025(x−2) 2024=a +2a x+3a x2 ⋯⋯+2025a x2024 ，
1 2 3 2025
令 ，得a +2a +3a +⋯⋯+2025a =2025．............................................15分
1 2 3 2025
17.（1） .........................................1分
. ...........................................2分
，将 ， ， ， 代入可得：
.
，将 ， ， 代入可得：
...........................................................5分
，将 ， ， 代入可得：
. 最后计算相关系数 ：根据公式
试卷第2页，共3页83 83
= = ≈0.98 .........................................7分
√340×21 2√1785
由于 接近 ，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强..........................8分
8
∑ x y −nx y
i i
83
(2)
b^= i=1
= ............................................................................................11
8 340
∑ x2−nx2
i
i=1
分
107
由 ，x=11,y=3代入可得：a = .......................................................14分
❑ 340
83 107
所以 关于 的回归直线方程为^y= x+ ...........................................................15分
340 340
18、（1）(ⅰ)对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，Y可取0，1，2，3，4..........1分
Y服从超几何分布，Y的分布列为：
CkC4−k
P(Y =k)= 6 4 ,k=0,1,2,3,4. 【备注：分布列可以写通项也可以列表格，表格
C4
10
中的数据不约分也正确】 ......................................... Y 0 1 2 3 4
P 1 4 3 8 1
5分
210 35 7 21 14
Y 0 1 2 3 4
P 1 24 90 80 15
210 210 210 210 210
nM 12
E(Y)= = ; ..............................................................................................6分
N 5
513
(ⅱ)由题意得P =P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= ,.................................8分
1 625
37
P =P(Y =2)+P(Y =3)+P(Y =4)= ，得P <P .........................................10分
2 42 1 2
3 {P(X=k)≥P(X=k+1)
（2） 当n=10, 则X~B（10， ），若P（X=k）最大，则
5 P(X=k)≥P(X=k−1)
试卷第3页，共3页{ Ck (3) k (2) 10−k ≥Ck+1(3) k+1 (2) 9−k
10 5 5 10 5 5 28 33
，得 ≤k≤ ，又k∈N+ ，∴k=6,
Ck
(3) k (2) 10−k ≥Ck−1(3) k−1 (2) 11−k 5 5
10 5 5 10 5 5
............13分
x
故
f
(x)=a6,∴f (6x)=ax,由题得：方程ax=x有两个不相等的正实根
lnx
两边取对数得，lna= 有两个不相等的正实根 ,........................................................14分
x
lnx 1−lnx
构造函数g(x)=
,求导得，g‘(x)=
,易知g(x)在（0，e)单调递增，在（e,+∞)单调
x x2
递减，
1
且x→0，g(x)→−∞,x→+∞,g(x)→0,由数形结合得，0<lna< ,
e
1
所以 1<a<ee ................................................................................................17分
19.（1）f' (x)=2e2x−(4a+2)ex+4a........................................................................1分
=2(ex−1)(ex−2a) ..........................................................................................2分
当 时， ，所以当 时， 单调递减，当 时，
单调递增；.............................................................................................4分
当 时，由 ，得 或 ，
当 即 时， 在 上单调递增，.............................................5分
当 时， 时， 在 上单调递减，
和 时， 在 单调递增；
.........................................................6分
当 时， 时， 在 上单调递减，
试卷第4页，共3页和 时， 在 上单调递增.
.........................................................7分
综上可得：① 时， 在 单调递减，在 上单调递增；
② 时， 在 上单调递增；
③ 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
④ 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.............8
分
lnx+1
（2）当a=0时,即b−3≤e2x−
恒成立，...................................................................9分
x
lnx+1 2x2e2x+lnx
令h(x)=e2x− ，则h' (x)=
x x2
，.........................................................................10分
1
令m(x)=2x2e2x+lnx，则m' (x)=4(x2+x)e2x+ >0，
x
1 1
所以m(x)在 上单调递增，又m(1)=2e2>0,m( )= (√e−ln48 )<0
4 8
1
所以存在唯一的x ∈( ,1)，使得m(x )=2x 2e2x 0+lnx =0，...................................12分
0 4 0 0 0
当 时，m(x )<0，即h' (x)<0，则h(x)在 上单调递减，
0
当 时，m(x )>0，即h' (x)>0，则h(x在 上单调递增，
0
lnx +1 1 1 1 1 ln 1
则ℎ(x) = ℎ(x )=e2x 0− 0 .又因2x e2x 0=− lnx = ln =ln e x 0
min 0 x 0 x 0 x x x
0 0 0 0 0
...............15分
1
设 ，则φ(2x )=φ(ln )，易知 在 上单调递增，
0 x
0
1 1 lnx +1
所以ln
x
=2x
0
，得e2x 0=
x
故ℎ(x
0
)=e2x 0−
x
0 =2
0 0 0
试卷第5页，共3页因此b≤5，故b的取值范围为（−∞，5] ................................................................17分
试卷第6页，共3页
